Preparación para Examén EvAU de Matemáticas: Ejercicios y Soluciones

Instrucciones del Examen

Este es un examen típico de 1ª evaluación para 2º de Bachillerato con una estructura muy clara. Tienes que elegir entre dos opciones (A o B) y resolver los cuatro ejercicios de una sola opción.

Lo más importante es que no puedes mezclar ejercicios de ambas opciones - si empiezas con la A, todo debe ser de la A. El examen dura una hora y no se permiten calculadoras gráficas.

La puntuación total es de 10 puntos distribuidos entre ejercicios de matrices (3 puntos), determinantes (2 puntos), discusión de rangos (3 puntos) y propiedades de determinantes (2 puntos).

Consejo clave: Todas las respuestas deben estar justificadas. No basta con dar el resultado final.

Ejercicios 1 y 2: Matrices y Determinantes Básicos

El primer ejercicio trabaja con la matriz A = (2,1;1,2) y te pide encontrar valores α y β para que A² + αA + βI = 0. La clave está en calcular A² primero y luego igualar componente a componente.

Una vez que tienes α = -4 y β = 3, puedes usar esta relación para calcular la inversa de A sin usar el método tradicional. Es un truco muy útil: si A² - 4A + 3I = 0, entonces A⁻¹ = -1/3$A - 4I$.

El segundo ejercicio es un determinante 4×4 que se resuelve por desarrollo por cofactores. Lo más eficiente es hacer operaciones elementales primero para crear ceros y luego desarrollar por la fila o columna con más ceros.

Truco: Siempre busca la fila o columna con más ceros para desarrollar el determinante.

Ejercicio 3: Discusión de Rangos con Parámetros

Este ejercicio es fundamental para Selectividad. Tienes una matriz que depende del parámetro 'a' y debes analizar cuándo cambia su rango.

Primero calculas el determinante en función de a: det(A) = 8a² + 6a - 14. Las raíces de esta ecuación $a = 1 y a = -7/4$ son los valores críticos donde el rango puede cambiar.

Cuando a ≠ 1 y a ≠ -7/4: det(A) ≠ 0, por tanto rango(A) = 3. Cuando a = 1 o a = -7/4: det(A) = 0, pero como existe un menor 2×2 no nulo, el rango(A) = 2.

Para calcular A⁻¹ cuando a = 5, usas la matriz adjunta: A⁻¹ = $1/det(A)$ × adj(A). Como det(A) = 216 ≠ 0, la inversa existe.

Recuerda: El rango siempre es el mayor orden de determinante no nulo.

Ejercicio 4: Propiedades de los Determinantes

Este ejercicio te enseña a usar las propiedades de los determinantes sin calcular desde cero. Te dan que un determinante vale 4 y debes calcular otro relacionado.

La clave está en descomponer el determinante usando la propiedad de linealidad. El determinante pedido se puede escribir como suma de dos determinantes más simples.

Después aplicas propiedades como el intercambio de filas (que cambia el signo) y sacar factores comunes. Al final: 2 × $-3$ × 4 = -24, pero con el cambio de signo por intercambio de filas da 24.

Este tipo de ejercicio es muy común en Selectividad porque evalúa si conoces las propiedades sin hacer cálculos tediosos.

Estrategia: Siempre busca cómo relacionar el determinante nuevo con el que te dan usando las propiedades básicas.