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Matemáticas937 visualizaciones·Actualizado May 23, 2026·8 páginasFunciones Matemáticas: Conceptos y Ejercicios
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Conceptos básicos de funciones
¿Sabías que las funciones están por todas partes? Desde calcular el precio de tu móvil con descuentos hasta predecir el tiempo que tardas en llegar al instituto. Una función es simplemente una relación entre dos variables donde cada valor de entrada tiene exactamente una salida.
Puedes expresar las funciones de cuatro maneras diferentes: con palabras (como "el doble de un número"), con tablas de valores, con fórmulas matemáticas como y = 2x, o con gráficas que puedes dibujar.
El dominio es el conjunto de todos los valores que puedes meter en tu función. Para funciones polinómicas puedes usar cualquier número real, pero ten cuidado con las racionales (no puedes dividir por cero) y las irracionales (no puedes sacar raíz cuadrada de números negativos).
¡Tip! Para encontrar puntos de corte con los ejes, sustituye x=0 para el eje Y, y y=0 para el eje X.
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Puntos de corte y continuidad
Calcular los puntos de corte es más fácil de lo que parece. Para el eje Y siempre habrá máximo un punto: solo sustituye x=0 en tu función. Para el eje X puede haber varios puntos: iguala la función a cero y resuelve.
Por ejemplo, con f(x) = x² + x, si haces x² + x = 0, obtienes x = 0, así que los puntos de corte son (0,0) y (-1,0). ¡Así de simple!
Una función es continua cuando puedes dibujar su gráfica sin levantar el lápiz del papel. Cuando hay saltos, agujeros o asíntotas verticales, tienes puntos de discontinuidad.
¡Recuerda! Si ves una función racional, siempre busca valores que hagan cero el denominador: esos serán tus discontinuidades.
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Simetría y tasa de variación
Las funciones pueden ser como personas: algunas son simétricas y otras no. Una función par cumple f = f(x) y es simétrica respecto al eje Y (como x²). Una función impar cumple f = -f(x) y es simétrica respecto al origen (como x³).
Las funciones periódicas se repiten cada cierto intervalo, como las ondas del sonido. Si f = f(x), entonces p es el periodo.
La tasa de variación media te dice qué tan rápido cambia una función entre dos puntos: TVM = / . Es como calcular la velocidad media de un coche entre dos ciudades.
¡Dato curioso! La función f(x) = 0 es tanto par como impar. ¡Es la única que puede presumir de ambas simetrías!
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Crecimiento y extremos
¿Cómo saber si una función sube o baja? Una función es creciente cuando al aumentar x también aumenta y, y decreciente cuando pasa lo contrario. La tasa de variación media te ayuda: si es positiva, crece; si es negativa, decrece.
Los máximos y mínimos son como las cimas y valles de una montaña. Un máximo relativo es el punto más alto de su zona, mientras que un máximo absoluto es el más alto de toda la función.
La concavidad y convexidad te dicen hacia dónde "mira" la función. Si es cóncava, parece una U sonriente; si es convexa, parece una U triste. Los puntos donde cambia de cóncava a convexa se llaman puntos de inflexión.
¡Tip visual! Imagina que ruedas una pelota sobre la gráfica: si se acelera hacia abajo, es cóncava; si se frena, es convexa.
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Análisis gráfico y operaciones
Analizar gráficas es como leer el mapa de un videojuego: necesitas identificar dónde sube, dónde baja, dónde hay picos y valles. La monotonía te dice los intervalos de crecimiento y decrecimiento, mientras que la curvatura te indica concavidad y convexidad.
Con las funciones puedes hacer operaciones como con números: sumar (x) = f(x) + g(x), restar, multiplicar y dividir. Solo ten cuidado al dividir: no puedes hacerlo donde g(x) = 0.
La función compuesta (g∘f)(x) = g(f(x)) es como usar dos máquinas seguidas: primero aplicas f, y al resultado le aplicas g. Es útil para resolver problemas complejos paso a paso.
¡Práctica! Dibuja gráficas sencillas y practica identificando intervalos de crecimiento y puntos extremos. ¡La práctica hace al maestro!
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Funciones polinómicas básicas
Las funciones polinómicas son tus aliadas más fieles: siempre están definidas para todos los números reales. Son como los bloques de construcción de las matemáticas.
Las funciones constantes f(x) = k son líneas horizontales. Imagina que tu velocidad es siempre 50 km/h: esa sería una función constante. Las funciones lineales f(x) = mx pasan por el origen y tienen pendiente constante.
Las funciones afines f(x) = mx + n son como las lineales pero desplazadas verticalmente. La pendiente m te dice si crece (m > 0) o decrece (m < 0), y n te dice dónde corta el eje Y.
¡Conexión real! Tu factura de móvil suele ser una función afín: una cuota fija (n) más un precio por minuto (mx).
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Funciones cuadráticas y racionales
Las funciones cuadráticas f(x) = ax² + bx + c crean parábolas, como la trayectoria de una pelota de baloncesto. Si a > 0, la parábola sonríe (cóncava); si a < 0, está triste (convexa).
Para encontrar el vértice de la parábola, usa x = -b/(2a) y después sustituye en la función. El vértice es el punto más alto o más bajo, dependiendo de si a es negativo o positivo.
Las funciones racionales son cocientes de polinomios. Las de proporcionalidad inversa f(x) = k/x tienen forma de hipérbola y nunca tocan los ejes. Cuanto mayor es x, menor es y, como la relación entre velocidad y tiempo para recorrer una distancia fija.
¡Cuidado! Las funciones racionales tienen asíntotas: líneas que la gráfica se acerca pero nunca toca.
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Funciones irracionales, exponenciales y logarítmicas
Las funciones irracionales tienen la variable dentro de una raíz. Para f(x) = √x, el dominio empieza en x = 0 porque no puedes sacar raíz cuadrada de números negativos. Es como el crecimiento de una planta: empieza rápido y luego se ralentiza.
Las funciones exponenciales f(x) = aˣ crecen muy rápido cuando a > 1, como la propagación de un virus o el interés compuesto. Su dominio es todos los reales, pero su imagen solo números positivos.
Las funciones logarítmicas son las inversas de las exponenciales. Solo están definidas para números positivos, pero su imagen abarca todos los reales. Crecen muy lentamente, como el volumen que percibes del sonido.
¡Aplicación práctica! Los terremotos se miden con escala logarítmica: un terremoto de magnitud 7 es 10 veces más fuerte que uno de magnitud 6.
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Anausuaria de iOS
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Carla@carla.blink
Las funciones son relaciones matemáticas fundamentales que conectan dos variables de manera única. Dominar estos conceptos te ayudará a entender cómo se comportan las gráficas y resolver problemas de matemáticas con confianza.
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Conceptos básicos de funciones
¿Sabías que las funciones están por todas partes? Desde calcular el precio de tu móvil con descuentos hasta predecir el tiempo que tardas en llegar al instituto. Una función es simplemente una relación entre dos variables donde cada valor de entrada tiene exactamente una salida.
Puedes expresar las funciones de cuatro maneras diferentes: con palabras (como "el doble de un número"), con tablas de valores, con fórmulas matemáticas como y = 2x, o con gráficas que puedes dibujar.
El dominio es el conjunto de todos los valores que puedes meter en tu función. Para funciones polinómicas puedes usar cualquier número real, pero ten cuidado con las racionales (no puedes dividir por cero) y las irracionales (no puedes sacar raíz cuadrada de números negativos).
¡Tip! Para encontrar puntos de corte con los ejes, sustituye x=0 para el eje Y, y y=0 para el eje X.
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Puntos de corte y continuidad
Calcular los puntos de corte es más fácil de lo que parece. Para el eje Y siempre habrá máximo un punto: solo sustituye x=0 en tu función. Para el eje X puede haber varios puntos: iguala la función a cero y resuelve.
Por ejemplo, con f(x) = x² + x, si haces x² + x = 0, obtienes x = 0, así que los puntos de corte son (0,0) y (-1,0). ¡Así de simple!
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Crecimiento y extremos
¿Cómo saber si una función sube o baja? Una función es creciente cuando al aumentar x también aumenta y, y decreciente cuando pasa lo contrario. La tasa de variación media te ayuda: si es positiva, crece; si es negativa, decrece.
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Análisis gráfico y operaciones
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Funciones polinómicas básicas
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Funciones cuadráticas y racionales
Las funciones cuadráticas f(x) = ax² + bx + c crean parábolas, como la trayectoria de una pelota de baloncesto. Si a > 0, la parábola sonríe (cóncava); si a < 0, está triste (convexa).
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Funciones irracionales, exponenciales y logarítmicas
Las funciones irracionales tienen la variable dentro de una raíz. Para f(x) = √x, el dominio empieza en x = 0 porque no puedes sacar raíz cuadrada de números negativos. Es como el crecimiento de una planta: empieza rápido y luego se ralentiza.
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¡Aplicación práctica! Los terremotos se miden con escala logarítmica: un terremoto de magnitud 7 es 10 veces más fuerte que uno de magnitud 6.
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