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Matemáticas
7 dic 2025
1224
15 páginas
aroa @aroasnchz_
¿Alguna vez te has preguntado cómo funcionan las relaciones matemáticas en el mundo real? Las funciones son exactamente... Mostrar más
Las funciones son simplemente relaciones entre dos conjuntos de números. Piensa en ello como una máquina introduces un valor (x) y obtienes otro valor (y).
En toda función tienes una variable independiente (x) que puedes elegir libremente, y una variable dependiente (y) que depende de lo que elijas para x. El dominio es el conjunto de todos los valores que puede tomar x, mientras que la imagen o recorrido son todos los valores posibles de y.
Por ejemplo, si tienes la función y = x + 3, cuando x vale 2, entonces y vale 5. Es así de simple cada valor de entrada produce exactamente un valor de salida.
¡Recuerda! Una función siempre te da un resultado único para cada valor de x que introduzcas.
Cuando analizas una función, hay varias características clave que debes identificar. El dominio te dice qué valores puede tomar x, mientras que la imagen te muestra todos los valores posibles de y.
La continuidad es súper importante una función es continua si puedes dibujarla sin levantar el lápiz del papel. Si hay saltos o agujeros, entonces es discontinua. Las asíntotas verticales aparecen cuando la función se va al infinito en ciertos puntos.
También debes buscar máximos y mínimos puntos donde la función alcanza sus valores más altos o más bajos en una zona determinada. Estos puntos te ayudan a entender el comportamiento general de la función.
Tip de estudio Para identificar discontinuidades, busca valores de x que hagan que el denominador sea cero o que creen problemas matemáticos.
Cada tipo de función tiene reglas específicas para su dominio. Las funciones lineales y cuadráticas siempre tienen dominio real completo, así que no te preocupes por restricciones.
Las funciones racionales (fracciones) se complican su dominio excluye los valores que hacen cero el denominador. Las funciones logarítmicas solo existen cuando el argumento es positivo, mientras que las radicales (con raíz cuadrada) necesitan que lo de dentro de la raíz sea no negativo.
Para las parábolas, recuerda que el vértice se calcula con x = -b/2a. Si el coeficiente de x² es positivo, la parábola sonríe (∪); si es negativo, está triste (∩).
Consejo práctico Cuando encuentres una función complicada, identifica primero qué tipo es y aplica sus reglas específicas de dominio.
Las funciones exponenciales como y = eˣ tienen dominio real completo y crecen súper rápido. Cuando x = 0, siempre obtienes y = 1, y cuando x aumenta, los valores se disparan hacia el infinito.
Las funciones logarítmicas son justo lo contrario solo existen para valores positivos de x. Su dominio es (0, +∞) porque el logaritmo de números negativos o cero no existe en los reales.
Para las funciones racionales, como y = /, debes encontrar qué valores hacen cero el denominador. En este ejemplo, x = 2 está excluido del dominio porque haría la fracción indefinida.
Dato clave El logaritmo de 1 siempre es 0, sin importar la base que uses.
Las funciones a trozos son como un menú dependiendo del valor de x que elijas, usas una fórmula diferente. Cada "trozo" tiene su propio intervalo de validez, así que debes prestar atención a las condiciones.
Las funciones con valor absoluto siempre dan resultados positivos o cero. La función y = |x| se puede escribir como una función a trozos x cuando x ≥ 0, y -x cuando x < 0.
Para resolver funciones radicales como y = √, necesitas que lo de dentro de la raíz sea no negativo. En este caso, x - 2 ≥ 0, así que x ≥ 2, y el dominio es [2, +∞).
Estrategia de resolución Con funciones de valor absoluto, encuentra dónde la expresión interior se hace cero, ese será tu punto de "quiebre".
Cuando trabajas con funciones de valor absoluto, el truco está en encontrar el punto donde la expresión dentro del valor absoluto cambia de signo. Para y = |x + 2|, ese punto es x = -2.
Divides la función en dos casos cuando x + 2 ≥ 0 , usas y = x + 2. Cuando x + 2 < 0 , usas y = - = -x - 2.
El resultado siempre es una gráfica en forma de "V", donde el vértice está en el punto de cambio. Para resolver estos ejercicios más rápido, puedes dar valores directamente a la función original y después representar los puntos.
Método rápido Una vez que domines la técnica, puedes simplemente sustituir valores en la función original sin separarla en casos.
Para analizar completamente una función a trozos, debes estudiar cada tramo por separado. Primero representa cada parte en su intervalo correspondiente, prestando atención a si los extremos están incluidos o no.
La continuidad se verifica en los puntos de cambio entre trozos. Si hay saltos entre las diferentes partes, la función será discontinua en esos puntos. Marca claramente estos puntos de discontinuidad.
Los extremos relativos (máximos y mínimos) pueden aparecer en cualquier trozo o en los puntos de unión. Examina cada parte para encontrar vértices de parábolas, puntos altos o bajos, y no olvides comprobar los puntos frontera entre trozos.
Importante En los exámenes, siempre verifica la continuidad en los puntos donde cambia la definición de la función.
La interpolación lineal te permite encontrar la ecuación de una recta cuando conoces dos puntos. Usas la fórmula de la pendiente m = / y después aplicas y - y₁ = m.
Para funciones lineales, recuerda que y = mx + n, donde m es la pendiente y n es la ordenada en el origen. La pendiente te dice si la recta sube (m > 0) o baja (m < 0).
La interpolación cuadrática es más compleja necesitas tres puntos para determinar una parábola. El vértice siempre está en x = -b/2a, y desde ahí puedes calcular el valor de y sustituyendo.
Aplicación real La interpolación se usa constantemente en economía, física y ingeniería para predecir valores entre datos conocidos.
Los problemas de interpolación aparecen constantemente en situaciones reales. Cuando tienes dos puntos de datos, puedes crear una función lineal que te permita predecir otros valores.
El proceso es siempre el mismo calcula la pendiente entre los dos puntos, usa la ecuación punto-pendiente para encontrar la fórmula, y después sustituye el valor que te piden. En el ejemplo del agricultor, con 40 almendros obtienes 20.000 kilos y con 60 obtienes 24.000 kilos.
La función resultante y = 200x + 12.000 te permite calcular la producción para cualquier número de almendros. Si plantas 50, obtendrías 22.000 kilos de almendras.
Consejo práctico Siempre verifica tu respuesta sustituyendo uno de los puntos originales en tu ecuación final.
Los problemas de transporte son perfectos para practicar interpolación lineal. Cuando el costo depende de la distancia de forma proporcional, obtienes una función lineal que relaciona ambas variables.
En el ejemplo del tren, 57 km cuestan 2,85€ y 68 km cuestan 3,40€. La pendiente es (3,40 - 2,85)/(68 - 57) = 0,05 €/km. Esto significa que cada kilómetro adicional cuesta 5 céntimos.
La función final y = 0,05x te permite calcular cualquier precio 500 km costarían 25€, y si pagas 4€, habrías recorrido 80 km. Estas relaciones lineales aparecen en tarifas telefónicas, consumo eléctrico, y muchas otras situaciones cotidianas.
Reflexión final Las funciones no son solo matemáticas abstractas; están en todas partes ayudándonos a entender y predecir el mundo que nos rodea.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
Sí, tienes acceso gratuito a los contenidos de la aplicación y a nuestro compañero de IA. Para desbloquear determinadas funciones de la aplicación, puedes adquirir Knowunity Pro.
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Pasos para representar funciones y ejemplos prácticos.
MatemáticasRepaso de matemáticas de 1 de bachillerato
MatemáticasFUNCIONES (ccss-1 bachillerato) / funciones polinómicas, potenciales, racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas
Matemáticas.
MatemáticasTeoría sobre matrices
Matemáticassuceciones, calculo de límites, operaciones con límites, indeterminaciones y discontinuidad
MatemáticasApp Store
Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
Sophia
usuario de Android
Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
usuaria de Android
La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
Izan
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.
Julyana
usuaria de Android
Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.
Javier
usuario de Android
Sinceramente me ha salvado los estudios. Recomiendo la aplicación 100%.
Erick
usuario de Android
Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
Mar
usuaria de iOS
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aroa
@aroasnchz_
¿Alguna vez te has preguntado cómo funcionan las relaciones matemáticas en el mundo real? Las funciones son exactamente eso: una forma de entender cómo una cosa afecta a otra, desde la temperatura que dilata un material hasta cuánto cuesta un... Mostrar más
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Las funciones son simplemente relaciones entre dos conjuntos de números. Piensa en ello como una máquina: introduces un valor (x) y obtienes otro valor (y).
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Por ejemplo, si tienes la función y = x + 3, cuando x vale 2, entonces y vale 5. Es así de simple: cada valor de entrada produce exactamente un valor de salida.
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También debes buscar máximos y mínimos: puntos donde la función alcanza sus valores más altos o más bajos en una zona determinada. Estos puntos te ayudan a entender el comportamiento general de la función.
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Para las funciones racionales, como y = /, debes encontrar qué valores hacen cero el denominador. En este ejemplo, x = 2 está excluido del dominio porque haría la fracción indefinida.
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La interpolación cuadrática es más compleja: necesitas tres puntos para determinar una parábola. El vértice siempre está en x = -b/2a, y desde ahí puedes calcular el valor de y sustituyendo.
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Los problemas de interpolación aparecen constantemente en situaciones reales. Cuando tienes dos puntos de datos, puedes crear una función lineal que te permita predecir otros valores.
El proceso es siempre el mismo: calcula la pendiente entre los dos puntos, usa la ecuación punto-pendiente para encontrar la fórmula, y después sustituye el valor que te piden. En el ejemplo del agricultor, con 40 almendros obtienes 20.000 kilos y con 60 obtienes 24.000 kilos.
La función resultante y = 200x + 12.000 te permite calcular la producción para cualquier número de almendros. Si plantas 50, obtendrías 22.000 kilos de almendras.
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En el ejemplo del tren, 57 km cuestan 2,85€ y 68 km cuestan 3,40€. La pendiente es (3,40 - 2,85)/(68 - 57) = 0,05 €/km. Esto significa que cada kilómetro adicional cuesta 5 céntimos.
La función final y = 0,05x te permite calcular cualquier precio: 500 km costarían 25€, y si pagas 4€, habrías recorrido 80 km. Estas relaciones lineales aparecen en tarifas telefónicas, consumo eléctrico, y muchas otras situaciones cotidianas.
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