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Instrucciones del Examen
Este es un examen global de la primera evaluación de Matemáticas para 2º de Bachillerato. Tienes que elegir entre dos opciones (A o B) y resolver los cuatro ejercicios de una sola opción.
Lo más importante: tienes una hora y media, no puedes usar calculadora gráfica, y todas las respuestas deben estar justificadas. La puntuación máxima son 10 puntos repartidos en ejercicios de 2,5 puntos cada uno.
Los temas que cubre son fundamentales: sistemas de ecuaciones lineales, vectores y dependencia lineal, matrices e inversas, y determinantes. Son conceptos que seguramente aparecerán en Selectividad, así que merece la pena entenderlos bien.
💡 Consejo clave: Lee bien qué te pide cada apartado antes de empezar a calcular. Muchas veces se pierde tiempo resolviendo más de lo necesario.
Ejercicio 1: Sistema de Ecuaciones con Parámetro
El primer ejercicio trabaja un sistema lineal dependiente del parámetro m. Lo más importante es saber discutir cuándo el sistema tiene solución única, infinitas soluciones o ninguna.
Para la discusión del sistema, calculamos el determinante de la matriz de coeficientes. Cuando sale cero , tenemos que analizar el rango de las matrices. Si m ≠ 1/2 y m ≠ -4, el sistema es compatible determinado.
En el caso compatible indeterminado , parametrizamos una variable y expresamos las otras en función de t. La solución queda: x = -1/5 - 3t/20, y = 8/5 + 27t/10, z = t.
💡 Truco: Cuando el determinante se anula, siempre comprueba si el rango de la matriz ampliada coincide con el de la matriz de coeficientes.
Ejercicios 2 y 3: Vectores y Matrices
El ejercicio de vectores te pide determinar cuándo tres vectores son linealmente independientes. Esto ocurre cuando su determinante es distinto de cero. Para a ≠ -103/13, los vectores son independientes.
Para calcular el ángulo entre vectores, usas la fórmula del coseno: cos α = (u⃗·w⃗)/(||u⃗|| ||w⃗||). El producto vectorial se resuelve con determinantes de 2x2.
En el ejercicio de matrices, una matriz no tiene inversa cuando su determinante es cero. Resolviendo 8k² + 18k + 2 = 0, encuentras los valores críticos de k. Para calcular la inversa cuando k = 2, necesitas la matriz adjunta y dividir por el determinante.
💡 Recuerda: La inversa de una matriz A es A⁻¹ = × [adj(A)]ᵀ
Ejercicio 4: Determinante de Vandermonde
Este ejercicio presenta un determinante de Vandermonde de orden 4, que tiene una fórmula específica muy útil. No necesitas desarrollarlo por cofactores, sino aplicar directamente la fórmula.
Para un determinante con filas [1, 1, 1, 1], [a, b, c, d], [a², b², c², d²], [a³, b³, c³, d³], la fórmula es: .
En nuestro caso, con columnas correspondientes a x, -1, 3, 2, obtenemos: 12 = 0. Las raíces de la ecuación son x = -1, x = 3, y x = 2.
💡 Dato importante: Los determinantes de Vandermonde aparecen más de lo que piensas. Memoriza la fórmula, te ahorrará mucho tiempo de cálculo.
Pensamos que nunca lo preguntarías...
¿Qué es Knowunity AI companion?
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
¿Dónde puedo descargar la app Knowunity?
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
¿Knowunity es totalmente gratuito?
Sí, tienes acceso gratuito a los contenidos de la aplicación y a nuestro compañero de IA. Para desbloquear determinadas funciones de la aplicación, puedes adquirir Knowunity Pro.
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4.6/5
App Store
4.7/5
Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
Sophia
usuario de Android
Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
usuaria de Android
La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
Izan
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.
Julyana
usuaria de Android
Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.
Javier
usuario de Android
LOS QUIZ Y FLASHCARDS SON SÚPER ÚTILES Y ME ENCANTA Knowunity IA. ADEMÁS ES LITERALMENTE COMO CHATGPT PERO MÁS LISTO!! ME AYUDÓ TAMBIÉN CON MIS PROBLEMAS DE MÁSCARA!! Y CON MIS ASIGNATURAS DE VERDAD! OBVIO 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Erick
usuario de Android
Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
Mar
usuaria de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
Sophia
usuario de Android
Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
usuaria de Android
La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
Izan
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.
Julyana
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Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.
Javier
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Erick
usuario de Android
Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
Mar
usuaria de iOS
Guía Completa para el Examen EvAU de Matemáticas
¿Te agobias con los sistemas de ecuaciones y las matrices? Este examen de 2º de Bachillerato cubre los temas más importantes de álgebra lineal que necesitas dominar. Vamos a desglosar cada ejercicio para que entiendas las técnicas clave.
Instrucciones del Examen
Este es un examen global de la primera evaluación de Matemáticas para 2º de Bachillerato. Tienes que elegir entre dos opciones (A o B) y resolver los cuatro ejercicios de una sola opción.
Lo más importante: tienes una hora y media, no puedes usar calculadora gráfica, y todas las respuestas deben estar justificadas. La puntuación máxima son 10 puntos repartidos en ejercicios de 2,5 puntos cada uno.
Los temas que cubre son fundamentales: sistemas de ecuaciones lineales, vectores y dependencia lineal, matrices e inversas, y determinantes. Son conceptos que seguramente aparecerán en Selectividad, así que merece la pena entenderlos bien.
💡 Consejo clave: Lee bien qué te pide cada apartado antes de empezar a calcular. Muchas veces se pierde tiempo resolviendo más de lo necesario.
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Ejercicio 1: Sistema de Ecuaciones con Parámetro
El primer ejercicio trabaja un sistema lineal dependiente del parámetro m. Lo más importante es saber discutir cuándo el sistema tiene solución única, infinitas soluciones o ninguna.
Para la discusión del sistema, calculamos el determinante de la matriz de coeficientes. Cuando sale cero , tenemos que analizar el rango de las matrices. Si m ≠ 1/2 y m ≠ -4, el sistema es compatible determinado.
En el caso compatible indeterminado , parametrizamos una variable y expresamos las otras en función de t. La solución queda: x = -1/5 - 3t/20, y = 8/5 + 27t/10, z = t.
💡 Truco: Cuando el determinante se anula, siempre comprueba si el rango de la matriz ampliada coincide con el de la matriz de coeficientes.
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Ejercicios 2 y 3: Vectores y Matrices
El ejercicio de vectores te pide determinar cuándo tres vectores son linealmente independientes. Esto ocurre cuando su determinante es distinto de cero. Para a ≠ -103/13, los vectores son independientes.
Para calcular el ángulo entre vectores, usas la fórmula del coseno: cos α = (u⃗·w⃗)/(||u⃗|| ||w⃗||). El producto vectorial se resuelve con determinantes de 2x2.
En el ejercicio de matrices, una matriz no tiene inversa cuando su determinante es cero. Resolviendo 8k² + 18k + 2 = 0, encuentras los valores críticos de k. Para calcular la inversa cuando k = 2, necesitas la matriz adjunta y dividir por el determinante.
💡 Recuerda: La inversa de una matriz A es A⁻¹ = × [adj(A)]ᵀ
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Ejercicio 4: Determinante de Vandermonde
Este ejercicio presenta un determinante de Vandermonde de orden 4, que tiene una fórmula específica muy útil. No necesitas desarrollarlo por cofactores, sino aplicar directamente la fórmula.
Para un determinante con filas [1, 1, 1, 1], [a, b, c, d], [a², b², c², d²], [a³, b³, c³, d³], la fórmula es: .
En nuestro caso, con columnas correspondientes a x, -1, 3, 2, obtenemos: 12 = 0. Las raíces de la ecuación son x = -1, x = 3, y x = 2.
💡 Dato importante: Los determinantes de Vandermonde aparecen más de lo que piensas. Memoriza la fórmula, te ahorrará mucho tiempo de cálculo.
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¿Dónde puedo descargar la app Knowunity?
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¿Knowunity es totalmente gratuito?
Sí, tienes acceso gratuito a los contenidos de la aplicación y a nuestro compañero de IA. Para desbloquear determinadas funciones de la aplicación, puedes adquirir Knowunity Pro.
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
Sophia
usuario de Android
Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
usuaria de Android
La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
Izan
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
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Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.
Julyana
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Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.
Javier
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LOS QUIZ Y FLASHCARDS SON SÚPER ÚTILES Y ME ENCANTA Knowunity IA. ADEMÁS ES LITERALMENTE COMO CHATGPT PERO MÁS LISTO!! ME AYUDÓ TAMBIÉN CON MIS PROBLEMAS DE MÁSCARA!! Y CON MIS ASIGNATURAS DE VERDAD! OBVIO 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Erick
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Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
Mar
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
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Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
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La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
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Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
Mar
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