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Matemáticas
9 dic 2025
246
4 páginas
Ana @ana_fxka
¿Te has preguntado alguna vez cómo saber si una función está subiendo o bajando, o dónde alcanza sus... Mostrar más
Determinar si una función crece o decrece es más fácil de lo que parece. Una función es creciente en un punto cuando su derivada f'(a) > 0, y decreciente cuando f'(a) < 0.
Para encontrar máximos y mínimos, primero calculas la derivada y la igualas a cero. Los puntos donde f'(x) = 0 son candidatos a extremos. Después usas la segunda derivada para confirmar si f''(a) < 0 tienes un máximo, si f''(a) > 0 tienes un mínimo.
Veamos el ejemplo f(x) = x³ + 3x² - 9x + 1. Su derivada f'(x) = 3x² + 6x - 9 = 0 nos da x = 1 y x = -3. La segunda derivada f''(x) = 6x + 6 nos confirma que en x = -3 hay un máximo y en x = 1 hay un mínimo.
Consejo clave La recta numérica te ayuda a visualizar dónde crece y decrece la función entre los puntos críticos.
Los problemas de optimización te permiten encontrar la mejor solución posible en situaciones reales. El truco está en convertir el problema en palabras a una función matemática.
El proceso siempre sigue los mismos pasos primero identificas las variables y creas una función que represente lo que quieres maximizar o minimizar. Luego buscas una segunda ecuación que relacione las variables según las restricciones del problema.
En el ejemplo del rectángulo inscrito en un círculo de radio 10, queremos maximizar el área A = b·h. Usando la restricción b² + h² = 100, sustituimos y obtenemos A(h) = √·h. Al derivar y resolver, encontramos que h = 5√2, y curiosamente el rectángulo óptimo resulta ser un cuadrado.
Truco útil Siempre comprueba que tus soluciones tienen sentido en el contexto del problema (medidas positivas, dentro de los límites dados, etc.).
El teorema de Bolzano es tu herramienta perfecta para encontrar raíces cuando no puedes resolver algebraicamente. Si tienes una función continua en y f(a) y f(b) tienen signos opuestos, garantiza que existe al menos una raíz en ese intervalo.
La técnica del punto medio te permite aproximarte a la raíz tanto como quieras. Calculas f en el punto medio del intervalo y eliges el subintervalo donde la función cambia de signo.
En f(x) = x³ - 3x + 1 en , como f(0) = 1 > 0 y f(1) = -1 < 0, sabemos que hay una raíz. Probando x = 0.5 obtenemos f(0.5) = -0.875, así que la raíz está en . Continuando este proceso llegamos a x ≈ 0.375.
Regla de oro Siempre elige el intervalo donde los valores de la función tienen signos opuestos para continuar la búsqueda.
El teorema de Rolle te dice que si una función es continua en , derivable en (a,b) y f(a) = f(b), entonces existe un punto c donde f'(c) = 0. Es como garantizar que hay al menos una "cima" o "valle" en el camino.
Para f(x) = x³ + 3x² en , vemos que f(-3) = f(0) = 0. La derivada f'(x) = 3x² + 6x = 0 nos da x = 0 y x = -2. Como c = -2 está en (-3,0), cumple el teorema.
El teorema de L'Hôpital resuelve indeterminaciones del tipo 0/0 o ∞/∞. Simplemente derivas numerador y denominador por separado. Para lim(x→0) sen x/x, como ambos tienden a 0, aplicamos L'Hôpital lim(x→0) cos x/1 = 1.
Recuerda L'Hôpital solo funciona con indeterminaciones específicas. Verifica siempre que tienes 0/0 o ∞/∞ antes de aplicarlo.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
Sí, tienes acceso gratuito a los contenidos de la aplicación y a nuestro compañero de IA. Para desbloquear determinadas funciones de la aplicación, puedes adquirir Knowunity Pro.
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Herramientas Inteligentes NUEVO
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Más ejercicios en mi perfil Matemáticas II
MatemáticasTabla con derivadas + las del producto y cociente con ejemplos
MatemáticasDerivadas
Matemáticas2. Números Reales 3. Números Complejos 4. Topología en R 5. Series y sucesiones
MatemáticasSelectividad
MatemáticasLos teoremas como : Bolzano, Rolle; están en el perfil.
MatemáticasApp Store
Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
Sophia
usuario de Android
Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
usuaria de Android
La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
Izan
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.
Julyana
usuaria de Android
Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.
Javier
usuario de Android
Sinceramente me ha salvado los estudios. Recomiendo la aplicación 100%.
Erick
usuario de Android
Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
Mar
usuaria de iOS
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Veamos el ejemplo f(x) = x³ + 3x² - 9x + 1. Su derivada f'(x) = 3x² + 6x - 9 = 0 nos da x = 1 y x = -3. La segunda derivada f''(x) = 6x + 6 nos confirma que en x = -3 hay un máximo y en x = 1 hay un mínimo.
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En f(x) = x³ - 3x + 1 en , como f(0) = 1 > 0 y f(1) = -1 < 0, sabemos que hay una raíz. Probando x = 0.5 obtenemos f(0.5) = -0.875, así que la raíz está en . Continuando este proceso llegamos a x ≈ 0.375.
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Para f(x) = x³ + 3x² en , vemos que f(-3) = f(0) = 0. La derivada f'(x) = 3x² + 6x = 0 nos da x = 0 y x = -2. Como c = -2 está en (-3,0), cumple el teorema.
El teorema de L'Hôpital resuelve indeterminaciones del tipo 0/0 o ∞/∞. Simplemente derivas numerador y denominador por separado. Para lim(x→0) sen x/x, como ambos tienden a 0, aplicamos L'Hôpital: lim(x→0) cos x/1 = 1.
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Marta
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La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
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Mar
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