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8 dic 2025
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¡Los números reales son el fundamento de todas las matemáticas... Mostrar más
Los números reales se organizan como una gran familia donde cada conjunto contiene al anterior. Imagínate que son como muñecas rusas: una dentro de otra.
Empezamos con los números naturales (ℕ) que son los que usas para contar: 1, 2, 3, 4... Luego vienen los números enteros (ℤ) que incluyen los naturales más el cero y los negativos: ..., -2, -1, 0, 1, 2...
Los números racionales (ℚ) son todos los que puedes escribir como fracción a/b, donde b nunca puede ser cero. Aquí están las fracciones y los decimales que se repiten. Entre dos números racionales siempre hay infinitos más - puedes encontrar la media aritmética entre cualquier par.
Recuerda: Los números irracionales (𝕀) como π y √2 tienen infinitos decimales que nunca se repiten. ¡Son los rebeldes de las matemáticas!
Finalmente, ℝ = ℚ ∪ 𝕀 forman todos los números reales que "llenan" completamente la recta numérica.
Los intervalos te permiten representar conjuntos de números reales de forma elegante. Un intervalo abierto (a,b) incluye todos los números entre a y b, pero sin incluir los extremos. Un intervalo cerrado sí incluye los extremos.
También tienes intervalos semiabiertos como [a,∞) que van desde a hasta infinito, incluyendo el punto a. Es como decir "desde aquí en adelante".
El valor absoluto |x| siempre te da un resultado positivo. Es la distancia desde cero hasta ese número en la recta. Por ejemplo, |-3| = 3 y |5| = 5.
Truco: El valor absoluto es como un "eliminador de signos negativos" - siempre obtienes la versión positiva del número.
Existe un teorema que demuestra que √2 es irracional usando reducción al absurdo, pero no te preocupes por memorizarlo - no entra en el examen.
Las propiedades de las potencias son tus mejores amigas para simplificar expresiones. La regla básica: aⁿ · aᵐ = aⁿ⁺ᵐ. Cuando multiplicas potencias de la misma base, sumas los exponentes.
Para dividir potencias: aⁿ/aᵐ = aⁿ⁻ᵐ. Y cuando elevas una potencia a otra potencia: (aⁿ)ᵐ = aⁿ·ᵐ.
Los radicales siguen reglas similares. Puedes multiplicar raíces del mismo índice: ⁿ√a · ⁿ√b = ⁿ√(a·b). También puedes "sacar" una raíz de otra: ⁿ√ᵐ√a = ⁿ·ᵐ√a.
La racionalización elimina raíces del denominador. Para √ simples, multiplica por la misma raíz arriba y abajo. Para sumas de raíces, usa la diferencia como factor conjugado.
Consejo: Practica la racionalización paso a paso - es una técnica que aparece constantemente en exámenes.
Un logaritmo es simplemente la pregunta: "¿A qué exponente debo elevar esta base para obtener este número?" Si logₐ P = x, entonces aˣ = P.
Los logaritmos más comunes son log P (base 10) y ln P (base e). Son especialmente útiles para resolver ecuaciones exponenciales.
Las propiedades fundamentales te simplifican la vida: log₁ = 0 siempre. Para productos: logₐ(P·Q) = logₐ P + logₐ Q. Para cocientes: logₐ = logₐ P - logₐ Q.
Cuando tienes una potencia: logₐ(Pⁿ) = n·logₐ P. Y para raíces: logₐⁿ√P = ·logₐ P.
Clave: El cambio de base te permite calcular cualquier logaritmo: logₐ P = ln P/ln a. ¡Tu calculadora te lo agradecerá!
El factorial (n!) representa todas las formas posibles de ordenar n elementos. 4! = 4·3·2·1 = 24. Es perfecto cuando el orden importa, como clasificaciones en torneos.
Las combinaciones se usan cuando el orden NO importa. Si quieres elegir 4 alumnos de 20, usas C₂₀⁴ = 20!/(4!·16!) = 4845 formas diferentes.
El triángulo de Pascal organiza los números combinatorios de forma visual. Cada número es la suma de los dos que están encima de él. Los coeficientes de cada fila corresponden a las potencias del binomio.
Diferencia clave: Permutaciones (orden importa) vs Combinaciones (orden no importa). En tu calculadora busca nPr para permutaciones y nCr para combinaciones.
Para potencias de binomios como ⁿ, los coeficientes vienen del triángulo de Pascal. Los exponentes de a van descendiendo mientras los de b van ascendiendo, pero siempre suman n.
Los números combinatorios se escriben como y representan las formas de elegir n elementos de m totales. Son simétricos: = .
El triángulo de Pascal es una herramienta visual increíble. Cada fila n contiene los coeficientes para expandir ⁿ. La fila 0 es solo 1, la fila 1 es 1,1, la fila 2 es 1,2,1, y así sucesivamente.
Para expandir ⁿ, cada término tiene la forma ·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ. Los exponentes siempre suman n, y los coeficientes vienen directamente del triángulo.
Por ejemplo: ³ = 1a³ + 3a²b + 3ab² + 1b³. Los coeficientes 1,3,3,1 están en la fila 3 del triángulo.
Tip práctico: No memorices las expansiones - aprende a usar el triángulo de Pascal y construye cualquier potencia de binomio que necesites.
Tu calculadora tiene función nCr que calcula estos números automáticamente. ¡Úsala para verificar tus cálculos manuales!
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
Sí, tienes acceso gratuito a los contenidos de la aplicación y a nuestro compañero de IA. Para desbloquear determinadas funciones de la aplicación, puedes adquirir Knowunity Pro.
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Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
Sophia
usuario de Android
Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
usuaria de Android
La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
Izan
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.
Julyana
usuaria de Android
Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.
Javier
usuario de Android
Sinceramente me ha salvado los estudios. Recomiendo la aplicación 100%.
Erick
usuario de Android
Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
Mar
usuaria de iOS
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¡Los números reales son el fundamento de todas las matemáticas que vas a usar! Desde contar hasta resolver ecuaciones complejas, entender cómo se clasifican y operan estos números te dará las herramientas para dominar cualquier problema matemático.
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Los números racionales (ℚ) son todos los que puedes escribir como fracción a/b, donde b nunca puede ser cero. Aquí están las fracciones y los decimales que se repiten. Entre dos números racionales siempre hay infinitos más - puedes encontrar la media aritmética entre cualquier par.
Recuerda: Los números irracionales (𝕀) como π y √2 tienen infinitos decimales que nunca se repiten. ¡Son los rebeldes de las matemáticas!
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Cuando tienes una potencia: logₐ(Pⁿ) = n·logₐ P. Y para raíces: logₐⁿ√P = ·logₐ P.
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El triángulo de Pascal organiza los números combinatorios de forma visual. Cada número es la suma de los dos que están encima de él. Los coeficientes de cada fila corresponden a las potencias del binomio.
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Para expandir ⁿ, cada término tiene la forma ·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ. Los exponentes siempre suman n, y los coeficientes vienen directamente del triángulo.
Por ejemplo: ³ = 1a³ + 3a²b + 3ab² + 1b³. Los coeficientes 1,3,3,1 están en la fila 3 del triángulo.
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