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Ejercicios Resueltos de Trigonometría: PDF para 1º Bachillerato y 4º ESO

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Marta Rouces

3/3/2023

Matemáticas

Trigonometría (apuntes, fórmulas y ejercicios)

Ejercicios Resueltos de Trigonometría: PDF para 1º Bachillerato y 4º ESO

La trigonometría es una rama fundamental de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y ángulos de los triángulos. Los estudiantes de secundaria y bachillerato necesitan dominar conceptos esenciales como las fórmulas trigonométricas básicas del seno, coseno y tangente.

Para dominar la trigonometría, es importante comenzar con los conceptos fundamentales antes de abordar ejercicios trigonométricos más complejos. Las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) son la base para resolver triángulos rectángulos. Estas relaciones nos permiten calcular lados y ángulos desconocidos utilizando las proporciones entre los lados. Los estudiantes de 4° ESO comienzan con ejercicios básicos de identificación de catetos e hipotenusa, mientras que en 1° bachillerato se profundiza en problemas más avanzados que incluyen identidades trigonométricas y aplicaciones prácticas.

La práctica constante con ejercicios resueltos es fundamental para dominar la materia. Los estudiantes deben comenzar con problemas sencillos de triángulos rectángulos, avanzando gradualmente hacia ejercicios más complejos que involucren ángulos en diferentes cuadrantes y situaciones reales. Es especialmente útil contar con recursos como apuntes de trigonometría y colecciones de problemas resueltos en PDF que permitan el estudio independiente. Las fórmulas trigonométricas deben memorizarse y comprenderse a fondo, ya que son herramientas esenciales para resolver desde ejercicios básicos hasta integrales trigonométricas más avanzadas. El dominio de estos conceptos es crucial para el éxito en matemáticas superiores y sus aplicaciones en física, ingeniería y otras ciencias.

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3/3/2023

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<p>In this document, we will cover various trigonometry formulas and exercises. You can find exercises for 4th-year high school (4 eso) as

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Fórmulas Fundamentales de Trigonometría y Sus Aplicaciones

La trigonometría es una rama esencial de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y ángulos de los triángulos. Las fórmulas trigonométricas básicas constituyen el fundamento para resolver problemas más complejos.

Definición: Las razones trigonométricas fundamentales son seno, coseno y tangente. La relación fundamental de la trigonometría establece que sen²α + cos²α = 1.

Las fórmulas trigonométricas seno, coseno y tangente se relacionan entre sí mediante identidades importantes. Para cualquier ángulo α:

  • secα = 1/cosα
  • cosecα = 1/senα
  • cotgα = cosα/senα

Los ejercicios de trigonometría requieren el dominio de las fórmulas de ángulos dobles y suma de ángulos:

  • senα+βα+β = senα·cosβ + cosα·senβ
  • cosα+βα+β = cosα·cosβ - senα·senβ
  • tgα+βα+β = tgα+tgβtgα + tgβ/1tgαtgβ1 - tgα·tgβ

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Identidades Trigonométricas Fundamentales

Las identidades trigonométricas son ecuaciones que relacionan diferentes funciones trigonométricas. Su comprensión es vital para resolver problemas de trigonometría.

Destacado: Las identidades fundamentales permiten simplificar expresiones complejas y resolver ecuaciones trigonométricas.

Entre las identidades más utilizadas en ejercicios trigonometría 1 bachillerato encontramos:

  • 1 + tg²α = sec²α
  • 1 + cotg²α = cosec²α
  • sen²α + cos²α = 1

Estas fórmulas son especialmente útiles en la resolución de ejercicios de razones trigonométricas 1 bachillerato resueltos.


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Fórmulas de Ángulos Dobles y Medios

Las fórmulas de ángulos dobles son fundamentales en la resolución de ejercicios trigonometría 4 eso:

  • sen2α = 2senα·cosα
  • cos2α = cos²α - sen²α
  • tg2α = 2tgα/1tg2α1-tg²α

Ejemplo: Para calcular sen2x2x, podemos usar la fórmula 2senxxcosxx, lo que simplifica significativamente los cálculos.

Las fórmulas de ángulos medios, muy utilizadas en trigonometría 4 eso ejercicios resueltos, son:

  • senα/2α/2 = ±√(1cosα(1-cosα/2)
  • cosα/2α/2 = ±√(1+cosα(1+cosα/2)
  • tgα/2α/2 = ±√(1cosα(1-cosα/1+cosα1+cosα)

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Aplicaciones Prácticas y Resolución de Ejercicios

La aplicación práctica de estas fórmulas es esencial en trigonometría ejercicios resueltos pdf. Los problemas más comunes incluyen:

Vocabulario: Las identidades trigonométricas son igualdades que se cumplen para cualquier valor del ángulo donde están definidas las funciones trigonométricas.

Para resolver ejercicios de trigonometría 1 bachillerato pdf, es importante:

  • Identificar las fórmulas aplicables
  • Simplificar expresiones paso a paso
  • Verificar resultados usando identidades fundamentales

Los problemas de trigonometría pdf más avanzados requieren combinar múltiples fórmulas y propiedades.


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Ecuaciones y Razones Trigonométricas Fundamentales

La trigonometría es una rama esencial de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y ángulos de los triángulos. Las fórmulas trigonométricas básicas constituyen el fundamento para resolver problemas más complejos.

En el contexto de los ejercicios de trigonometría 1 bachillerato, es fundamental comprender las razones trigonométricas principales: seno, coseno y tangente. Estas se definen en relación con los lados de un triángulo rectángulo:

Definición: Las razones trigonométricas fundamentales son:

  • Seno senαsen α = cateto opuesto / hipotenusa
  • Coseno cosαcos α = cateto adyacente / hipotenusa
  • Tangente tgαtg α = cateto opuesto / cateto adyacente

Para dominar los problemas de trigonometría PDF, es esencial entender la circunferencia goniométrica y sus cuadrantes. Cada cuadrante tiene características específicas que afectan los signos de las razones trigonométricas.


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Resolución de Ecuaciones Trigonométricas Avanzadas

En los ejercicios trigonometría 4 ESO, las ecuaciones trigonométricas requieren un manejo hábil de las identidades trigonométricas fundamentales.

Ejemplo: Para resolver sen x + cos x = √2:

  1. Elevamos al cuadrado ambos miembros
  2. Aplicamos la identidad sen²x + cos²x = 1
  3. Resolvemos la ecuación resultante

Las soluciones de ecuaciones trigonométricas suelen expresarse en términos de la forma general: x = α + 360°k, donde k ∈ Z.

Destacado: Las ecuaciones trigonométricas pueden tener infinitas soluciones debido a la naturaleza periódica de las funciones trigonométricas.


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Aplicaciones Prácticas de la Trigonometría

Los ejercicios de razones trigonométricas 1 bachillerato resueltos demuestran aplicaciones prácticas en diversos campos:

Vocabulario: Términos clave en aplicaciones:

  • Ángulos de elevación
  • Ángulos de depresión
  • Distancias indirectas
  • Altura de objetos inaccesibles

La trigonometría se utiliza extensivamente en física, ingeniería y arquitectura. Los problemas típicos incluyen cálculos de alturas, distancias y ángulos en situaciones donde la medición directa no es posible.


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Fórmulas y Relaciones Trigonométricas Avanzadas

Las trigonometría fórmulas seno, coseno y tangente se extienden a relaciones más complejas en la trigonometría 1 bachillerato PDF:

Definición: Relaciones fundamentales:

  • sen²α + cos²α = 1
  • tg α = sen α / cos α
  • sec α = 1 / cos α
  • cosec α = 1 / sen α

Estas fórmulas son esenciales para resolver problemas más avanzados en los ejercicios trigonometría 1 bachillerato. La comprensión profunda de estas relaciones permite abordar problemas complejos de manera sistemática.


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Reducción de Ángulos al Primer Cuadrante: Guía Completa

La trigonometría es fundamental para entender cómo se comportan las razones trigonométricas en diferentes cuadrantes. Este proceso, conocido como reducción al primer cuadrante, es esencial para resolver ejercicios trigonometría 1 bachillerato y comprender las fórmulas trigonometría seno, coseno y tangente.

En el segundo cuadrante 90°a180°90° a 180°, las razones trigonométricas mantienen una relación específica con los ángulos del primer cuadrante. Para cualquier ángulo α en el segundo cuadrante, podemos expresarlo en términos del ángulo complementario 180°x180° - x. El seno mantiene el mismo signo positivo, mientras que el coseno cambia al negativo.

Definición: La reducción al primer cuadrante es el proceso mediante el cual convertimos ángulos de cualquier cuadrante a sus equivalentes en el primer cuadrante 0°a90°0° a 90°, considerando los cambios de signo correspondientes.

Para el tercer cuadrante 180°a270°180° a 270°, las relaciones se modifican según el patrón α180°α - 180°. En este caso, tanto el seno como el coseno son negativos. Por ejemplo, para un ángulo de 225°, el seno será igual al negativo del seno de 45° sen45°-sen 45°, y el coseno será igual al negativo del coseno de 45° cos45°-cos 45°.

Ejemplo: Para calcular sen 150°:

  1. Identificamos que 150° está en el segundo cuadrante
  2. Aplicamos la fórmula sen 150° = sen 180°150°180° - 150° = sen 30°
  3. Por lo tanto, sen 150° = 1/2

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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones.

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Me encanta esta app ❤️, de hecho la uso cada vez que estudio.

 

Matemáticas

2508

3 mar 2023

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Ejercicios Resueltos de Trigonometría: PDF para 1º Bachillerato y 4º ESO

La trigonometría es una rama fundamental de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y ángulos de los triángulos. Los estudiantes de secundaria y bachillerato necesitan dominar conceptos esenciales como las fórmulas trigonométricas básicasdel seno, coseno y... Mostrar más


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Fórmulas Fundamentales de Trigonometría y Sus Aplicaciones

La trigonometría es una rama esencial de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y ángulos de los triángulos. Las fórmulas trigonométricas básicas constituyen el fundamento para resolver problemas más complejos.

Definición: Las razones trigonométricas fundamentales son seno, coseno y tangente. La relación fundamental de la trigonometría establece que sen²α + cos²α = 1.

Las fórmulas trigonométricas seno, coseno y tangente se relacionan entre sí mediante identidades importantes. Para cualquier ángulo α:

  • secα = 1/cosα
  • cosecα = 1/senα
  • cotgα = cosα/senα

Los ejercicios de trigonometría requieren el dominio de las fórmulas de ángulos dobles y suma de ángulos:

  • senα+βα+β = senα·cosβ + cosα·senβ
  • cosα+βα+β = cosα·cosβ - senα·senβ
  • tgα+βα+β = tgα+tgβtgα + tgβ/1tgαtgβ1 - tgα·tgβ

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Identidades Trigonométricas Fundamentales

Las identidades trigonométricas son ecuaciones que relacionan diferentes funciones trigonométricas. Su comprensión es vital para resolver problemas de trigonometría.

Destacado: Las identidades fundamentales permiten simplificar expresiones complejas y resolver ecuaciones trigonométricas.

Entre las identidades más utilizadas en ejercicios trigonometría 1 bachillerato encontramos:

  • 1 + tg²α = sec²α
  • 1 + cotg²α = cosec²α
  • sen²α + cos²α = 1

Estas fórmulas son especialmente útiles en la resolución de ejercicios de razones trigonométricas 1 bachillerato resueltos.


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Fórmulas de Ángulos Dobles y Medios

Las fórmulas de ángulos dobles son fundamentales en la resolución de ejercicios trigonometría 4 eso:

  • sen2α = 2senα·cosα
  • cos2α = cos²α - sen²α
  • tg2α = 2tgα/1tg2α1-tg²α

Ejemplo: Para calcular sen2x2x, podemos usar la fórmula 2senxxcosxx, lo que simplifica significativamente los cálculos.

Las fórmulas de ángulos medios, muy utilizadas en trigonometría 4 eso ejercicios resueltos, son:

  • senα/2α/2 = ±√(1cosα(1-cosα/2)
  • cosα/2α/2 = ±√(1+cosα(1+cosα/2)
  • tgα/2α/2 = ±√(1cosα(1-cosα/1+cosα1+cosα)

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Aplicaciones Prácticas y Resolución de Ejercicios

La aplicación práctica de estas fórmulas es esencial en trigonometría ejercicios resueltos pdf. Los problemas más comunes incluyen:

Vocabulario: Las identidades trigonométricas son igualdades que se cumplen para cualquier valor del ángulo donde están definidas las funciones trigonométricas.

Para resolver ejercicios de trigonometría 1 bachillerato pdf, es importante:

  • Identificar las fórmulas aplicables
  • Simplificar expresiones paso a paso
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Ecuaciones y Razones Trigonométricas Fundamentales

La trigonometría es una rama esencial de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y ángulos de los triángulos. Las fórmulas trigonométricas básicas constituyen el fundamento para resolver problemas más complejos.

En el contexto de los ejercicios de trigonometría 1 bachillerato, es fundamental comprender las razones trigonométricas principales: seno, coseno y tangente. Estas se definen en relación con los lados de un triángulo rectángulo:

Definición: Las razones trigonométricas fundamentales son:

  • Seno senαsen α = cateto opuesto / hipotenusa
  • Coseno cosαcos α = cateto adyacente / hipotenusa
  • Tangente tgαtg α = cateto opuesto / cateto adyacente

Para dominar los problemas de trigonometría PDF, es esencial entender la circunferencia goniométrica y sus cuadrantes. Cada cuadrante tiene características específicas que afectan los signos de las razones trigonométricas.


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Resolución de Ecuaciones Trigonométricas Avanzadas

En los ejercicios trigonometría 4 ESO, las ecuaciones trigonométricas requieren un manejo hábil de las identidades trigonométricas fundamentales.

Ejemplo: Para resolver sen x + cos x = √2:

  1. Elevamos al cuadrado ambos miembros
  2. Aplicamos la identidad sen²x + cos²x = 1
  3. Resolvemos la ecuación resultante

Las soluciones de ecuaciones trigonométricas suelen expresarse en términos de la forma general: x = α + 360°k, donde k ∈ Z.

Destacado: Las ecuaciones trigonométricas pueden tener infinitas soluciones debido a la naturaleza periódica de las funciones trigonométricas.


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Aplicaciones Prácticas de la Trigonometría

Los ejercicios de razones trigonométricas 1 bachillerato resueltos demuestran aplicaciones prácticas en diversos campos:

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  • Ángulos de elevación
  • Ángulos de depresión
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Fórmulas y Relaciones Trigonométricas Avanzadas

Las trigonometría fórmulas seno, coseno y tangente se extienden a relaciones más complejas en la trigonometría 1 bachillerato PDF:

Definición: Relaciones fundamentales:

  • sen²α + cos²α = 1
  • tg α = sen α / cos α
  • sec α = 1 / cos α
  • cosec α = 1 / sen α

Estas fórmulas son esenciales para resolver problemas más avanzados en los ejercicios trigonometría 1 bachillerato. La comprensión profunda de estas relaciones permite abordar problemas complejos de manera sistemática.


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Reducción de Ángulos al Primer Cuadrante: Guía Completa

La trigonometría es fundamental para entender cómo se comportan las razones trigonométricas en diferentes cuadrantes. Este proceso, conocido como reducción al primer cuadrante, es esencial para resolver ejercicios trigonometría 1 bachillerato y comprender las fórmulas trigonometría seno, coseno y tangente.

En el segundo cuadrante 90°a180°90° a 180°, las razones trigonométricas mantienen una relación específica con los ángulos del primer cuadrante. Para cualquier ángulo α en el segundo cuadrante, podemos expresarlo en términos del ángulo complementario 180°x180° - x. El seno mantiene el mismo signo positivo, mientras que el coseno cambia al negativo.

Definición: La reducción al primer cuadrante es el proceso mediante el cual convertimos ángulos de cualquier cuadrante a sus equivalentes en el primer cuadrante 0°a90°0° a 90°, considerando los cambios de signo correspondientes.

Para el tercer cuadrante 180°a270°180° a 270°, las relaciones se modifican según el patrón α180°α - 180°. En este caso, tanto el seno como el coseno son negativos. Por ejemplo, para un ángulo de 225°, el seno será igual al negativo del seno de 45° sen45°-sen 45°, y el coseno será igual al negativo del coseno de 45° cos45°-cos 45°.

Ejemplo: Para calcular sen 150°:

  1. Identificamos que 150° está en el segundo cuadrante
  2. Aplicamos la fórmula sen 150° = sen 180°150°180° - 150° = sen 30°
  3. Por lo tanto, sen 150° = 1/2

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Aplicaciones Prácticas de la Reducción de Ángulos

Las identidades trigonométricas y la reducción al primer cuadrante son herramientas esenciales para resolver problemas de trigonometría pdf y ejercicios más complejos. Esta técnica simplifica significativamente los cálculos y permite resolver problemas que involucran ángulos en cualquier cuadrante.

Destacado: Los signos de las razones trigonométricas en cada cuadrante siguen el patrón "ASTC":

  • Primer cuadrante: Todo positivo
  • Segundo cuadrante: Solo seno positivo
  • Tercer cuadrante: Solo tangente positiva
  • Cuarto cuadrante: Solo coseno positivo

La comprensión de estas relaciones es fundamental para los estudiantes de trigonometría 4 eso y 1 bachillerato. Al dominar estas transformaciones, podrán resolver ejercicios más complejos y entender mejor las aplicaciones prácticas en física, ingeniería y otras disciplinas científicas.

Los ejercicios de razones trigonométricas 1 bachillerato resueltos frecuentemente requieren el uso de estas reducciones. Por ejemplo, al trabajar con ángulos como 225°, es esencial saber que podemos reducirlo a 45° y ajustar los signos según el cuadrante correspondiente.

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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

Pablo

usuario de iOS

Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elena

usuaria de Android

Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

Ana

usuaria de iOS

Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!

Sophia

usuario de Android

Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!

Marta

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La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.

Izan

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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!

Sara

usuaria de Android

En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

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Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.

Julyana

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Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.

Javier

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Sinceramente me ha salvado los estudios. Recomiendo la aplicación 100%.

Erick

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Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!

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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elena

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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

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Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.

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Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.

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Sinceramente me ha salvado los estudios. Recomiendo la aplicación 100%.

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Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!

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