Sistemas de ecuaciones lineales y clasificación

Imagínate que tienes que resolver varias ecuaciones al mismo tiempo, cada una con las mismas incógnitas x, y, z. Eso es exactamente lo que hace un sistema de ecuaciones lineales. Puedes escribirlo de forma matricial, donde separas los coeficientes, las incógnitas y los términos independientes en matrices diferentes.

Los sistemas se clasifican según sus soluciones. Un sistema compatible tiene solución: puede ser determinado (una única solución) o indeterminado (infinitas soluciones que dependen de parámetros). Un sistema incompatible no tiene solución posible.

Hay dos casos especiales importantes. Los sistemas homogéneos tienen todos los términos independientes igual a cero, y siempre son compatibles porque x=0, y=0, z=0 es siempre una solución. Los sistemas equivalentes son aquellos que tienen exactamente la misma solución.

¡Truco útil! Si ves que todos los términos independientes son cero, ya sabes que el sistema tiene al menos una solución: todas las incógnitas igual a cero.

Métodos de resolución: Gauss, Rouché y Cramer

El método de Gauss es tu mejor amigo para resolver sistemas. Consiste en transformar el sistema original en uno triangular más fácil de resolver. Para ello, trabajas con la matriz ampliada que incluye tanto los coeficientes como los términos independientes.

El teorema de Rouché-Frobenius te dice qué tipo de sistema tienes sin necesidad de resolverlo completamente. Comparas el rango de la matriz de coeficientes con el de la matriz ampliada. Si son iguales, el sistema es compatible; si son diferentes, incompatible.

La regla de Cramer es perfecta cuando tienes un sistema determinado. Calculas determinantes sustituyendo cada columna de coeficientes por la columna de términos independientes. Cada incógnita es igual al determinante correspondiente dividido por el determinante de la matriz original.

¡Importante para el examen! Recuerda que el número de parámetros en un sistema indeterminado es igual al número de incógnitas menos el rango de la matriz.