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19 dic 2025
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¿Te agobias con los exámenes de matemáticas de 2º de... Mostrar más
Este es un examen típico de 1ª evaluación para 2º de Bachillerato con una estructura muy clara. Tienes que elegir entre dos opciones (A o B) y resolver los cuatro ejercicios de una sola opción.
Lo más importante es que no puedes mezclar ejercicios de ambas opciones - si empiezas con la A, todo debe ser de la A. El examen dura una hora y no se permiten calculadoras gráficas.
La puntuación total es de 10 puntos distribuidos entre ejercicios de matrices (3 puntos), determinantes (2 puntos), discusión de rangos (3 puntos) y propiedades de determinantes (2 puntos).
Consejo clave: Todas las respuestas deben estar justificadas. No basta con dar el resultado final.
El primer ejercicio trabaja con la matriz A = (2,1;1,2) y te pide encontrar valores α y β para que A² + αA + βI = 0. La clave está en calcular A² primero y luego igualar componente a componente.
Una vez que tienes α = -4 y β = 3, puedes usar esta relación para calcular la inversa de A sin usar el método tradicional. Es un truco muy útil: si A² - 4A + 3I = 0, entonces A⁻¹ = -1/3.
El segundo ejercicio es un determinante 4×4 que se resuelve por desarrollo por cofactores. Lo más eficiente es hacer operaciones elementales primero para crear ceros y luego desarrollar por la fila o columna con más ceros.
Truco: Siempre busca la fila o columna con más ceros para desarrollar el determinante.
Este ejercicio es fundamental para Selectividad. Tienes una matriz que depende del parámetro 'a' y debes analizar cuándo cambia su rango.
Primero calculas el determinante en función de a: det(A) = 8a² + 6a - 14. Las raíces de esta ecuación son los valores críticos donde el rango puede cambiar.
Cuando a ≠ 1 y a ≠ -7/4: det(A) ≠ 0, por tanto rango(A) = 3. Cuando a = 1 o a = -7/4: det(A) = 0, pero como existe un menor 2×2 no nulo, el rango(A) = 2.
Para calcular A⁻¹ cuando a = 5, usas la matriz adjunta: A⁻¹ = × adj(A). Como det(A) = 216 ≠ 0, la inversa existe.
Recuerda: El rango siempre es el mayor orden de determinante no nulo.
Este ejercicio te enseña a usar las propiedades de los determinantes sin calcular desde cero. Te dan que un determinante vale 4 y debes calcular otro relacionado.
La clave está en descomponer el determinante usando la propiedad de linealidad. El determinante pedido se puede escribir como suma de dos determinantes más simples.
Después aplicas propiedades como el intercambio de filas (que cambia el signo) y sacar factores comunes. Al final: 2 × (-3) × 4 = -24, pero con el cambio de signo por intercambio de filas da 24.
Este tipo de ejercicio es muy común en Selectividad porque evalúa si conoces las propiedades sin hacer cálculos tediosos.
Estrategia: Siempre busca cómo relacionar el determinante nuevo con el que te dan usando las propiedades básicas.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
Sí, tienes acceso gratuito a los contenidos de la aplicación y a nuestro compañero de IA. Para desbloquear determinadas funciones de la aplicación, puedes adquirir Knowunity Pro.
App Store
Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
Sophia
usuario de Android
Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
usuaria de Android
La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
Izan
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.
Julyana
usuaria de Android
Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.
Javier
usuario de Android
Sinceramente me ha salvado los estudios. Recomiendo la aplicación 100%.
Erick
usuario de Android
Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
Mar
usuaria de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
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Elena
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Marta
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¿Te agobias con los exámenes de matemáticas de 2º de Bachillerato? Este examen de álgebra lineal incluye los temas más importantes que necesitas dominar: operaciones con matrices, cálculo de determinantes y análisis de rangos. Te ayudará a entender... Mostrar más
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Este es un examen típico de 1ª evaluación para 2º de Bachillerato con una estructura muy clara. Tienes que elegir entre dos opciones (A o B) y resolver los cuatro ejercicios de una sola opción.
Lo más importante es que no puedes mezclar ejercicios de ambas opciones - si empiezas con la A, todo debe ser de la A. El examen dura una hora y no se permiten calculadoras gráficas.
La puntuación total es de 10 puntos distribuidos entre ejercicios de matrices (3 puntos), determinantes (2 puntos), discusión de rangos (3 puntos) y propiedades de determinantes (2 puntos).
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Una vez que tienes α = -4 y β = 3, puedes usar esta relación para calcular la inversa de A sin usar el método tradicional. Es un truco muy útil: si A² - 4A + 3I = 0, entonces A⁻¹ = -1/3.
El segundo ejercicio es un determinante 4×4 que se resuelve por desarrollo por cofactores. Lo más eficiente es hacer operaciones elementales primero para crear ceros y luego desarrollar por la fila o columna con más ceros.
Truco: Siempre busca la fila o columna con más ceros para desarrollar el determinante.
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Cuando a ≠ 1 y a ≠ -7/4: det(A) ≠ 0, por tanto rango(A) = 3. Cuando a = 1 o a = -7/4: det(A) = 0, pero como existe un menor 2×2 no nulo, el rango(A) = 2.
Para calcular A⁻¹ cuando a = 5, usas la matriz adjunta: A⁻¹ = × adj(A). Como det(A) = 216 ≠ 0, la inversa existe.
Recuerda: El rango siempre es el mayor orden de determinante no nulo.
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
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