Matemáticas

Límites de Funciones y Asíntotas

límite

760

•

14 dic 2025

•

20 páginas

Límites y Continuidad en Matemáticas

Pau

@paumacia

¿Alguna vez te has preguntado qué pasa con una función... Mostrar más

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T9- Limits i continuïtat de funcions.
9.1. Introducció
9.2. Límit d'una funció
l'infinit
9.3. Límit d'une funció en un punt
9.4. Limits late

Introducción a los Límites

Los límites te dicen hacia qué valor se dirige una función cuando x se acerca a un punto específico o al infinito. Es como predecir el comportamiento de la función sin necesidad de evaluar directamente ese punto.

Imagínate que tienes una función que "explota" en x = 1 (no existe f(1)). Con los límites puedes ver qué pasa cuando te acercas a ese punto desde la izquierda o desde la derecha. Por ejemplo, si $\lim_{x \to 1^{-}} f(x) = +\infty$ , significa que cuando te aproximas a 1 por la izquierda, la función crece sin límite.

Los límites laterales $desde la izquierda $1^{-}$ y desde la derecha $1^{+}$$ pueden dar resultados diferentes, lo que nos dice mucho sobre el comportamiento de la función en esos puntos críticos.

💡 Consejo: Los límites te ayudan a estudiar puntos donde la función no está definida pero sí tiene un comportamiento predecible.

Ejemplos Gráficos de Límites

Cuando observas gráficas, los límites se vuelven súper intuitivos. Fíjate en estos casos típicos que aparecen en los exámenes.

Para una función g(x) en x = 2: si $\lim_{x \to 2^{-}} g(x) = 2$ pero $\lim_{x \to 2^{+}} g(x) = -1$ , tienes límites laterales diferentes. Esto significa que hay un "salto" en la función. Además, si g(2) = -1, la función está definida en ese punto pero el límite por la izquierda no coincide.

Para límites al infinito como $\lim_{x \to +\infty} h(x) = 5$ , la función se aproxima horizontalmente al valor 5 cuando x crece muchísimo. Es como si tuviera una asíntota horizontal en y = 5.

💡 Truco: Si tienes dudas sobre un límite, prueba con valores muy cercanos al punto problemático en la calculadora.

Ejercicio Práctico con GeoGebra

Con funciones complejas como $f(x) = \frac{2x^3 + 6x^2 + 4x}{x^2 + 2x^2 - 3x}$ , GeoGebra se convierte en tu mejor aliado para visualizar el comportamiento.

Los puntos críticos aparecen donde el denominador se hace cero $x = -3, x = -1, x = 1$ . En estos puntos la función puede tender a $+\infty$ o $-\infty$ dependiendo del lado por el que te acerques. Por ejemplo, $\lim_{x \to -3^{-}} f(x) = +\infty$ pero $\lim_{x \to -3^{+}} f(x) = -\infty$ .

Para verificar tus cálculos gráficos, puedes evaluar puntos muy cercanos: f(-3.001) ≈ 1001.25 (número gigante positivo) confirma que el límite por la izquierda es $+\infty$ . Los límites al infinito dan 2, indicando una asíntota horizontal.

💡 Estrategia: Siempre combina el análisis gráfico con verificaciones numéricas para estar seguro.

Límites al Infinito - Casos Sencillos

Cuando x se hace muy grande (o muy pequeño), muchas funciones tienen comportamientos predecibles que puedes calcular directamente sustituyendo.

Para casos directos como $\lim_{x \to \infty} x^2 + 1 = \infty$ o $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$ , simplemente sustituyes y listo. El primer caso crece sin límite, el segundo se acerca a cero porque divides por números cada vez más grandes.

Pero cuidado con las indeterminaciones como $\frac{\infty}{\infty}$ o $\infty - \infty$ . Estas aparecen en fracciones de polinomios o restas de funciones que crecen indefinidamente. Aquí necesitas técnicas especiales para resolverlas.

💡 Recuerda: Las indeterminaciones no significan que el límite no existe, sino que necesitas trabajar más para encontrarlo.

Técnicas para Resolver Indeterminaciones

Para fracciones de polinomios del tipo $\frac{\infty}{\infty}$ , usa la regla del término dominante: solo considera los términos de mayor grado del numerador y denominador.

En $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 4}{x^3 - 2}$ , ignora los términos de menor grado y quédate con $\frac{x^2}{x^3} = \frac{1}{x} = 0$ . El grado del denominador es mayor, así que el límite es cero.

Hay tres casos fundamentales: si el grado del numerador es mayor → $\pm\infty$ ; si es menor → 0; si son iguales → cociente de coeficientes dominantes. Por ejemplo, $\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + x - 1}{x^2 + 4} = 2$ .

💡 Regla de oro: En polinomios, el término de mayor grado siempre "gana" cuando x → ∞.

Indeterminaciones con Raíces

Las indeterminaciones del tipo $\infty - \infty$ con raíces requieren el truco de racionalizar: multiplica y divide por el conjugado.

Para $\lim_{x \to \infty} \sqrt{3x+2} - \sqrt{2x+1}$ , multiplicas por $\frac{\sqrt{3x+2} + \sqrt{2x+1}}{\sqrt{3x+2} + \sqrt{2x+1}}$ . Esto transforma el numerador en $(3x+2) - (2x+1) = x+1$ , eliminando las raíces problemáticas.

El denominador queda como suma de raíces, pero al simplificar obtienes $\frac{x+1}{\sqrt{3x} + \sqrt{2x}} = \frac{x}{\sqrt{x}(\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \infty$ .

💡 Técnica clave: La racionalización convierte restas de raíces en fracciones más manejables.

Ejercicios Resueltos y Reglas Importantes

Los ejercicios prácticos te ayudan a dominar las técnicas. En $\lim_{x \to \infty} \frac{2-x-5x^2}{3x^2+1}$ , el término dominante es $\frac{-5x^2}{3x^2} = -\frac{5}{3}$ .

Para casos más complejos con raíces como $\sqrt{3x^2+5x-9} - \sqrt{3x^2-x+1}$ , después de racionalizar obtienes $\frac{6x-10}{\sqrt{3x^2} + \sqrt{3x^2}} = \frac{6x}{2\sqrt{3}x} = \sqrt{3}$ .

Las reglas generales para fracciones de polinomios son tu salvavidas: si grado numerador > denominador → $\pm\infty$ ; si menor → 0; si igual → cociente de coeficientes principales.

💡 Para el examen: Memoriza estas tres reglas para fracciones de polinomios, te ahorrarán tiempo y errores.

Límites en un Punto

Cuando calculas límites en puntos específicos, primero intenta la sustitución directa. Si el punto está en el dominio, como $\lim_{x \to 1} \frac{2x+3}{x^2+1} = \frac{5}{2}$ , el límite coincide con f(1).

Si obtienes $\frac{a}{0}$ con a ≠ 0, el límite es $\pm\infty$ dependiendo del signo. Pero cuidado con la indeterminación $\frac{0}{0}$ : significa que tanto numerador como denominador se anulan en ese punto.

Para resolver $\frac{0}{0}$ , factoriza numerador y denominador para cancelar factores comunes. En $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 - 5x + 6}$ , factorizas como $\frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)(x-3)}$ , cancelas $x-2$ y obtienes $\frac{x+2}{x-3} = -4$ .

💡 Método infalible: Ante $\frac{0}{0}$ , siempre factoriza y simplifica antes de sustituir.

Más Técnicas para Puntos Problemáticos

Las indeterminaciones en puntos requieren creatividad. Para $\lim_{x \to -2} \frac{2x+4}{x^3+8}$ , reconoces que x³+8 = $x+2$ $x²-2x+4$ , así cancelas el factor $x+2$ común.

Cuando tienes sumas de fracciones que dan $\infty - \infty$ , primero júntalas con denominador común. En $\lim_{x \to 0} \frac{x+2}{3x} - \frac{1-x}{2x^2}$ , el denominador común es 6x², y después de operar obtienes $\frac{-3}{0} = -\infty$ .

La clave está en transformar la indeterminación en algo calculable: factorizar para $\frac{0}{0}$ , denominador común para sumas problemáticas, o racionalizar para raíces.

💡 Estrategia ganadora: Identifica primero qué tipo de indeterminación tienes, luego aplica la técnica específica.

Ejercicios Corregidos Paso a Paso

Los ejercicios resueltos te muestran el proceso completo. En $\lim_{x \to 1} \frac{2x+3}{x^2-1} ÷ \frac{2x+2}{x-1}$ , transformas la división en multiplicación por el recíproco y cancelas factores.

Para $\lim_{x \to -1} \frac{x^2+2x+1}{x^3+3x^2+3x+1}$ , reconoces trinomios cuadrados perfectos: $\frac{(x+1)^2}{(x+1)^3} = \frac{1}{x+1}$ , que da $\frac{1}{0} = \infty$ .

El truco en ejercicios complejos es simplificar paso a paso: factoriza, cancela, opera con calma. En $\lim_{x \to 0} \frac{2x^2+2x}{3x^2-4x}$ , sacas factor común x y obtienes $\frac{2x+2}{3x-4} = -\frac{1}{2}$ .

💡 Consejo final: Practica estos tipos de ejercicios hasta que las técnicas se vuelvan automáticas.

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