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Daniela Martinez
18/12/2025
Matemáticas
polinomios
1074
•
18 dic 2025
•
Daniela Martinez
@danielamartinez_pdvi
Los polinomios pueden parecer complicados al principio, pero son simplemente... Mostrar más
Los monomios son la base de todo lo que viene después, así que es clave entenderlos bien. Cada monomio tiene tres partes: el coeficiente (el número), la parte literal (las letras con sus exponentes) y el grado (la suma de todos los exponentes).
Para sumar y restar monomios, solo puedes hacerlo si tienen la misma parte literal. Es como sumar manzanas con manzanas: , pero no puedes sumar directamente.
Las operaciones básicas con monomios siguen reglas sencillas. Para multiplicar: multiplicas coeficientes y sumas exponentes $2x^3 \cdot 3x^2 = 6x^5$. Para dividir: divides coeficientes y restas exponentes.
Truco importante: Siempre agrupa términos semejantes antes de hacer otras operaciones. Te ahorrará mucho tiempo en problemas complejos.
El valor numérico de un polinomio se calcula sustituyendo la variable por el número dado. Por ejemplo, si y quieres , sustituyes: .
La multiplicación de polinomios se hace término a término, como si fuera una tabla de multiplicar expandida. Cada término del primer polinomio multiplica a cada término del segundo. Parece largo, pero con práctica se vuelve automático.
Los productos notables son fórmulas que te permiten resolver ciertos tipos de multiplicaciones al instante. Los tres más importantes son: , , y .
Estos productos notables son súper útiles para cálculo mental. Por ejemplo, para calcular , puedes usar y ver que .
Dato curioso: Los productos notables aparecen constantemente en exámenes. Si te los aprendes bien ahora, te ahorrarás mucho tiempo después.
Para reconocer un producto notable en forma desarrollada, busca patrones: si ves algo como , piensa "¿qué número al cuadrado da 9?" Si es 3, y , entonces es .
Esta página continúa profundizando en los productos notables con ejemplos más complejos. No te agobies si al principio algunos ejercicios parecen difíciles; la clave está en identificar el patrón correcto.
Los ejercicios de completar igualdades son perfectos para comprobar si realmente entiendes las fórmulas. Por ejemplo, si tienes (2x+3)^2 = ____ + 12x + ____, sabes que el primer término es y el último es .
La sección de expresar como producto notable funciona al revés: te dan el desarrollo y tienes que encontrar la forma factorizada. Es como resolver un puzzle donde buscas qué expresión original dio ese resultado.
Estrategia de estudio: Practica tanto desarrollar como factorizar. Son operaciones opuestas y dominar ambas te dará mucha confianza.
Los ejercicios combinados mezclan varios productos notables en una misma expresión. Aquí es donde realmente se nota si dominas el tema. Trabaja paso a paso y no intentes hacer todo mentalmente al principio.
La división de polinomios funciona similar a la división larga de números, pero con variables. Siempre obtienes un cociente y un resto , y se cumple que (donde $D$ es dividendo y $d$ es divisor).
Para organizar una división, coloca los términos en orden decreciente de grado y no olvides incluir términos con coeficiente cero si faltan grados. Por ejemplo, si divides , escríbelo como .
El proceso paso a paso es: divide el término de mayor grado del dividendo entre el de mayor grado del divisor, multiplica todo el divisor por ese resultado, resta del dividendo, y repite hasta que el resto tenga menor grado que el divisor.
Consejo práctico: Siempre verifica tu división usando la fórmula . Si no se cumple, revisa tus cálculos.
Algunos ejercicios tienen fracciones en los coeficientes. No te compliques: trabaja con las fracciones igual que con números enteros, solo ten más cuidado con las operaciones.
La regla de Ruffini es una forma súper rápida de dividir un polinomio entre . Solo necesitas los coeficientes del polinomio y el valor de . Es mucho más eficiente que la división larga cuando el divisor tiene esa forma específica.
Para aplicar Ruffini, escribe los coeficientes en fila, pon el valor de a la izquierda, baja el primer coeficiente, multiplícalo por y súmalo al siguiente coeficiente. Repite el proceso hasta terminar.
El teorema del resto dice que si divides entre , el resto es exactamente . Esto significa que puedes encontrar el resto sin hacer la división completa, solo evaluando el polinomio.
Aplicación útil: Si , entonces es un factor del polinomio. Esto es clave para la factorización.
Los ejercicios donde tienes que determinar el valor de una constante usan este teorema. Si te dicen que el resto es -1 cuando divides por , entonces , y puedes despejar la constante desconocida.
Las fracciones algebraicas se simplifican igual que las fracciones numéricas: buscando factores comunes en numerador y denominador. La diferencia es que aquí trabajas con expresiones algebraicas en lugar de números simples.
Para simplificar eficientemente, primero saca factor común donde sea posible, luego busca productos notables tanto en el numerador como en el denominador. Por ejemplo, .
La factorización de polinomios es como desarmar un puzzle: buscas qué factores más simples, multiplicados entre sí, dan el polinomio original. Empiezas siempre sacando factor común, luego aplicas productos notables si es posible.
Estrategia clave: Para polinomios de grado mayor a 2, usa la regla de Ruffini para encontrar raíces. Si , entonces es un factor.
Los ejercicios de factorización incluyen desde casos sencillos hasta polinomios de grado 6. No te desanimes si algunos parecen imposibles; con práctica desarrollarás intuición para reconocer patrones rápidamente.
Esta página contiene las soluciones de todos los ejercicios de factorización. Úsala para verificar tus respuestas, pero intenta resolver los problemas por tu cuenta primero.
Observa los patrones en las soluciones: muchos polinomios se factorizan como productos de binomios simples como , , etc. Esto confirma que buscar raíces enteras usando Ruffini es una estrategia efectiva.
Algunos factores aparecen elevados al cuadrado o al cubo, como o . Esto significa que esa raíz tiene multiplicidad mayor que 1.
Consejo de repaso: Si tu solución no coincide, revisa primero las operaciones aritméticas. Los errores más comunes son de cálculo, no de concepto.
Fíjate en que algunos polinomios incluyen factores irreducibles como o . Estos no se pueden factorizar más usando números reales, y es normal que aparezcan en las soluciones finales.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
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Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
Sophia
usuario de Android
Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
usuaria de Android
La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
Izan
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.
Julyana
usuaria de Android
Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.
Javier
usuario de Android
Sinceramente me ha salvado los estudios. Recomiendo la aplicación 100%.
Erick
usuario de Android
Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
Mar
usuaria de iOS
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Daniela Martinez
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Los polinomios pueden parecer complicados al principio, pero son simplemente expresiones algebraicas que sigues usando todos los días en matemáticas. Con estos ejercicios vas a dominar desde las operaciones más básicas hasta técnicas avanzadas como la factorización y división de... Mostrar más
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Los monomios son la base de todo lo que viene después, así que es clave entenderlos bien. Cada monomio tiene tres partes: el coeficiente (el número), la parte literal (las letras con sus exponentes) y el grado (la suma de todos los exponentes).
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El proceso paso a paso es: divide el término de mayor grado del dividendo entre el de mayor grado del divisor, multiplica todo el divisor por ese resultado, resta del dividendo, y repite hasta que el resto tenga menor grado que el divisor.
Consejo práctico: Siempre verifica tu división usando la fórmula . Si no se cumple, revisa tus cálculos.
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El teorema del resto dice que si divides entre , el resto es exactamente . Esto significa que puedes encontrar el resto sin hacer la división completa, solo evaluando el polinomio.
Aplicación útil: Si , entonces es un factor del polinomio. Esto es clave para la factorización.
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Marta
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