Análisis de Sistemas de Ecuaciones Lineales - Ejercicios y Soluciones

Clasificación y Teorema de Rouché-Fröbenius

¿Te has preguntado alguna vez por qué algunos sistemas tienen una solución y otros no? Todo depende del rango de las matrices involucradas.

Un sistema de ecuaciones lineales se puede escribir como Ax = B, donde A es la matriz de coeficientes y A* es la matriz ampliada (A|B). Según el teorema de Rouché-Fröbenius, existen tres casos posibles:

• SCD (Compatible Determinado): r(A) = r$A*$ = nº incógnitas → Solución única
• SCI (Compatible Indeterminado): r(A) = r$A*$ < nº incógnitas → Infinitas soluciones
• SI (Sistema Incompatible): r(A) ≠ r$A*$ → Sin solución

¡Truco! Si el determinante |A| ≠ 0, automáticamente tienes solución única. Solo cuando |A| = 0 necesitas investigar más.

Ejemplos Resueltos con Parámetros

Resolver sistemas con parámetros es como ser detective matemático: cada valor del parámetro cambia completamente el comportamiento del sistema.

En el primer ejemplo, cuando a ≠ 3, el sistema tiene solución única porque |A| ≠ 0. Pero cuando a = 3, |A| = 0 y necesitas calcular los rangos para ver qué pasa.

El segundo ejemplo es más complejo: cuando a ≠ 0 y a ≠ 1, tienes solución única. Sin embargo, si a = 0, el sistema es incompatible (sin solución) porque r(A) = 2 pero r$A*$ = 3. Y si a = 1, tienes infinitas soluciones porque r(A) = r$A*$ = 2 < 3 incógnitas.

¡Importante! Siempre comprueba primero cuándo |A| = 0. Esos valores del parámetro son los "críticos" que debes analizar por separado.