Clasificación y resolución de sistemas de ecuaciones

Los sistemas de ecuaciones se representan mediante matrices de coeficientes (A) y términos independientes (B). Por ejemplo, un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas se puede representar como una matriz ampliada (A|B).

Los sistemas se clasifican según sus soluciones en:

• Incompatibles: no tienen solución
• Compatibles determinados: tienen una única solución
• Compatibles indeterminados: tienen infinitas soluciones

El Teorema de Rouché-Frobenius es crucial para determinar el tipo de sistema:

• Si r(A) = r(A|B) → Sistema compatible
• Si r(A) = r(A|B) = nº incógnitas → Compatible determinado (solución única)
• Si r(A) = r(A|B) < nº incógnitas → Compatible indeterminado (infinitas soluciones)
• Si r(A) ≠ r(A|B) → Sistema incompatible

💡 Para sistemas compatibles indeterminados, necesitarás expresar las soluciones usando parámetros (λ, μ), que representan los grados de libertad del sistema.

La Regla de Cramer es útil para resolver sistemas compatibles determinados, permitiéndote calcular cada incógnita mediante determinantes. En sistemas indeterminados, encontrarás soluciones parametrizadas como $3, -1-λ+μ, λ, μ$, donde λ y μ son parámetros libres.

Discusión de sistemas dependientes de un parámetro

Los sistemas con parámetros requieren un análisis más detallado. Estudiando un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas dependiente de un parámetro k, aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius para clasificarlo según distintos valores de k.

Al analizar el determinante de la matriz de coeficientes y resolver la ecuación resultante $2k²+12k-14=0$, obtenemos los valores críticos del parámetro:

• Si k ≠ 1, k ≠ -7: el sistema es compatible determinado (tiene una única solución)
• Si k = 1: el sistema es compatible indeterminado (tiene infinitas soluciones)
• Si k = -7: el sistema es incompatible (sin solución)

⚠️ Al estudiar sistemas con parámetros, es fundamental verificar cuidadosamente los rangos de las matrices para cada valor crítico, ya que esto determina completamente el tipo de sistema y sus soluciones.

Para determinar los rangos de las matrices, calculamos los determinantes de las submatrices apropiadas. Por ejemplo, para k = -7, confirmamos que r(A) = 2 pero r(A|B) = 3, lo que confirma que el sistema es incompatible.