Pasos para Representar Funciones

¿Sabías que representar cualquier función sigue siempre el mismo esquema? Solo tienes que ir paso a paso y no saltarte ninguno.

Primero, encuentras el dominio y estudias dónde es continua la función. Después compruebas si tiene simetría: si f$-x$ = f(x) es simétrica respecto al eje Y, y si f$-x$ = -f(x) es simétrica respecto al origen.

Los puntos de corte son clave: con el eje Y cuando x = 0, y con el eje X cuando f(x) = 0. Para las asíntotas verticales buscas donde el límite es ±∞, y para las horizontales calculas el límite cuando x tiende a ±∞.

Las asíntotas oblicuas $y = mx + n$ aparecen cuando no hay horizontales. Primero calculas m = lím$f(x)/x$ y después n = lím$f(x) - mx$.

Truco: Si hay asíntota horizontal, no puede haber oblicua. ¡Son excluyentes!

Para los intervalos de crecimiento, usas f'(x): si es positiva crece, si es negativa decrece. Los máximos y mínimos salen de f'(x) = 0, y los confirmas con f''(x).

Finalmente estudias concavidad y convexidad con f''(x), y los puntos de inflexión donde f''(x) = 0 y cambia de signo.

Ejemplo Práctico: f(x) = x³ + 3x² - 4

Vamos a ver cómo aplicar todos estos pasos con una función real que perfectamente podría salirte en un examen.

Dominio: R (toda la recta real). Continuidad: en todos los puntos. Simetría: f$-x$ = -x³ + 3x² - 4, que no es igual a f(x) ni a -f(x), así que no tiene simetría.

Puntos de corte: Con el eje Y: f(0) = -4. Con el eje X: resolviendo x³ + 3x² - 4 = 0 obtienes $x-1$$x+2$² = 0, así que x = 1 y x = -2. Asíntotas: No hay verticales ni horizontales porque es un polinomio.

Para el crecimiento calculas f'(x) = 3x² + 6x = 3x$x + 2$. Se anula en x = 0 y x = -2. Estudiando el signo: decrece en (-2, 0) y crece en (-∞, -2) ∪ (0, +∞).

Recuerda: Los puntos donde f'(x) = 0 son candidatos a máximos o mínimos.

Con f''(x) = 6x + 6: f''(-2) = -6 < 0 $máximo en x = -2$, f''(0) = 6 > 0 $mínimo en x = 0$. Para la concavidad: f''(x) = 0 cuando x = -1. Es cóncava en (-1, +∞) y convexa en (-∞, -1), con punto de inflexión en (-1, -2).