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Javier
10/12/2025
Matemáticas
resumen límites y derivadas
309
•
10 dic 2025
•
Javier
@rodriguezca
¡Hora de dominar los límites y las derivadas! Estos conceptos... Mostrar más
Los límites te ayudan a saber qué pasa con una función cuando x se acerca a un valor específico. Para funciones polinómicas, es súper fácil: cuando x tiende a un número 'a', el límite es simplemente f(a).
Con las funciones racionales (fracciones de polinomios), la cosa se pone más interesante. Si tienes una indeterminación del tipo ∞/∞, fíjate en los grados: si el numerador tiene mayor grado que el denominador, el límite es infinito; si es menor, el límite es 0.
Para las funciones irracionales con indeterminaciones del tipo , el truco está en multiplicar y dividir por el conjugado. Y si te encuentras con exponenciales que dan , usa la fórmula especial con la exponencial.
¡Ojo! Una función es continua en un punto si existe f(a), existe el límite cuando x tiende a 'a', y ambos valores son iguales.
La derivada f'(a) te dice cuál es la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto. Es como preguntarte: "¿qué tan empinada está la curva aquí?" La ecuación de esa recta tangente es y - f(a) = f'(a).
Las reglas de derivación son tu mejor amigo: las constantes se vuelven 0, x se convierte en 1, y para funciones compuestas usas la regla de la cadena. Para productos y cocientes tienes fórmulas específicas que debes memorizar.
La derivabilidad implica continuidad, pero no al revés. Si una función es derivable en un punto, automáticamente es continua ahí. Para estudiar si una función es derivable, primero comprueba que sea continua.
¡Truco! En problemas de optimización, define tu función objetivo, simplifícala a una sola variable, deriva e iguala a cero para encontrar máximos y mínimos.
Para representar una función completa, sigue estos 8 pasos como un protocolo: dominio y continuidad, periodicidad, simetrías, asíntotas, puntos de corte, monotonía, curvatura y finalmente la representación gráfica.
Las asíntotas son líneas que la función se acerca pero nunca toca. Las verticales aparecen donde la función no tiene imagen y el límite da infinito. Las horizontales cuando el límite en infinito da un número concreto. Las oblicuas solo existen si no hay horizontales.
Para estudiar la monotonía, deriva la función e iguala a cero para encontrar puntos críticos. Si f''(a) < 0, tienes un máximo; si f''(a) > 0, un mínimo. La curvatura se estudia con la segunda derivada: negativa significa cóncava (∪) y positiva convexa (∩).
¡Importante! Un punto de inflexión aparece cuando f''(x) = 0 y f'''(a) ≠ 0. Es donde la función cambia de cóncava a convexa o viceversa.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
Sí, tienes acceso gratuito a los contenidos de la aplicación y a nuestro compañero de IA. Para desbloquear determinadas funciones de la aplicación, puedes adquirir Knowunity Pro.
App Store
Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
Sophia
usuario de Android
Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
usuaria de Android
La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
Izan
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.
Julyana
usuaria de Android
Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.
Javier
usuario de Android
Sinceramente me ha salvado los estudios. Recomiendo la aplicación 100%.
Erick
usuario de Android
Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
Mar
usuaria de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
Sophia
usuario de Android
Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
usuaria de Android
La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
Izan
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
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Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.
Julyana
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Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.
Javier
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Erick
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Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
Mar
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Javier
@rodriguezca
¡Hora de dominar los límites y las derivadas! Estos conceptos son fundamentales en matemáticas de 2º de Bach y te van a servir para entender cómo cambian las funciones y resolver problemas de optimización.
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Los límites te ayudan a saber qué pasa con una función cuando x se acerca a un valor específico. Para funciones polinómicas, es súper fácil: cuando x tiende a un número 'a', el límite es simplemente f(a).
Con las funciones racionales (fracciones de polinomios), la cosa se pone más interesante. Si tienes una indeterminación del tipo ∞/∞, fíjate en los grados: si el numerador tiene mayor grado que el denominador, el límite es infinito; si es menor, el límite es 0.
Para las funciones irracionales con indeterminaciones del tipo , el truco está en multiplicar y dividir por el conjugado. Y si te encuentras con exponenciales que dan , usa la fórmula especial con la exponencial.
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La derivada f'(a) te dice cuál es la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto. Es como preguntarte: "¿qué tan empinada está la curva aquí?" La ecuación de esa recta tangente es y - f(a) = f'(a).
Las reglas de derivación son tu mejor amigo: las constantes se vuelven 0, x se convierte en 1, y para funciones compuestas usas la regla de la cadena. Para productos y cocientes tienes fórmulas específicas que debes memorizar.
La derivabilidad implica continuidad, pero no al revés. Si una función es derivable en un punto, automáticamente es continua ahí. Para estudiar si una función es derivable, primero comprueba que sea continua.
¡Truco! En problemas de optimización, define tu función objetivo, simplifícala a una sola variable, deriva e iguala a cero para encontrar máximos y mínimos.
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Para representar una función completa, sigue estos 8 pasos como un protocolo: dominio y continuidad, periodicidad, simetrías, asíntotas, puntos de corte, monotonía, curvatura y finalmente la representación gráfica.
Las asíntotas son líneas que la función se acerca pero nunca toca. Las verticales aparecen donde la función no tiene imagen y el límite da infinito. Las horizontales cuando el límite en infinito da un número concreto. Las oblicuas solo existen si no hay horizontales.
Para estudiar la monotonía, deriva la función e iguala a cero para encontrar puntos críticos. Si f''(a) < 0, tienes un máximo; si f''(a) > 0, un mínimo. La curvatura se estudia con la segunda derivada: negativa significa cóncava (∪) y positiva convexa (∩).
¡Importante! Un punto de inflexión aparece cuando f''(x) = 0 y f'''(a) ≠ 0. Es donde la función cambia de cóncava a convexa o viceversa.
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Marta
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Sara
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Julyana
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Javier
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Sinceramente me ha salvado los estudios. Recomiendo la aplicación 100%.
Erick
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Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
Mar
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
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Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
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Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.
Julyana
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Javier
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Erick
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Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
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