Matemáticas

Operaciones en Espacios Vectoriales

Independencia Lineal

Matemáticas514Actualizado 3 sept 20264 páginas

Guía Completa para el Examen EvAU de Matemáticas

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Adriana@adriana_hjuj

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¿Te agobias con los sistemas de ecuaciones y las matrices? Este examen de 2º de Bachillerato cubre los temas más importantes de álgebra lineal que necesitas dominar. Vamos a desglosar cada ejercicio para que entiendas las técnicas clave.

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Instrucciones del Examen

Este es un examen global de la primera evaluación de Matemáticas para 2º de Bachillerato. Tienes que elegir entre dos opciones (A o B) y resolver los cuatro ejercicios de una sola opción.

Lo más importante: tienes una hora y media, no puedes usar calculadora gráfica, y todas las respuestas deben estar justificadas. La puntuación máxima son 10 puntos repartidos en ejercicios de 2,5 puntos cada uno.

Los temas que cubre son fundamentales: sistemas de ecuaciones lineales, vectores y dependencia lineal, matrices e inversas, y determinantes. Son conceptos que seguramente aparecerán en Selectividad, así que merece la pena entenderlos bien.

💡 Consejo clave: Lee bien qué te pide cada apartado antes de empezar a calcular. Muchas veces se pierde tiempo resolviendo más de lo necesario.

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Ejercicio 1: Sistema de Ecuaciones con Parámetro

El primer ejercicio trabaja un sistema lineal dependiente del parámetro m. Lo más importante es saber discutir cuándo el sistema tiene solución única, infinitas soluciones o ninguna.

Para la discusión del sistema, calculamos el determinante de la matriz de coeficientes. Cuando sale cero $para m = 1/2 y m = -4$ , tenemos que analizar el rango de las matrices. Si m ≠ 1/2 y m ≠ -4, el sistema es compatible determinado.

En el caso compatible indeterminado $m = -4$ , parametrizamos una variable $z = t$ y expresamos las otras en función de t. La solución queda: x = -1/5 - 3t/20, y = 8/5 + 27t/10, z = t.

💡 Truco: Cuando el determinante se anula, siempre comprueba si el rango de la matriz ampliada coincide con el de la matriz de coeficientes.

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Ejercicios 2 y 3: Vectores y Matrices

El ejercicio de vectores te pide determinar cuándo tres vectores son linealmente independientes. Esto ocurre cuando su determinante es distinto de cero. Para a ≠ -103/13, los vectores son independientes.

Para calcular el ángulo entre vectores, usas la fórmula del coseno: cos α = (u⃗·w⃗)/(||u⃗|| ||w⃗||). El producto vectorial se resuelve con determinantes de 2x2.

En el ejercicio de matrices, una matriz no tiene inversa cuando su determinante es cero. Resolviendo 8k² + 18k + 2 = 0, encuentras los valores críticos de k. Para calcular la inversa cuando k = 2, necesitas la matriz adjunta y dividir por el determinante.

💡 Recuerda: La inversa de una matriz A es A⁻¹ = $1/det(A)$ × [adj(A)]ᵀ

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Ejercicio 4: Determinante de Vandermonde

Este ejercicio presenta un determinante de Vandermonde de orden 4, que tiene una fórmula específica muy útil. No necesitas desarrollarlo por cofactores, sino aplicar directamente la fórmula.

Para un determinante con filas [1, 1, 1, 1], [a, b, c, d], [a², b², c², d²], [a³, b³, c³, d³], la fórmula es: $b-a$$c-a$$d-a$$c-b$$d-b$$d-c$ .

En nuestro caso, con columnas correspondientes a x, -1, 3, 2, obtenemos: 12 $1+x$$3-x$$2-x$ = 0. Las raíces de la ecuación son x = -1, x = 3, y x = 2.

💡 Dato importante: Los determinantes de Vandermonde aparecen más de lo que piensas. Memoriza la fórmula, te ahorrará mucho tiempo de cálculo.

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Ejercicio 1: Sistema de Ecuaciones con Parámetro

Ejercicios 2 y 3: Vectores y Matrices

Ejercicio 4: Determinante de Vandermonde

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