Matemáticas

Continuidad y Discontinuidades de Funciones

continuidad

2121

•

16 dic 2025

•

8 páginas

Límites, Continuidad y Teorema de Bolzano: Resuelviendo Indeterminaciones

Elena

@elena246

Los límites y la continuidad son conceptos fundamentales que te... Mostrar más

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TEMA 10
LIMITES
CONTINUIDAD
Dicemos
que el limite
cuando
× tiende
a
un valor
a
de
una funcón f es L cuando
cumple
que
limfox) = L
x19
3 lim

Límites y Continuidad Básica

¿Te has preguntado qué pasa cuando una función se acerca a un punto específico? El límite te da esa respuesta exacta. Cuando escribimos $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = L$ , estamos diciendo que cuando x se aproxima al valor a, la función se acerca al valor L.

Los límites laterales son súper importantes cuando trabajas con funciones definidas a trozos. El límite por la izquierda $x \rightarrow a^-$ y por la derecha $x \rightarrow a^+$ pueden ser diferentes, y eso determina si existe el límite en ese punto.

Por ejemplo, si tienes $f(x) = \begin{cases} 3x - 1 & x < 2 \ x^2 + x - 1 & x > 2 \end{cases}$ , para calcular $\lim_{x \rightarrow 2^-} f(x)$ usas la primera expresión: $3(2) - 1 = 5$ . Para $\lim_{x \rightarrow 2^+} f(x)$ usas la segunda: $4 + 2 - 1 = 5$ .

Truco clave: Cuando los límites laterales coinciden, existe el límite en ese punto. Si son diferentes, no existe.

Indeterminaciones Fundamentales

Las indeterminaciones aparecen cuando sustituir directamente te da expresiones como $\frac{\infty}{\infty}$ , $\frac{0}{0}$ , o $\infty - \infty$ . No te preocupes, tienen solución con técnicas específicas.

Para la indeterminación $\frac{\infty}{\infty}$ en polinomios, divide numerador y denominador por la mayor potencia de x. Así $\lim_{x\to\infty} \frac{x^3 + x^4}{2x + 3}$ se convierte en $\lim_{x\to\infty} \frac{1/x + 1}{2/x^3 + 3/x^4} = \frac{1}{0} = +\infty$ .

La indeterminación $\frac{0}{0}$ se resuelve factorizando ambos polinomios y simplificando. Por ejemplo: $\lim_{x\to3} \frac{x^2 - 4x + 3}{x^2 - 9} = \lim_{x\to3} \frac{(x-3)(x-1)}{(x-3)(x+3)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ .

Consejo: Si aparecen raíces, multiplica y divide por el conjugado para eliminar la indeterminación.

Indeterminaciones Avanzadas y Continuidad

Para resolver $\infty - \infty$ , necesitas operar las expresiones hasta convertirlas en una sola función. Si hay raíces, el método del conjugado es tu mejor aliado.

Con expresiones como $\lim_{x\to \infty} (\sqrt{x^2 - 2} - \sqrt{x^2 - x})$ , multiplicas por $\frac{\sqrt{x^2 - 2} + \sqrt{x^2 - x}}{\sqrt{x^2 - 2} + \sqrt{x^2 - x}}$ . Esto elimina las raíces del numerador y te permite simplificar.

Una función es continua en x = a cuando $\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$ . Es decir, el límite existe y coincide exactamente con el valor de la función en ese punto.

Recuerda: Para que una función sea continua en un punto, necesitas tres cosas: que exista f(a), que exista el límite, y que ambos sean iguales.

Tipos de Discontinuidades

Existen tres tipos principales de discontinuidades que debes saber identificar rápidamente.

La discontinuidad inevitable ocurre cuando los límites laterales no coinciden o tienden a infinito. Es como un salto brusco en la función que no se puede "arreglar". Por ejemplo, en $f(x) = \begin{cases} 1/x & x<1 \ 2x^2+3 & x≥1 \end{cases}$ , tienes $\lim_{x\to1^-} = 1$ pero $\lim_{x\to1^+} = 5$ .

La discontinuidad evitable es más amigable: el límite existe pero no coincide con f(a). Imagínate un agujero en la gráfica que podrías "tapar" cambiando solo el valor en ese punto.

Tip de examen: Para identificar discontinuidades, siempre calcula primero los límites laterales. Si coinciden pero son diferentes del valor de la función, es evitable. Si no coinciden, es inevitable.

Teorema de Bolzano

El Teorema de Bolzano es una herramienta poderosa que garantiza la existencia de soluciones. Si tienes una función continua en $a,b$ y f(a) y f(b) tienen signos opuestos, entonces existe al menos un punto c donde f(c) = 0.

Para aplicarlo correctamente, verifica que la función sea continua en el intervalo dado. Luego evalúa los extremos del intervalo y comprueba que tengan signos diferentes.

Por ejemplo, con f(x) = x² - x·sen(x) - cos(x) en $0,π$ , calculas f(0) = -1 < 0 y f(π) = π² + 1 > 0. Como cambian de signo y la función es continua, existe al menos una solución.

Aplicación práctica: Este teorema te permite localizar raíces de ecuaciones complicadas sin resolverlas algebraicamente.

Asíntotas Verticales

Las asíntotas verticales aparecen en los puntos donde la función no está definida y el límite tiende a infinito. Son como "barreras invisibles" que la gráfica nunca puede cruzar.

Para encontrarlas, busca los valores que anulan el denominador. Por ejemplo, en $g(x) = \frac{4}{x-3}$ , la asíntota vertical está en x = 3 porque ahí el denominador se hace cero.

Calcula los límites laterales para saber el comportamiento: $\lim_{x\to3^-} \frac{4}{x-3} = -\infty$ y $\lim_{x\to3^+} \frac{4}{x-3} = +\infty$ . Esto te dice que la función "baja" por la izquierda y "sube" por la derecha.

Regla importante: La gráfica de una función NUNCA puede cortar una asíntota vertical, solo aproximarse indefinidamente.

Asíntotas Horizontales

Las asíntotas horizontales son rectas y = k que describen el comportamiento de la función cuando x tiende a infinito. Te muestran hacia dónde se "estabiliza" la función en los extremos.

Para encontrarlas, calcula $\lim_{x\to+\infty} f(x)$ y $\lim_{x\to-\infty} f(x)$ . Si estos límites dan un número real k, entonces y = k es asíntota horizontal.

A diferencia de las verticales, las asíntotas horizontales sí pueden cortarse con la gráfica en puntos intermedios. Solo describen el comportamiento final de la función.

Diferencia clave: Las asíntotas horizontales pueden tener valores diferentes por la derecha y por la izquierda, o incluso existir solo en una dirección.

Asíntotas Oblicuas

Las asíntotas oblicuas tienen la forma y = mx + n y aparecen cuando la función crece linealmente hacia infinito. Son como la "tendencia" de crecimiento de la función.

Para encontrarlas, primero calcula la pendiente: $m = \lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{x}$ . Si existe y es un número real distinto de cero, entonces busca la ordenada: $n = \lim_{x\to\infty} (f(x) - mx)$ .

Por ejemplo, con $f(x) = \frac{x^2 - x + 2}{x}$ , obtienes m = 1 y n = -1, así que la asíntota oblicua es y = x - 1.

Regla de oro: Si una función tiene asíntota horizontal, no puede tener oblicua, y viceversa. Son mutuamente excluyentes.

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