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Actualizado Mar 20, 2026
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Introducción a las Derivadas: Conceptos y Ejemplos
A
Andrea Lopez lopez
@andrealopezlopez_iuvf
1 / 8
Definición de derivada de una función en un punto
La tasa de variación media de una función f en el intervalo [a,b] es simplemente la pendiente de la recta que conecta dos puntos: . Es como calcular la velocidad promedio en un viaje.
La derivada en un punto x₀ es mucho más precisa: . Aquí ya no calculamos una velocidad promedio, sino la velocidad instantánea exacta en ese punto.
Geométricamente, la derivada es la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto. Cuando h se acerca a 0, la recta secante se convierte en la tangente.
💡 Clave: La derivada te dice exactamente qué tan empinada está la gráfica de la función en cualquier punto específico.
Interpretación geométrica y derivadas laterales
Cuando h→0, la recta secante se convierte en la recta tangente en el punto (x₀,f(x₀)). Por eso la derivada f'(x₀) es exactamente la pendiente de esa tangente.
Las derivadas laterales te permiten estudiar el comportamiento desde cada lado:
- Derivada por la derecha: $f'+=\lim{h→0^+} \frac{f-f}{h}$
- Derivada por la izquierda: $f'-=\lim{h→0^-} \frac{f-f}{h}$
Para que exista la derivada en un punto, ambas derivadas laterales deben existir y ser iguales: f'(x₀) = f'₊(x₀) = f'₋(x₀).
💡 Clave: Si las derivadas laterales son diferentes, la función no es derivable en ese punto (piensa en un "pico" o esquina).
Función derivada y derivadas de orden superior
La función derivada f'(x) asigna a cada valor x su correspondiente derivada. Es como tener una fórmula que te da la pendiente en cualquier punto que quieras.
Las derivadas sucesivas te permiten ir más allá:
- f''(x): derivada segunda (derivada de la derivada)
- f'''(x): derivada tercera
- f⁽ⁿ⁾(x): derivada n-ésima
Cada derivada sucesiva te da información diferente sobre el comportamiento de la función. La segunda derivada, por ejemplo, te dice si la función es cóncava o convexa.
💡 Clave: Cuantas más derivadas puedas calcular, más información tienes sobre el comportamiento completo de la función.
Derivadas de las funciones elementales
Estas son las fórmulas básicas que necesitas memorizar para derivar cualquier función:
Funciones algebraicas:
- Constante: (k)' = 0
- Potencia: (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹
- Raíz: (√x)' = 1/(2√x)
Funciones exponenciales y logarítmicas:
- (eˣ)' = eˣ
- (ln x)' = 1/x
- (aˣ)' = aˣ ln a
Funciones trigonométricas:
- (sen x)' = cos x
- (cos x)' = -sen x
- (tg x)' = 1 + tg²x
💡 Clave: Domina estas fórmulas básicas y podrás derivar funciones mucho más complejas usando las reglas de operaciones.
Derivadas de las operaciones con funciones
Con estas reglas de derivación puedes atacar cualquier función compleja:
Operaciones básicas:
- Suma: ' = g' + h'
- Producto por constante: (kg)' = kg'
- Regla del producto: (g·h)' = g'·h + g·h'
- Regla del cociente: ' = /h²
La regla de la cadena es tu arma secreta para funciones compuestas: (g(h(x)))' = g'(h(x))·h'(x). Es como "pelar una cebolla" derivando capa por capa.
Rectas tangente y normal:
- Tangente: y = f'(a) + f(a)
- Normal: y = + f(a)
💡 Clave: La regla de la cadena es fundamental. Practica identificando la función "exterior" e "interior" en funciones compuestas.
Continuidad y derivabilidad
Aquí tienes una relación clave: si una función es derivable en un punto, entonces es continua en ese punto. Pero cuidado, el recíproco no es cierto.
La derivabilidad es más exigente que la continuidad. Una función puede ser continua pero no derivable .
Para estudiar la derivabilidad en puntos conflictivos, calcula las derivadas laterales. Si son iguales, la función es derivable; si son diferentes, no lo es.
Los casos típicos donde hay problemas de derivabilidad son: valores absolutos, funciones definidas a trozos, y funciones con cambios bruscos de comportamiento.
💡 Clave: Siempre que veas una función definida a trozos, revisa la derivabilidad en los puntos de "empalme" entre los trozos.
Pensamos que nunca lo preguntarías...
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
Sophia
usuario de Android
Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
usuaria de Android
La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
Izan
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.
Julyana
usuaria de Android
Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.
Javier
usuario de Android
LOS QUIZ Y FLASHCARDS SON SÚPER ÚTILES Y ME ENCANTA Knowunity IA. ADEMÁS ES LITERALMENTE COMO CHATGPT PERO MÁS LISTO!! ME AYUDÓ TAMBIÉN CON MIS PROBLEMAS DE MÁSCARA!! Y CON MIS ASIGNATURAS DE VERDAD! OBVIO 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Erick
usuario de Android
Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
Mar
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Mar
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Introducción a las Derivadas: Conceptos y Ejemplos
A
Andrea Lopez lopez
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Las derivadas son una herramienta fundamental del cálculo que te permite medir cómo cambia una función en cada punto. Piensa en ellas como el "velocímetro" de las funciones: te dicen qué tan rápido está creciendo o decreciendo la función en... Mostrar más
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Cuando h→0, la recta secante se convierte en la recta tangente en el punto (x₀,f(x₀)). Por eso la derivada f'(x₀) es exactamente la pendiente de esa tangente.
Las derivadas laterales te permiten estudiar el comportamiento desde cada lado:
- Derivada por la derecha: $f'+=\lim{h→0^+} \frac{f-f}{h}$
- Derivada por la izquierda: $f'-=\lim{h→0^-} \frac{f-f}{h}$
Para que exista la derivada en un punto, ambas derivadas laterales deben existir y ser iguales: f'(x₀) = f'₊(x₀) = f'₋(x₀).
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Aquí tienes una relación clave: si una función es derivable en un punto, entonces es continua en ese punto. Pero cuidado, el recíproco no es cierto.
La derivabilidad es más exigente que la continuidad. Una función puede ser continua pero no derivable .
Para estudiar la derivabilidad en puntos conflictivos, calcula las derivadas laterales. Si son iguales, la función es derivable; si son diferentes, no lo es.
Los casos típicos donde hay problemas de derivabilidad son: valores absolutos, funciones definidas a trozos, y funciones con cambios bruscos de comportamiento.
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