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Actualizado Mar 24, 2026
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Resolución de Problemas Geométricos de Optimización para Selectividad
Alba
@aalbaa
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\begin{aligned}
A &= 600cm^2 \\
Smax &= ?
\end{aligned}
$
$
\begin{alig](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fcontent-eu-central-1.knowunity.com%2FCONTENT%2FmIhRcUHHayAbKkDsJkbg_image_page_1.webp&w=2048&q=75)
Problemas de optimización con áreas y superficies
¿Sabías que puedes usar derivadas para encontrar las dimensiones perfectas de cualquier figura? Los problemas de optimización te permiten maximizar o minimizar valores como áreas, costos o volúmenes de forma sistemática.
El primer ejercicio muestra cómo maximizar el área de una superficie cuando conoces el área total disponible. La clave está en expresar una variable en función de la otra usando la restricción , sustituir en la función objetivo y derivar.
Para el segundo problema de minimización de costos, aplicamos el mismo proceso pero con diferentes precios por metro. Fíjate en cómo el costo total se expresa como C = 30/y + 25y, una función que combina términos con y en el denominador y numerador.
Truco clave: Siempre comprueba si tu punto crítico es máximo o mínimo usando la segunda derivada. Si S''(y) < 0 tienes un máximo, si S''(y) > 0 tienes un mínimo.
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\begin{aligned}
A &= 600cm^2 \\
Smax &= ?
\end{aligned}
$
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\begin{alig](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fcontent-eu-central-1.knowunity.com%2FCONTENT%2FmIhRcUHHayAbKkDsJkbg_image_page_2.webp&w=2048&q=75)
Optimización con figuras geométricas
Los conos y triángulos también se pueden optimizar fácilmente. Cuando trabajas con volúmenes constantes como V = 120 cm³, usas la fórmula del cono para relacionar radio, altura y generatriz.
En el problema del cono, la generatriz a se minimiza expresándola como a = √. Al derivar e igualar a cero, obtienes h = 3.86 cm como la altura óptima.
El último ejemplo muestra la optimización de áreas triangulares. Aunque parece más simple , la técnica es idéntica: estableces la función, derivas y encuentras los puntos críticos.
Consejo: En problemas geométricos, siempre dibuja la figura y marca claramente qué variables representan cada dimensión.
$
\begin{aligned}
A &= 600cm^2 \\
Smax &= ?
\end{aligned}
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\begin{alig](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fcontent-eu-central-1.knowunity.com%2FCONTENT%2FmIhRcUHHayAbKkDsJkbg_image_page_3.webp&w=2048&q=75)
Optimización de costos y perímetros
Los problemas de costos con diferentes precios son muy comunes en selectividad. En el ejercicio de la caja, el precio varía según la superficie: lateral y tapa a 1€/cm², base a 1.5€/cm².
La función de costo resultante P(x) = 2.5x² + 320/x combina un término cuadrático con uno racional. Al derivar obtienes P'(x) = 5x - 320/x², que se resuelve fácilmente igualando a cero.
Para figuras compuestas como rectángulos con semicírculos, suma las áreas de cada parte: A = xy + πx²/8. El perímetro te da la restricción que necesitas para expresar y en función de x.
Importante: En problemas de costos, identifica claramente qué superficies tienen precios diferentes antes de plantear la función objetivo.
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\begin{aligned}
A &= 600cm^2 \\
Smax &= ?
\end{aligned}
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\begin{alig](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fcontent-eu-central-1.knowunity.com%2FCONTENT%2FmIhRcUHHayAbKkDsJkbg_image_page_4.webp&w=2048&q=75)
Optimización con restricciones geométricas
Cuando tienes restricciones como distancias fijas, el problema se vuelve más interesante. En el rectángulo inscrito en un círculo de diámetro 2 cm, usas d² = x² + y² = 4 para relacionar las dimensiones.
El área se convierte en A = √, una función que parece complicada pero se deriva sin problemas. La clave está en aplicar la regla de la cadena correctamente.
Al derivar obtienes A'(x) = /√, que se anula cuando 4x - 2x³ = 0, dando x = ±√2. El dominio de la función es crucial: necesitas 4x² - x⁴ ≥ 0, que implica -2 < x < 2.
Atención: En problemas con raíces cuadradas, siempre verifica que el dominio de tu función tenga sentido geométricamente.
Pensamos que nunca lo preguntarías...
¿Qué es Knowunity AI companion?
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
¿Dónde puedo descargar la app Knowunity?
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
¿Knowunity es totalmente gratuito?
Sí, tienes acceso gratuito a los contenidos de la aplicación y a nuestro compañero de IA. Para desbloquear determinadas funciones de la aplicación, puedes adquirir Knowunity Pro.
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Sintexis de Lengua Castellana. Incluye las oraciones simples, los complementos y todas las oraciones compuestas
Lengua Castellana y LiteraturaPAU (2° Bach)
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4.6/5
App Store
4.7/5
Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
Sophia
usuario de Android
Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
usuaria de Android
La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
Izan
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.
Julyana
usuaria de Android
Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.
Javier
usuario de Android
LOS QUIZ Y FLASHCARDS SON SÚPER ÚTILES Y ME ENCANTA Knowunity IA. ADEMÁS ES LITERALMENTE COMO CHATGPT PERO MÁS LISTO!! ME AYUDÓ TAMBIÉN CON MIS PROBLEMAS DE MÁSCARA!! Y CON MIS ASIGNATURAS DE VERDAD! OBVIO 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Erick
usuario de Android
Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
Mar
usuaria de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
Sophia
usuario de Android
Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
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La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
Izan
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.
Julyana
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Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.
Javier
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LOS QUIZ Y FLASHCARDS SON SÚPER ÚTILES Y ME ENCANTA Knowunity IA. ADEMÁS ES LITERALMENTE COMO CHATGPT PERO MÁS LISTO!! ME AYUDÓ TAMBIÉN CON MIS PROBLEMAS DE MÁSCARA!! Y CON MIS ASIGNATURAS DE VERDAD! OBVIO 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Erick
usuario de Android
Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
Mar
usuaria de iOS
Resolución de Problemas Geométricos de Optimización para Selectividad
Alba
@aalbaa
¿Alguna vez te has preguntado cómo encontrar la mejor solución posible a un problema matemático? La optimización es exactamente eso: una técnica súper útil que te permite hallar los valores máximos o mínimos de funciones usando derivadas.
Problemas de optimización con áreas y superficies
¿Sabías que puedes usar derivadas para encontrar las dimensiones perfectas de cualquier figura? Los problemas de optimización te permiten maximizar o minimizar valores como áreas, costos o volúmenes de forma sistemática.
El primer ejercicio muestra cómo maximizar el área de una superficie cuando conoces el área total disponible. La clave está en expresar una variable en función de la otra usando la restricción , sustituir en la función objetivo y derivar.
Para el segundo problema de minimización de costos, aplicamos el mismo proceso pero con diferentes precios por metro. Fíjate en cómo el costo total se expresa como C = 30/y + 25y, una función que combina términos con y en el denominador y numerador.
Truco clave: Siempre comprueba si tu punto crítico es máximo o mínimo usando la segunda derivada. Si S''(y) < 0 tienes un máximo, si S''(y) > 0 tienes un mínimo.
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Optimización con figuras geométricas
Los conos y triángulos también se pueden optimizar fácilmente. Cuando trabajas con volúmenes constantes como V = 120 cm³, usas la fórmula del cono para relacionar radio, altura y generatriz.
En el problema del cono, la generatriz a se minimiza expresándola como a = √. Al derivar e igualar a cero, obtienes h = 3.86 cm como la altura óptima.
El último ejemplo muestra la optimización de áreas triangulares. Aunque parece más simple , la técnica es idéntica: estableces la función, derivas y encuentras los puntos críticos.
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Optimización de costos y perímetros
Los problemas de costos con diferentes precios son muy comunes en selectividad. En el ejercicio de la caja, el precio varía según la superficie: lateral y tapa a 1€/cm², base a 1.5€/cm².
La función de costo resultante P(x) = 2.5x² + 320/x combina un término cuadrático con uno racional. Al derivar obtienes P'(x) = 5x - 320/x², que se resuelve fácilmente igualando a cero.
Para figuras compuestas como rectángulos con semicírculos, suma las áreas de cada parte: A = xy + πx²/8. El perímetro te da la restricción que necesitas para expresar y en función de x.
Importante: En problemas de costos, identifica claramente qué superficies tienen precios diferentes antes de plantear la función objetivo.
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Optimización con restricciones geométricas
Cuando tienes restricciones como distancias fijas, el problema se vuelve más interesante. En el rectángulo inscrito en un círculo de diámetro 2 cm, usas d² = x² + y² = 4 para relacionar las dimensiones.
El área se convierte en A = √, una función que parece complicada pero se deriva sin problemas. La clave está en aplicar la regla de la cadena correctamente.
Al derivar obtienes A'(x) = /√, que se anula cuando 4x - 2x³ = 0, dando x = ±√2. El dominio de la función es crucial: necesitas 4x² - x⁴ ≥ 0, que implica -2 < x < 2.
Atención: En problemas con raíces cuadradas, siempre verifica que el dominio de tu función tenga sentido geométricamente.
Pensamos que nunca lo preguntarías...
¿Qué es Knowunity AI companion?
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
¿Dónde puedo descargar la app Knowunity?
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
Sophia
usuario de Android
Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
usuaria de Android
La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
Izan
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
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Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.
Julyana
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Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.
Javier
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LOS QUIZ Y FLASHCARDS SON SÚPER ÚTILES Y ME ENCANTA Knowunity IA. ADEMÁS ES LITERALMENTE COMO CHATGPT PERO MÁS LISTO!! ME AYUDÓ TAMBIÉN CON MIS PROBLEMAS DE MÁSCARA!! Y CON MIS ASIGNATURAS DE VERDAD! OBVIO 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Erick
usuario de Android
Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
Mar
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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