Definición Matemática de Probabilidad

La probabilidad tiene tres reglas básicas que siempre se cumplen, llamadas axiomas. Primero, cualquier probabilidad siempre es mayor o igual a cero (nunca negativa). Segundo, la probabilidad del espacio muestral completo es 1 (algo tiene que pasar). Tercero, si dos sucesos no pueden ocurrir al mismo tiempo, sus probabilidades se suman.

De estos axiomas salen varias propiedades útiles que necesitas recordar. La probabilidad del suceso imposible es 0, y la de cualquier suceso A más su contrario suma siempre 1. También tienes la fórmula de la unión: P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B).

Los sucesos independientes son clave: cuando lanzas un dado y una moneda, lo que salga en uno no afecta al otro, así que P(A∩B) = P(A) × P(B). Pero cuando los sucesos sí se influyen entre ellos, necesitas la probabilidad condicionada: P(A|B) = P(A∩B)/P(B).

Truco: En los problemas, "o" siempre significa unión (∪) y "y" significa intersección (∩). "Al menos uno" es lo mismo que unión.

Teoría de Conjuntos y Operaciones

Un experimento aleatorio es cualquier situación donde no sabes el resultado de antemano, como lanzar una moneda. El espacio muestral E incluye todos los posibles resultados, y un suceso es cualquier grupo de esos resultados que te interese.

Hay varios tipos de sucesos importantes. El suceso elemental tiene un solo resultado, el imposible nunca pasa (conjunto vacío Ø), el seguro siempre ocurre (es todo el espacio E), y el contrario de A incluye todo lo que no es A.

Las operaciones con sucesos funcionan como con conjuntos normales. La unión A∪B es "A o B o ambos", la intersección A∩B es "A y B a la vez". Los sucesos incompatibles no pueden pasar juntos, así que A∩B = Ø.

Dato curioso: Si tu espacio muestral tiene n elementos, puedes formar 2ⁿ sucesos diferentes. ¡Con solo 3 elementos ya tienes 8 sucesos posibles!

Las leyes de Morgan te ayudan a trabajar con complementarios: el contrario de "A y B" es "no A o no B", y viceversa.