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Funciones e Identidades Trigonométricas

Derivadas Trigonométricas

Matemáticas373Actualizado 18 sept 20262 páginas

Guía de Derivadas para Selectividad

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Maria Hurtado@apuntes_fav

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Las derivadas son una herramienta fundamental del cálculo que te permite encontrar la velocidad de cambio de cualquier función. Dominar estas reglas te dará la base para resolver problemas complejos en física, economía y muchas otras áreas.

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Reglas Básicas de Derivación

¿Sabías que derivar no tiene por qué ser complicado? La definición de derivada como límite es el punto de partida: $\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ , pero las reglas que vienen después te simplifican todo el trabajo.

Para funciones constantes como $f(x) = 5$ , la derivada siempre es cero: $f'(x) = 0$ . Esto tiene sentido porque las constantes no cambian. Las funciones potenciales siguen la regla del exponente: si tienes $f(x) = x^k$ , entonces $f'(x) = k \cdot x^{k-1}$ .

Las operaciones básicas también tienen sus trucos. La derivada de una suma es la suma de las derivadas, y cuando multiplicas una función por un número, ese número "sale fuera" de la derivada. La regla de la cadena $F'(x) = g'(t(x)) \cdot t'(x)$ es clave para funciones compuestas.

Para el producto de funciones usas: $F'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)$ , y para cocientes: $F'(x) = \frac{g'(x) \cdot t(x) - t'(x) \cdot g(x)}{(t(x))^2}$ . También tienes fórmulas específicas para raíces cuadradas y funciones logarítmicas y exponenciales.

Truco: La derivación logarítmica es perfecta para funciones del tipo $f(x)^{g(x)}$ - toma logaritmo natural en ambos lados y después deriva.

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Funciones Trigonométricas y sus Inversas

Las funciones trigonométricas tienen patrones de derivación que una vez memorizados, te ahorran muchísimo tiempo. El seno y coseno se "intercambian" al derivar: la derivada de $\sen x$ es $\cos x$ , pero la del $\cos x$ es $-\sen x$ (¡ojo con el signo negativo!).

La tangente tiene una derivada especial: $(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$ . Cuando estas funciones están compuestas con otra función $g(x)$ , simplemente multiplicas por $g'(x)$ usando la regla de la cadena.

Las funciones trigonométricas inversas (arcoseno, arcocoseno, arcotangente) tienen derivadas con raíces cuadradas. Para $\arcsen x$ es $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ , para $\arccos x$ es $\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$ (mismo denominador pero negativo), y para $\arctan x$ es $\frac{1}{1+x^2}$ .

Recuerda que cuando tienes composiciones como $\arcsen(g(x))$ , siempre multiplicas por $g'(x)$ . Estas fórmulas aparecen constantemente en integrales y problemas de optimización.

Consejo: Haz una tabla con todas las derivadas trigonométricas - verás que siguen patrones lógicos que facilitan la memorización.

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