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Sistemas de Ecuaciones Lineales con Matrices: Guía para Bachillerato

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Paula Soler

30/11/2025

Matemáticas

Representación de sistemas de ecuaciones lineales mediante matrices.

Asignaturas

Matemáticas

Números y álgebra

Ecuaciones

481

•

30 nov 2025

•

2 páginas

Sistemas de Ecuaciones Lineales con Matrices: Guía para Bachillerato

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Paula Soler

@paulasoler_aisb

Los sistemas de ecuaciones son fundamentales para resolver problemas matemáticos... Mostrar más

# SISTEMAS DE ECUACIONES Sistemos carcciones finales $ \begin{cases} 3x +y-z=4 \\ x-y+z=0 \\ -2x+2y=3z=3 \end{cases} $; Metric coeficiente

Clasificación y resolución de sistemas de ecuaciones

Los sistemas de ecuaciones se representan mediante matrices de coeficientes (A) y términos independientes (B). Por ejemplo, un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas se puede representar como una matriz ampliada (A|B).

Los sistemas se clasifican según sus soluciones en:

  • Incompatibles: no tienen solución
  • Compatibles determinados: tienen una única solución
  • Compatibles indeterminados: tienen infinitas soluciones

El Teorema de Rouché-Frobenius es crucial para determinar el tipo de sistema:

  • Si r(A) = r(A|B) → Sistema compatible
  • Si r(A) = r(A|B) = nº incógnitas → Compatible determinado (solución única)
  • Si r(A) = r(A|B) < nº incógnitas → Compatible indeterminado (infinitas soluciones)
  • Si r(A) ≠ r(A|B) → Sistema incompatible

💡 Para sistemas compatibles indeterminados, necesitarás expresar las soluciones usando parámetros (λ, μ), que representan los grados de libertad del sistema.

La Regla de Cramer es útil para resolver sistemas compatibles determinados, permitiéndote calcular cada incógnita mediante determinantes. En sistemas indeterminados, encontrarás soluciones parametrizadas como (3, -1-λ+μ, λ, μ), donde λ y μ son parámetros libres.

# SISTEMAS DE ECUACIONES Sistemos carcciones finales $ \begin{cases} 3x +y-z=4 \\ x-y+z=0 \\ -2x+2y=3z=3 \end{cases} $; Metric coeficiente

Discusión de sistemas dependientes de un parámetro

Los sistemas con parámetros requieren un análisis más detallado. Estudiando un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas dependiente de un parámetro k, aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius para clasificarlo según distintos valores de k.

Al analizar el determinante de la matriz de coeficientes y resolver la ecuación resultante 2k2+12k−14=02k²+12k-14=0, obtenemos los valores críticos del parámetro:

  • Si k ≠ 1, k ≠ -7: el sistema es compatible determinado (tiene una única solución)
  • Si k = 1: el sistema es compatible indeterminado (tiene infinitas soluciones)
  • Si k = -7: el sistema es incompatible (sin solución)

⚠️ Al estudiar sistemas con parámetros, es fundamental verificar cuidadosamente los rangos de las matrices para cada valor crítico, ya que esto determina completamente el tipo de sistema y sus soluciones.

Para determinar los rangos de las matrices, calculamos los determinantes de las submatrices apropiadas. Por ejemplo, para k = -7, confirmamos que r(A) = 2 pero r(A|B) = 3, lo que confirma que el sistema es incompatible.



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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

Pablo

usuario de iOS

Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elena

usuaria de Android

Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

Ana

usuaria de iOS

Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!

Sophia

usuario de Android

Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!

Marta

usuaria de Android

La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.

Izan

usuario de iOS

¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!

Sara

usuaria de Android

En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

usuario de Android

Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.

Julyana

usuaria de Android

Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.

Javier

usuario de Android

Sinceramente me ha salvado los estudios. Recomiendo la aplicación 100%.

Erick

usuario de Android

Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!

Mar

usuaria de iOS

La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

Pablo

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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elena

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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

Ana

usuaria de iOS

Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!

Sophia

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Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!

Marta

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La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.

Izan

usuario de iOS

¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!

Sara

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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

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Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.

Julyana

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Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.

Javier

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Sinceramente me ha salvado los estudios. Recomiendo la aplicación 100%.

Erick

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Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!

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Los sistemas de ecuaciones son fundamentales para resolver problemas matemáticos con múltiples incógnitas. Saber clasificarlos y aplicar métodos de resolución adecuados te permitirá encontrar soluciones con precisión.

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Clasificación y resolución de sistemas de ecuaciones

Los sistemas de ecuaciones se representan mediante matrices de coeficientes (A) y términos independientes (B). Por ejemplo, un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas se puede representar como una matriz ampliada (A|B).

Los sistemas se clasifican según sus soluciones en:

  • Incompatibles: no tienen solución
  • Compatibles determinados: tienen una única solución
  • Compatibles indeterminados: tienen infinitas soluciones

El Teorema de Rouché-Frobenius es crucial para determinar el tipo de sistema:

  • Si r(A) = r(A|B) → Sistema compatible
  • Si r(A) = r(A|B) = nº incógnitas → Compatible determinado (solución única)
  • Si r(A) = r(A|B) < nº incógnitas → Compatible indeterminado (infinitas soluciones)
  • Si r(A) ≠ r(A|B) → Sistema incompatible

💡 Para sistemas compatibles indeterminados, necesitarás expresar las soluciones usando parámetros (λ, μ), que representan los grados de libertad del sistema.

La Regla de Cramer es útil para resolver sistemas compatibles determinados, permitiéndote calcular cada incógnita mediante determinantes. En sistemas indeterminados, encontrarás soluciones parametrizadas como (3, -1-λ+μ, λ, μ), donde λ y μ son parámetros libres.

# SISTEMAS DE ECUACIONES Sistemos carcciones finales $ \begin{cases} 3x +y-z=4 \\ x-y+z=0 \\ -2x+2y=3z=3 \end{cases} $; Metric coeficiente

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Discusión de sistemas dependientes de un parámetro

Los sistemas con parámetros requieren un análisis más detallado. Estudiando un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas dependiente de un parámetro k, aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius para clasificarlo según distintos valores de k.

Al analizar el determinante de la matriz de coeficientes y resolver la ecuación resultante 2k2+12k−14=02k²+12k-14=0, obtenemos los valores críticos del parámetro:

  • Si k ≠ 1, k ≠ -7: el sistema es compatible determinado (tiene una única solución)
  • Si k = 1: el sistema es compatible indeterminado (tiene infinitas soluciones)
  • Si k = -7: el sistema es incompatible (sin solución)

⚠️ Al estudiar sistemas con parámetros, es fundamental verificar cuidadosamente los rangos de las matrices para cada valor crítico, ya que esto determina completamente el tipo de sistema y sus soluciones.

Para determinar los rangos de las matrices, calculamos los determinantes de las submatrices apropiadas. Por ejemplo, para k = -7, confirmamos que r(A) = 2 pero r(A|B) = 3, lo que confirma que el sistema es incompatible.

Pensamos que nunca lo preguntarías...

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Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.

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Pablo

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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elena

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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

Ana

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Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!

Sophia

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Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!

Marta

usuaria de Android

La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.

Izan

usuario de iOS

¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!

Sara

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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

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Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.

Julyana

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Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.

Javier

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Sinceramente me ha salvado los estudios. Recomiendo la aplicación 100%.

Erick

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Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!

Mar

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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

Pablo

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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elena

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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

Ana

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Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!

Sophia

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Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!

Marta

usuaria de Android

La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.

Izan

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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!

Sara

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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

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Julyana

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Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.

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Sinceramente me ha salvado los estudios. Recomiendo la aplicación 100%.

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Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!

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