Introducción a las Derivadas: Conceptos y Ejemplos

Definición de derivada de una función en un punto

La tasa de variación media de una función f en el intervalo [a,b] es simplemente la pendiente de la recta que conecta dos puntos: $TVM_f[a,b] = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$. Es como calcular la velocidad promedio en un viaje.

La derivada en un punto x₀ es mucho más precisa: $f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$. Aquí ya no calculamos una velocidad promedio, sino la velocidad instantánea exacta en ese punto.

Geométricamente, la derivada es la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto. Cuando h se acerca a 0, la recta secante se convierte en la tangente.

💡 Clave: La derivada te dice exactamente qué tan empinada está la gráfica de la función en cualquier punto específico.

Interpretación geométrica y derivadas laterales

Cuando h→0, la recta secante se convierte en la recta tangente en el punto (x₀,f(x₀)). Por eso la derivada f'(x₀) es exactamente la pendiente de esa tangente.

Las derivadas laterales te permiten estudiar el comportamiento desde cada lado:

• Derivada por la derecha: $f'_+(x_0)=\lim_{h→0^+} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
• Derivada por la izquierda: $f'_-(x_0)=\lim_{h→0^-} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

Para que exista la derivada en un punto, ambas derivadas laterales deben existir y ser iguales: f'(x₀) = f'₊(x₀) = f'₋(x₀).

💡 Clave: Si las derivadas laterales son diferentes, la función no es derivable en ese punto (piensa en un "pico" o esquina).

Función derivada y derivadas de orden superior

La función derivada f'$x$ asigna a cada valor x su correspondiente derivada. Es como tener una fórmula que te da la pendiente en cualquier punto que quieras.

Las derivadas sucesivas te permiten ir más allá:

• f''$x$: derivada segunda (derivada de la derivada)
• f'''$x$: derivada tercera
• f⁽ⁿ⁾$x$: derivada n-ésima

Cada derivada sucesiva te da información diferente sobre el comportamiento de la función. La segunda derivada, por ejemplo, te dice si la función es cóncava o convexa.

💡 Clave: Cuantas más derivadas puedas calcular, más información tienes sobre el comportamiento completo de la función.

Derivadas de las funciones elementales

Estas son las fórmulas básicas que necesitas memorizar para derivar cualquier función:

Funciones algebraicas:

• Constante: $k$' = 0
• Potencia: (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹
• Raíz: (√x)' = 1/(2√x)

Funciones exponenciales y logarítmicas:

• (eˣ)' = eˣ
• (ln x)' = 1/x
• (aˣ)' = aˣ ln a

Funciones trigonométricas:

• (sen x)' = cos x
• (cos x)' = -sen x
• (tg x)' = 1 + tg²x

💡 Clave: Domina estas fórmulas básicas y podrás derivar funciones mucho más complejas usando las reglas de operaciones.

Derivadas de las operaciones con funciones

Con estas reglas de derivación puedes atacar cualquier función compleja:

Operaciones básicas:

• Suma: $g + h$' = g' + h'
• Producto por constante: (kg)' = kg'
• Regla del producto: (g·h)' = g'·h + g·h'
• Regla del cociente: (g/h)' = $g'·h - g·h'$/h²

La regla de la cadena es tu arma secreta para funciones compuestas: (g(h$x$))' = g'(h$x$)·h'$x$. Es como "pelar una cebolla" derivando capa por capa.

Rectas tangente y normal:

• Tangente: y = f'a$$x - a + f$a$
• Normal: y = -1/f'(a)$$x - a + f$a$

💡 Clave: La regla de la cadena es fundamental. Practica identificando la función "exterior" e "interior" en funciones compuestas.

Continuidad y derivabilidad

Aquí tienes una relación clave: si una función es derivable en un punto, entonces es continua en ese punto. Pero cuidado, el recíproco no es cierto.

La derivabilidad es más exigente que la continuidad. Una función puede ser continua pero no derivable (piensa en f$x$ = |x| en x = 0: es continua pero tiene un "pico").

Para estudiar la derivabilidad en puntos conflictivos, calcula las derivadas laterales. Si son iguales, la función es derivable; si son diferentes, no lo es.

Los casos típicos donde hay problemas de derivabilidad son: valores absolutos, funciones definidas a trozos, y funciones con cambios bruscos de comportamiento.

💡 Clave: Siempre que veas una función definida a trozos, revisa la derivabilidad en los puntos de "empalme" entre los trozos.