Examen Trimestral de Matemáticas con Ejercicios de Ecuaciones y Logaritmos

Logaritmos y Radicales - Ejercicios 1-4

¿Te agobias con los logaritmos? Tranquilo, solo necesitas recordar las propiedades básicas. En el ejercicio 1, desarrollar $log \frac{a^2 \sqrt[5]{b^3}}{100c^4}$ significa aplicar que el logaritmo de un cociente es resta, y el de un producto es suma.

Para los radicales del ejercicio 2, la clave está en convertir todo a la misma raíz cuando sea posible. $5\sqrt[6]{64a^2}$ se puede simplificar porque 64 tiene raíz sexta exacta. En la racionalización de $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$, multiplica arriba y abajo por el conjugado.

Las ecuaciones logarítmicas como $log_3 9^{x+3} = 3$ se resuelven recordando que $9 = 3^2$. Sustituye y usa las propiedades de las potencias.

💡 Truco: En logaritmos, si tienes la misma base a ambos lados de la ecuación, puedes "quitar" el logaritmo y resolver la ecuación de los argumentos.

Ecuaciones y Sistemas - Ejercicios 5-9

Las ecuaciones racionales como la del ejercicio 5a necesitan que encuentres un denominador común. Ojo: $x^2+4x+4 = (x+2)^2$, así que cuidado con las restricciones del dominio.

Para la ecuación exponencial $4^x - 3 \cdot 2^{x+1} + 8 = 0$, haz el cambio $2^x = t$. Recuerda que $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 = t^2$.

Los sistemas de ecuaciones pueden tener radicales (ejercicio 6) o ser sistemas de Gauss con tres incógnitas. En Gauss, usa eliminación sistemática: elimina una variable de dos ecuaciones, luego la misma variable de otras dos.

El problema de aplicación del ejercicio 9 sobre billetes es típico: plantea tres ecuaciones con las tres condiciones que te dan. Si hay x billetes de 200€, entonces hay 5x billetes de 50€.

💡 Consejo: En problemas de aplicación, define bien las variables desde el principio y traduce cada frase a una ecuación matemática.