Teoremas Fundamentales y Derivadas

¿Sabías que hay teoremas que te garantizan que ciertas cosas van a pasar en las funciones? El Teorema de Bolzano te dice que si una función continua cambia de signo en un intervalo, obligatoriamente tiene que cruzar el eje X en algún punto intermedio.

El Teorema de Rolle va un paso más allá: si tienes una función continua y derivable que empieza y termina en el mismo valor $f(a) = f(b)$, entonces hay al menos un punto donde la derivada es cero. Esto significa que la función tiene una "meseta" donde no sube ni baja.

Las derivadas básicas que tienes que memorizar sí o sí incluyen: sen'x = cos x, cos'x = -sen x, (√x)' = 1/(2√x), y (ln x)' = 1/x. Estas aparecen constantemente en los ejercicios.

El Teorema del Valor Medio conecta la pendiente promedio de una función con su derivada: siempre existe un punto donde la derivada instantánea iguala la pendiente promedio del intervalo.

💡 Truco: Para recordar las derivadas trigonométricas, piensa que el seno "se convierte" en coseno, y el coseno "huye" del seno (por eso el signo negativo).