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Rectas Tangente y Normal
¿Alguna vez te has preguntado cómo encontrar la recta que "toca" una curva en un punto exacto? Esa es la recta tangente, y su fórmula es súper directa: y - f(a) = f'(a).
La clave está en que f'(a) te da la pendiente de esa recta tangente. Por ejemplo, si tienes f(x) = 3x² - 2x + 5 en x = 1, calculas f(1) = 6 y f'(1) = 4, entonces tu recta tangente es y = 4x + 2.
La recta normal es la perpendicular a la tangente, así que su fórmula cambia a y - f(a) = -1/f'(a). Básicamente, usas el inverso negativo de la pendiente.
💡 Truco clave: Si dos rectas son paralelas, tienen la misma pendiente. Si son perpendiculares, el producto de sus pendientes es -1.
Más sobre Rectas y Selectividad
Los problemas de selectividad suelen pedirte que encuentres rectas con condiciones específicas. Si te dicen que una tangente es horizontal, significa que f'(a) = 0 (pendiente cero).
Cuando busques una recta tangente paralela a otra dada, solo tienes que igualar las pendientes. Si la recta dada es y = 3x + 5, necesitas que f'(a) = 3.
Para funciones más complicadas como f(x) = x + xe^, primero calculas la derivada: f'(x) = 1 + e^ - xe^. Luego resuelves la ecuación para encontrar el punto donde la pendiente coincide.
💡 Consejo de examen: Siempre verifica que tu punto esté en el dominio de la función antes de calcular la tangente.
Monotonía y Extremos
Aquí está uno de los conceptos más útiles: si f'(x) > 0, la función crece. Si f'(x) < 0, decrece. Es así de simple.
Cuando f'(x) = 0, tienes un punto crítico donde puede haber un máximo o mínimo. Para saber cuál es, miras el signo de la derivada antes y después del punto.
Si la función pasa de crecer a decrecer (de f' > 0 a f' < 0), tienes un máximo. Si pasa de decrecer a crecer, tienes un mínimo.
💡 Método rápido: Haz una tabla de signos de f'(x) para ver claramente dónde crece y decrece tu función.
Extremos Absolutos
Los extremos absolutos son los valores más grandes o pequeños que alcanza una función en todo su dominio. Si trabajas en un intervalo cerrado [a,b], siempre existen (gracias al teorema de Weierstrass).
Para encontrarlos, tienes varios candidatos: los extremos del intervalo (a y b), los extremos relativos , y los puntos de frontera si la función está definida a trozos.
Por ejemplo, con f(x) = ln en [-3,2], calculas f en todos los candidatos y comparas. El mayor valor es el máximo absoluto, el menor es el mínimo absoluto.
💡 Estrategia de examen: Siempre evalúa la función en los extremos del intervalo, aunque parezcan obvios.
Curvatura y Puntos de Inflexión
La segunda derivada te dice si una función es cóncava o convexa. Si f''(x) > 0, la función tiene forma de U (convexa). Si f''(x) < 0, tiene forma de ∩ (cóncava).
Un punto de inflexión es donde cambia la curvatura, y ocurre cuando f''(x) = 0. Para confirmarlo, verificas que f'''(x) ≠ 0 en ese punto.
La idea visual es simple: imagina que las tangentes están "encima" de la función cuando es cóncava, y "debajo" cuando es convexa.
💡 Visualización útil: Piensa en una montaña (cóncava arriba) vs un valle (convexo abajo).
Relación entre las Gráficas de f y f'
Puedes obtener mucha información sobre f solo mirando la gráfica de f'. Es como ser detective matemático.
Si f' > 0 en un intervalo, entonces f crece ahí. Si f' < 0, entonces f decrece. Los puntos donde f' = 0 son los extremos de f.
Para la curvatura, observas cómo se comporta f': si f' crece, entonces f es convexa (f'' > 0). Si f' decrece, entonces f es cóncava (f'' < 0).
💡 Truco visual: Los extremos de f' se corresponden con puntos de inflexión de f.
Regla de L'Hôpital
Cuando te encuentras con indeterminaciones tipo 0/0 o ∞/∞, la regla de L'Hôpital es tu salvación. Simplemente derivas el numerador y denominador por separado.
Por ejemplo: lim(x→1) / = lim(x→1) (2x)/(1) = 2. Mucho más fácil que factorizar.
A veces necesitas aplicar la regla varias veces seguidas hasta que desaparezca la indeterminación. No te desanimes si no funciona a la primera.
💡 Cuidado: Solo puedes usar L'Hôpital cuando realmente tienes una indeterminación, no en cualquier límite.
Problemas de Optimización
Los problemas de optimización son súper prácticos. Se trata de encontrar el máximo o mínimo de algo real, como el área más grande con una cantidad fija de material.
El truco está en convertir todo a una función de una sola variable. Si tienes un rectángulo con perímetro 100m, usas 2x + 2y = 100 para expresar y en función de x, y luego maximizas el área A(x) = x.
Deriva, iguala a cero, y verifica con la segunda derivada si es máximo o mínimo. En el ejemplo, obtienes un cuadrado de 25×25m para máxima área.
💡 Método infalible: Siempre verifica que tu solución tenga sentido en el contexto del problema.
Funciones con Condiciones
Cuando te dan condiciones sobre una función (como "pasa por un punto" o "tiene un punto de inflexión"), debes traducirlas a ecuaciones matemáticas.
"Pasa por (1,0)" significa f(1) = 0. "Tiene punto de inflexión en (3,2)" significa f''(3) = 0 y f(3) = 2.
Con estas ecuaciones formas un sistema que te permite encontrar los parámetros desconocidos de la función. Es como resolver un puzzle matemático.
💡 Organízate: Escribe todas las condiciones claramente antes de empezar a resolver el sistema.
Representación Gráfica y Asíntotas
Las asíntotas son líneas rectas a las que se acerca la función sin llegar a tocarlas. Hay dos tipos principales que debes dominar.
Asíntotas horizontales: y = a, donde lim(x→∞) f(x) = a. Para funciones racionales, compara los grados del numerador y denominador.
Asíntotas oblicuas: y = mx + n, donde m = lim(x→∞) f(x)/x y n = lim(x→∞) . Solo existen si no hay asíntota horizontal.
💡 Tip de gráfica: Calcula algunos puntos para ver si la función está por encima o debajo de la asíntota.
Pensamos que nunca lo preguntarías...
¿Qué es Knowunity AI companion?
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
¿Dónde puedo descargar la app Knowunity?
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
¿Knowunity es totalmente gratuito?
Sí, tienes acceso gratuito a los contenidos de la aplicación y a nuestro compañero de IA. Para desbloquear determinadas funciones de la aplicación, puedes adquirir Knowunity Pro.
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Sintaxis
Sintexis de Lengua Castellana. Incluye las oraciones simples, los complementos y todas las oraciones compuestas
Lengua Castellana y LiteraturaPAU (2° Bach)
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Mira lo que dicen nuestros usuarios. Les encanta - y a tí también.
4.6/5
App Store
4.7/5
Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
Sophia
usuario de Android
Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
usuaria de Android
La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
Izan
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.
Julyana
usuaria de Android
Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.
Javier
usuario de Android
LOS QUIZ Y FLASHCARDS SON SÚPER ÚTILES Y ME ENCANTA Knowunity IA. ADEMÁS ES LITERALMENTE COMO CHATGPT PERO MÁS LISTO!! ME AYUDÓ TAMBIÉN CON MIS PROBLEMAS DE MÁSCARA!! Y CON MIS ASIGNATURAS DE VERDAD! OBVIO 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Erick
usuario de Android
Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
Mar
usuaria de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
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Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
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La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
Izan
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
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Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.
Julyana
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Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.
Javier
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Erick
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Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
Mar
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Tema 2: Usos prácticos de las derivadas
¡Las derivadas no solo sirven para hacer cálculos! En realidad son súper útiles para entender cómo se comportan las funciones y resolver problemas del mundo real. Vamos a ver cómo usar derivadas para encontrar rectas tangentes, optimizar situaciones y dibujar... Mostrar más
Rectas Tangente y Normal
¿Alguna vez te has preguntado cómo encontrar la recta que "toca" una curva en un punto exacto? Esa es la recta tangente, y su fórmula es súper directa: y - f(a) = f'(a).
La clave está en que f'(a) te da la pendiente de esa recta tangente. Por ejemplo, si tienes f(x) = 3x² - 2x + 5 en x = 1, calculas f(1) = 6 y f'(1) = 4, entonces tu recta tangente es y = 4x + 2.
La recta normal es la perpendicular a la tangente, así que su fórmula cambia a y - f(a) = -1/f'(a). Básicamente, usas el inverso negativo de la pendiente.
💡 Truco clave: Si dos rectas son paralelas, tienen la misma pendiente. Si son perpendiculares, el producto de sus pendientes es -1.
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Los problemas de selectividad suelen pedirte que encuentres rectas con condiciones específicas. Si te dicen que una tangente es horizontal, significa que f'(a) = 0 (pendiente cero).
Cuando busques una recta tangente paralela a otra dada, solo tienes que igualar las pendientes. Si la recta dada es y = 3x + 5, necesitas que f'(a) = 3.
Para funciones más complicadas como f(x) = x + xe^, primero calculas la derivada: f'(x) = 1 + e^ - xe^. Luego resuelves la ecuación para encontrar el punto donde la pendiente coincide.
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Monotonía y Extremos
Aquí está uno de los conceptos más útiles: si f'(x) > 0, la función crece. Si f'(x) < 0, decrece. Es así de simple.
Cuando f'(x) = 0, tienes un punto crítico donde puede haber un máximo o mínimo. Para saber cuál es, miras el signo de la derivada antes y después del punto.
Si la función pasa de crecer a decrecer (de f' > 0 a f' < 0), tienes un máximo. Si pasa de decrecer a crecer, tienes un mínimo.
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Extremos Absolutos
Los extremos absolutos son los valores más grandes o pequeños que alcanza una función en todo su dominio. Si trabajas en un intervalo cerrado [a,b], siempre existen (gracias al teorema de Weierstrass).
Para encontrarlos, tienes varios candidatos: los extremos del intervalo (a y b), los extremos relativos , y los puntos de frontera si la función está definida a trozos.
Por ejemplo, con f(x) = ln en [-3,2], calculas f en todos los candidatos y comparas. El mayor valor es el máximo absoluto, el menor es el mínimo absoluto.
💡 Estrategia de examen: Siempre evalúa la función en los extremos del intervalo, aunque parezcan obvios.
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Curvatura y Puntos de Inflexión
La segunda derivada te dice si una función es cóncava o convexa. Si f''(x) > 0, la función tiene forma de U (convexa). Si f''(x) < 0, tiene forma de ∩ (cóncava).
Un punto de inflexión es donde cambia la curvatura, y ocurre cuando f''(x) = 0. Para confirmarlo, verificas que f'''(x) ≠ 0 en ese punto.
La idea visual es simple: imagina que las tangentes están "encima" de la función cuando es cóncava, y "debajo" cuando es convexa.
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Relación entre las Gráficas de f y f'
Puedes obtener mucha información sobre f solo mirando la gráfica de f'. Es como ser detective matemático.
Si f' > 0 en un intervalo, entonces f crece ahí. Si f' < 0, entonces f decrece. Los puntos donde f' = 0 son los extremos de f.
Para la curvatura, observas cómo se comporta f': si f' crece, entonces f es convexa (f'' > 0). Si f' decrece, entonces f es cóncava (f'' < 0).
💡 Truco visual: Los extremos de f' se corresponden con puntos de inflexión de f.
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Regla de L'Hôpital
Cuando te encuentras con indeterminaciones tipo 0/0 o ∞/∞, la regla de L'Hôpital es tu salvación. Simplemente derivas el numerador y denominador por separado.
Por ejemplo: lim(x→1) / = lim(x→1) (2x)/(1) = 2. Mucho más fácil que factorizar.
A veces necesitas aplicar la regla varias veces seguidas hasta que desaparezca la indeterminación. No te desanimes si no funciona a la primera.
💡 Cuidado: Solo puedes usar L'Hôpital cuando realmente tienes una indeterminación, no en cualquier límite.
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Problemas de Optimización
Los problemas de optimización son súper prácticos. Se trata de encontrar el máximo o mínimo de algo real, como el área más grande con una cantidad fija de material.
El truco está en convertir todo a una función de una sola variable. Si tienes un rectángulo con perímetro 100m, usas 2x + 2y = 100 para expresar y en función de x, y luego maximizas el área A(x) = x.
Deriva, iguala a cero, y verifica con la segunda derivada si es máximo o mínimo. En el ejemplo, obtienes un cuadrado de 25×25m para máxima área.
💡 Método infalible: Siempre verifica que tu solución tenga sentido en el contexto del problema.
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Funciones con Condiciones
Cuando te dan condiciones sobre una función (como "pasa por un punto" o "tiene un punto de inflexión"), debes traducirlas a ecuaciones matemáticas.
"Pasa por (1,0)" significa f(1) = 0. "Tiene punto de inflexión en (3,2)" significa f''(3) = 0 y f(3) = 2.
Con estas ecuaciones formas un sistema que te permite encontrar los parámetros desconocidos de la función. Es como resolver un puzzle matemático.
💡 Organízate: Escribe todas las condiciones claramente antes de empezar a resolver el sistema.
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Representación Gráfica y Asíntotas
Las asíntotas son líneas rectas a las que se acerca la función sin llegar a tocarlas. Hay dos tipos principales que debes dominar.
Asíntotas horizontales: y = a, donde lim(x→∞) f(x) = a. Para funciones racionales, compara los grados del numerador y denominador.
Asíntotas oblicuas: y = mx + n, donde m = lim(x→∞) f(x)/x y n = lim(x→∞) . Solo existen si no hay asíntota horizontal.
💡 Tip de gráfica: Calcula algunos puntos para ver si la función está por encima o debajo de la asíntota.
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Sophia
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Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
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Izan
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Roberto
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Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.
Julyana
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Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.
Javier
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Erick
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Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
Mar
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
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Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
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La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
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Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.
Julyana
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Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.
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Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
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