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Matemáticas II

Álgebra

Matrices

Diviértete Aprendiendo Matrices: Operaciones, Propiedades y Ejercicios Resueltos

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Diviértete Aprendiendo Matrices: Operaciones, Propiedades y Ejercicios Resueltos

Apuntes Selectividad

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La matriz está incompleta y parece cortada. Sin embargo, proporcionaré un resumen optimizado para SEO basado en el contenido disponible:

Las matrices y determinantes son herramientas matemáticas fundamentales que permiten organizar y manipular datos numéricos de forma sistemática. Este tema abarca desde conceptos básicos hasta aplicaciones complejas en diversos campos.

• La teoría matricial tiene sus raíces en la antigua China, con aplicaciones documentadas desde el 650 a.C.

• Las matrices son especialmente útiles en estadística, economía, física y sistemas de ecuaciones lineales.

• El desarrollo moderno de las matrices comenzó en el siglo XIX con matemáticos como Sylvester, Hamilton y Cayley.

• El tema incluye operaciones fundamentales como suma, producto y determinantes de matrices.

30/4/2023

2548

Tema 7.
Supongamos que en determinado municipio de la costa andaluza se hace una encuesta a 2000 veraneantes
para saber su nacionalidad y si

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Clasificación de Matrices

Esta sección introduce los diferentes tipos de matrices según sus características y propiedades. Se explican conceptos fundamentales para entender la estructura y comportamiento de las matrices.

Se definen y ejemplifican los siguientes tipos de matrices:

Matriz fila: aquella que tiene una sola fila
Matriz columna: aquella que tiene una sola columna
Matriz cuadrada: aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas
Matriz nula: aquella cuyos elementos son todos cero
Matriz diagonal: matriz cuadrada cuyos elementos fuera de la diagonal principal son cero
Matriz identidad: matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal principal son todos 1
Matriz triangular superior/inferior: matriz cuadrada cuyos elementos por debajo/encima de la diagonal principal son cero
Matriz simétrica: matriz cuadrada que coincide con su traspuesta
Matriz antisimétrica: matriz cuadrada cuya traspuesta es igual a su opuesta

Ejemplo: Una matriz identidad de orden 3 sería: I₃ = [1 0 0] [0 1 0] [0 0 1]

Vocabulario: La diagonal principal de una matriz cuadrada es la que va desde el elemento a₁₁ hasta el elemento ann.

Se explica también el concepto de matriz traspuesta, que se obtiene intercambiando filas por columnas. Esta noción es importante para entender propiedades y operaciones posteriores con matrices.

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Operaciones con Matrices

Esta sección aborda las principales operaciones que se pueden realizar con matrices, sentando las bases para el álgebra matricial.

Suma de Matrices

Se explica cómo sumar matrices del mismo tamaño, sumando los elementos correspondientes. Se detallan las propiedades de la suma de matrices:

Conmutativa
Asociativa
Elemento neutro (matriz nula)
Elemento opuesto

Producto de un Número por una Matriz

Se define la multiplicación de un escalar por una matriz, multiplicando cada elemento de la matriz por dicho número. Se explican sus propiedades distributivas respecto a la suma.

Producto de Matrices

Se introduce el concepto de producto de matrices, explicando detalladamente el proceso para multiplicar dos matrices compatibles. Se enfatiza que el orden de los factores sí altera el producto en el caso de las matrices.

Highlight: Para poder multiplicar dos matrices A y B, el número de columnas de A debe ser igual al número de filas de B. El resultado será una matriz con el mismo número de filas que A y el mismo número de columnas que B.

Se presentan las propiedades del producto de matrices:

Asociativa
Distributiva respecto a la suma
No conmutativa en general
Elemento neutro (matriz identidad)

Potencia de una Matriz

Se define la potencia entera positiva de una matriz cuadrada y se muestran ejemplos de cálculo. Se incluyen propiedades y casos particulares como matrices diagonales o triangulares.

Ejemplo: Para calcular A³, siendo A una matriz 2x2, se realiza: A³ = A · A · A

La sección concluye con un resumen de las propiedades de las operaciones con matrices y de la matriz traspuesta, proporcionando una base sólida para el manejo algebraico de matrices.

Ver

Matrices Invertibles

Esta sección introduce el concepto crucial de matriz invertible, también conocida como matriz regular o no singular.

Se define una matriz invertible A como aquella que tiene una matriz inversa A⁻¹ tal que:

A · A⁻¹ = A⁻¹ · A = I

Donde I es la matriz identidad del mismo orden que A.

Definición: Una matriz cuadrada A es invertible si y solo si existe otra matriz B del mismo orden tal que AB = BA = I.

Se explican las propiedades fundamentales de las matrices invertibles:

Si A es invertible, su inversa A⁻¹ es única.
(A⁻¹)⁻¹ = A
(A · B)⁻¹ = B⁻¹ · A⁻¹ (si ambas son invertibles)
(Aᵗ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵗ
(kA)⁻¹ = (1/k)A⁻¹ (para k ≠ 0)

La sección procede a explicar el método de Gauss para calcular la inversa de una matriz. Este método consiste en aplicar operaciones elementales a la matriz aumentada [A|I] hasta obtener [I|A⁻¹].

Highlight: El método de Gauss para calcular la matriz inversa es especialmente útil para matrices de orden superior a 3x3, donde otros métodos pueden resultar más complejos.

Se proporcionan ejemplos detallados del cálculo de matrices inversas usando el método de Gauss, incluyendo casos de matrices 2x2 y 3x3. También se menciona que existen otros métodos para calcular la inversa, como el uso de determinantes, que se explicarán en secciones posteriores.

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Rango de una Matriz

Esta sección introduce el concepto de rango de una matriz, una noción fundamental en álgebra lineal con importantes aplicaciones en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Se define el rango de una matriz como el número máximo de filas (o columnas) linealmente independientes de la matriz. Se explican los conceptos de dependencia e independencia lineal de vectores.

Definición: El rango de una matriz A es el número máximo de filas (o columnas) linealmente independientes de A.

Se presentan varios métodos para calcular el rango de una matriz:

Método de Gauss: Se aplica el método de eliminación de Gauss a la matriz y se cuenta el número de filas no nulas resultantes.
Método de los menores: Se calculan los determinantes de las submatrices cuadradas de la matriz original, empezando por el orden más alto posible.
Método de los determinantes (para matrices cuadradas): El rango es igual al orden de la matriz si su determinante es no nulo.

Ejemplo: Para calcular el rango de una matriz 3x4 por el método de Gauss:

Se aplica eliminación gaussiana
Se cuenta el número de filas no nulas resultantes
Este número es el rango de la matriz

Se proporcionan ejemplos detallados de cálculo del rango usando estos métodos, enfatizando la importancia de este concepto en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y en la determinación de la invertibilidad de matrices cuadradas.

La sección concluye mencionando que el rango de una matriz es invariante bajo operaciones elementales de fila o columna, lo que justifica la validez del método de Gauss para su cálculo.

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Determinantes

Esta sección introduce el concepto de determinante, una función que asocia un número a cada matriz cuadrada y que tiene importantes aplicaciones en álgebra lineal.

Se comienza explicando el cálculo de determinantes para matrices de orden 2:

det(A) = |A| = a₁₁a₂₂ - a₁₂a₂₁

Para matrices de orden 3, se presenta la regla de Sarrus:

det(A) = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ - a₁₃a₂₂a₃₁ - a₁₁a₂₃a₃₂ - a₁₂a₂₁a₃₃

Ejemplo: Para calcular el determinante de una matriz 3x3: A = [1 2 3] [4 5 6] [7 8 9] det(A) = 1·5·9 + 2·6·7 + 3·4·8 - 3·5·7 - 1·6·8 - 2·4·9 = 0

Se introducen los conceptos de menor complementario y adjunto de un elemento, que son fundamentales para el cálculo de determinantes de orden superior y para la obtención de la matriz adjunta.

Para matrices de orden n > 3, se explica el método de desarrollo por una fila o columna, que utiliza los conceptos de menor complementario y adjunto.

Highlight: El cálculo de determinantes es crucial para resolver sistemas de ecuaciones lineales, calcular inversas de matrices y determinar si un sistema tiene solución única.

Se presentan las propiedades fundamentales de los determinantes, incluyendo:

El determinante de la matriz identidad es 1.
Si se intercambian dos filas o columnas, el determinante cambia de signo.
Si una fila o columna es combinación lineal de otras, el determinante es 0.
El determinante del producto de matrices es el producto de sus determinantes.
El determinante de la inversa es el inverso del determinante.

La sección concluye explicando cómo usar determinantes para calcular la inversa de una matriz y para determinar el rango de una matriz, proporcionando ejemplos detallados de ambos procesos.

Ver

Ecuaciones Matriciales

Esta sección aborda la resolución de ecuaciones donde las incógnitas son matrices. Se presentan diferentes tipos de ecuaciones matriciales y métodos para resolverlas.

Se comienza con ecuaciones matriciales simples de la forma AX = B o XA = B, donde A y B son matrices conocidas y X es la matriz incógnita. Se explica que estas ecuaciones se resuelven multiplicando ambos lados por la inversa de A (si existe):

X = A⁻¹B o X = BA⁻¹

Ejemplo: Para resolver la ecuación matricial AX = B:

Verificar que A es invertible
Calcular A⁻¹
Multiplicar ambos lados de la ecuación por A⁻¹: A⁻¹(AX) = A⁻¹B
Simplificar: (A⁻¹A)X = A⁻¹B
Obtener: X = A⁻¹B

Se abordan ecuaciones más complejas como AXB = C, donde se deben aplicar propiedades de las operaciones matriciales para aislar la incógnita X.

Highlight: La resolución de ecuaciones matriciales requiere un buen manejo de las propiedades de las operaciones con matrices y de las matrices invertibles.

Se presentan también ecuaciones matriciales que involucran potencias de matrices, como A² + 2A - 3I = 0, donde I es la matriz identidad. Para estas ecuaciones, se explican métodos específicos de resolución.

La sección concluye con una introducción a los sistemas de ecuaciones con matrices, que son fundamentales para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante métodos matriciales.

Ver

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Esta sección final del tema se centra en la aplicación de matrices y determinantes a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Se introduce la notación matricial para sistemas de ecuaciones lineales, representando un sistema como una ecuación matricial AX = B, donde:

A es la matriz de coeficientes
X es el vector de incógnitas
B es el vector de términos independientes

Definición: Un sistema de ecuaciones lineales AX = B es compatible si tiene al menos una solución, e incompatible si no tiene solución. Es compatible determinado si tiene una única solución, y compatible indeterminado si tiene infinitas soluciones.

Se presenta el Teorema de Rouché-Fröbenius, que establece las condiciones para la existencia y unicidad de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales:

rango(A) = rango(A|B) = n ⇒ Sistema compatible determinado rango(A) = rango(A|B) < n ⇒ Sistema compatible indeterminado rango(A) ≠ rango(A|B) ⇒ Sistema incompatible

Donde n es el número de incógnitas y (A|B) es la matriz ampliada del sistema.

Highlight: El Teorema de Rouché-Fröbenius es fundamental para la discusión de sistemas de ecuaciones lineales, permitiendo determinar si un sistema tiene solución y de qué tipo antes de resolverlo.

Se explican métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales usando matrices:

Método de Cramer (para sistemas compatibles determinados)
Método de Gauss-Jordan
Método de la matriz inversa

Se proporcionan ejemplos detallados de resolución de sistemas usando estos métodos, así como ejercicios de discusión de sistemas en función de parámetros.

La sección concluye con problemas aplicados que involucran el planteamiento y resolución de sistemas de ecuaciones lineales en contextos prácticos, demostrando la utilidad de las matrices y determinantes en situaciones reales.

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Propiedades de los Determinantes

Esta sección enumera y explica las principales propiedades de los determinantes:

El determinante de la matriz identidad es 1.
Si se intercambian dos filas o columnas, el determinante cambia de signo.
Si una fila o columna es combinación lineal de otras, el determinante es cero.
Si se multiplica una fila o columna por un número k, el determinante queda multiplicado por k.
El determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos de su diagonal principal.
det(A^t) = det(A)
det(A · B) = det(A) · det(B)
det(k · A) = k^n · det(A), donde n es el orden de la matriz

Se proporcionan ejemplos para ilustrar cada propiedad.

Highlight: Estas propiedades son fundamentales para simplificar el cálculo de determinantes y resolver problemas más complejos.

Ejemplo: Si A = (2 1) y B = (3 -1), entonces: (1 3) (2 4) det(A · B) = det((2 1)(3 -1)) = det(4 6) = 4·10 - 6·5 = -10 ((1 3)(2 4)) (5 10) det(A) · det(B) = (2·3 - 1·1) · (3·4 - (-1)·2) = 5 · (-10) = -50

Se verifica que det(A · B) = det(A) · det(B)

Ver

Cálculo de la Inversa de una Matriz Usando Determinantes

Esta sección presenta un método alternativo para calcular la inversa de una matriz utilizando determinantes:

Para una matriz A de orden n, su inversa se puede calcular como:

A^(-1) = (1/det(A)) · adj(A)

donde adj(A) es la matriz adjunta de A, que se obtiene transponiendo la matriz de cofactores de A.

Se proporciona un ejemplo detallado del proceso:

Ejemplo: Para la matriz A = (2 -1), calculamos: (1 3)

det(A) = 2·3 - (-1)·1 = 7
Matriz de cofactores: C = (3 1) (-1 2)
Matriz adjunta (transpuesta de C): adj(A) = (3 -1) (1 2)
A^(-1) = (1/7) · (3 -1) = (3/7 -1/7) (1 2) (1/7 2/7)

Se verifica que A · A^(-1) = I.

Highlight: Este método es especialmente útil para matrices de orden 3 o superior, donde el método de Gauss puede ser más laborioso.

Ver

Cálculo del Rango de una Matriz Usando Determinantes

Esta sección explica cómo utilizar determinantes para calcular el rango de una matriz:

El rango de una matriz A es el orden del mayor determinante no nulo que se puede formar con sus elementos.

Pasos para calcular el rango:

Calcular los determinantes de todas las submatrices cuadradas, comenzando por las de mayor orden.
Si todos los determinantes de orden k son nulos, pero existe al menos un determinante de orden k-1 no nulo, entonces el rango de la matriz es k-1.

Se proporciona un ejemplo detallado:

Ejemplo: Para la matriz A = (1 2 3) (2 4 6) (3 6 9)

Determinante de orden 3: det(A) = 1·4·9 + 2·6·3 + 3·2·6 - 3·4·3 - 2·2·9 - 1·6·6 = 0
Determinantes de orden 2: |1 2| = 1·4 - 2·2 = 0 |2 4|

|1 3| = 1·6 - 3·2 = 0 |2 6|

|2 3| = 2·6 - 3·4 = 0 |4 6|
Determinantes de orden 1: |1| ≠ 0

Por lo tanto, el rango de A es 1.

Highlight: Este método es especialmente útil para matrices de gran tamaño, donde el cálculo del rango por otros métodos puede ser más complicado.

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• El tema incluye operaciones fundamentales como suma, producto y determinantes de matrices.

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Clasificación de Matrices

Esta sección introduce los diferentes tipos de matrices según sus características y propiedades. Se explican conceptos fundamentales para entender la estructura y comportamiento de las matrices.

Se definen y ejemplifican los siguientes tipos de matrices:

Matriz fila: aquella que tiene una sola fila
Matriz columna: aquella que tiene una sola columna
Matriz cuadrada: aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas
Matriz nula: aquella cuyos elementos son todos cero
Matriz diagonal: matriz cuadrada cuyos elementos fuera de la diagonal principal son cero
Matriz identidad: matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal principal son todos 1
Matriz triangular superior/inferior: matriz cuadrada cuyos elementos por debajo/encima de la diagonal principal son cero
Matriz simétrica: matriz cuadrada que coincide con su traspuesta
Matriz antisimétrica: matriz cuadrada cuya traspuesta es igual a su opuesta

Ejemplo: Una matriz identidad de orden 3 sería: I₃ = [1 0 0] [0 1 0] [0 0 1]

Vocabulario: La diagonal principal de una matriz cuadrada es la que va desde el elemento a₁₁ hasta el elemento ann.

Se explica también el concepto de matriz traspuesta, que se obtiene intercambiando filas por columnas. Esta noción es importante para entender propiedades y operaciones posteriores con matrices.

Operaciones con Matrices

Esta sección aborda las principales operaciones que se pueden realizar con matrices, sentando las bases para el álgebra matricial.

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Highlight: Para poder multiplicar dos matrices A y B, el número de columnas de A debe ser igual al número de filas de B. El resultado será una matriz con el mismo número de filas que A y el mismo número de columnas que B.

Se presentan las propiedades del producto de matrices:

Asociativa
Distributiva respecto a la suma
No conmutativa en general
Elemento neutro (matriz identidad)

Potencia de una Matriz

Se define la potencia entera positiva de una matriz cuadrada y se muestran ejemplos de cálculo. Se incluyen propiedades y casos particulares como matrices diagonales o triangulares.

Ejemplo: Para calcular A³, siendo A una matriz 2x2, se realiza: A³ = A · A · A

La sección concluye con un resumen de las propiedades de las operaciones con matrices y de la matriz traspuesta, proporcionando una base sólida para el manejo algebraico de matrices.

Matrices Invertibles

Esta sección introduce el concepto crucial de matriz invertible, también conocida como matriz regular o no singular.

Se define una matriz invertible A como aquella que tiene una matriz inversa A⁻¹ tal que:

A · A⁻¹ = A⁻¹ · A = I

Donde I es la matriz identidad del mismo orden que A.

Definición: Una matriz cuadrada A es invertible si y solo si existe otra matriz B del mismo orden tal que AB = BA = I.

Se explican las propiedades fundamentales de las matrices invertibles:

Si A es invertible, su inversa A⁻¹ es única.
(A⁻¹)⁻¹ = A
(A · B)⁻¹ = B⁻¹ · A⁻¹ (si ambas son invertibles)
(Aᵗ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵗ
(kA)⁻¹ = (1/k)A⁻¹ (para k ≠ 0)

Highlight: El método de Gauss para calcular la matriz inversa es especialmente útil para matrices de orden superior a 3x3, donde otros métodos pueden resultar más complejos.

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Se define el rango de una matriz como el número máximo de filas (o columnas) linealmente independientes de la matriz. Se explican los conceptos de dependencia e independencia lineal de vectores.

Definición: El rango de una matriz A es el número máximo de filas (o columnas) linealmente independientes de A.

Se presentan varios métodos para calcular el rango de una matriz:

Método de Gauss: Se aplica el método de eliminación de Gauss a la matriz y se cuenta el número de filas no nulas resultantes.
Método de los menores: Se calculan los determinantes de las submatrices cuadradas de la matriz original, empezando por el orden más alto posible.
Método de los determinantes (para matrices cuadradas): El rango es igual al orden de la matriz si su determinante es no nulo.

Ejemplo: Para calcular el rango de una matriz 3x4 por el método de Gauss:

Se aplica eliminación gaussiana
Se cuenta el número de filas no nulas resultantes
Este número es el rango de la matriz

La sección concluye mencionando que el rango de una matriz es invariante bajo operaciones elementales de fila o columna, lo que justifica la validez del método de Gauss para su cálculo.

Determinantes

Esta sección introduce el concepto de determinante, una función que asocia un número a cada matriz cuadrada y que tiene importantes aplicaciones en álgebra lineal.

Se comienza explicando el cálculo de determinantes para matrices de orden 2:

det(A) = |A| = a₁₁a₂₂ - a₁₂a₂₁

Para matrices de orden 3, se presenta la regla de Sarrus:

det(A) = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ - a₁₃a₂₂a₃₁ - a₁₁a₂₃a₃₂ - a₁₂a₂₁a₃₃

Ejemplo: Para calcular el determinante de una matriz 3x3: A = [1 2 3] [4 5 6] [7 8 9] det(A) = 1·5·9 + 2·6·7 + 3·4·8 - 3·5·7 - 1·6·8 - 2·4·9 = 0

Se introducen los conceptos de menor complementario y adjunto de un elemento, que son fundamentales para el cálculo de determinantes de orden superior y para la obtención de la matriz adjunta.

Para matrices de orden n > 3, se explica el método de desarrollo por una fila o columna, que utiliza los conceptos de menor complementario y adjunto.

Highlight: El cálculo de determinantes es crucial para resolver sistemas de ecuaciones lineales, calcular inversas de matrices y determinar si un sistema tiene solución única.

Se presentan las propiedades fundamentales de los determinantes, incluyendo:

El determinante de la matriz identidad es 1.
Si se intercambian dos filas o columnas, el determinante cambia de signo.
Si una fila o columna es combinación lineal de otras, el determinante es 0.
El determinante del producto de matrices es el producto de sus determinantes.
El determinante de la inversa es el inverso del determinante.

La sección concluye explicando cómo usar determinantes para calcular la inversa de una matriz y para determinar el rango de una matriz, proporcionando ejemplos detallados de ambos procesos.

Ecuaciones Matriciales

Esta sección aborda la resolución de ecuaciones donde las incógnitas son matrices. Se presentan diferentes tipos de ecuaciones matriciales y métodos para resolverlas.

X = A⁻¹B o X = BA⁻¹

Ejemplo: Para resolver la ecuación matricial AX = B:

Verificar que A es invertible
Calcular A⁻¹
Multiplicar ambos lados de la ecuación por A⁻¹: A⁻¹(AX) = A⁻¹B
Simplificar: (A⁻¹A)X = A⁻¹B
Obtener: X = A⁻¹B

Se abordan ecuaciones más complejas como AXB = C, donde se deben aplicar propiedades de las operaciones matriciales para aislar la incógnita X.

Highlight: La resolución de ecuaciones matriciales requiere un buen manejo de las propiedades de las operaciones con matrices y de las matrices invertibles.

La sección concluye con una introducción a los sistemas de ecuaciones con matrices, que son fundamentales para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante métodos matriciales.

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Esta sección final del tema se centra en la aplicación de matrices y determinantes a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Se introduce la notación matricial para sistemas de ecuaciones lineales, representando un sistema como una ecuación matricial AX = B, donde:

A es la matriz de coeficientes
X es el vector de incógnitas
B es el vector de términos independientes

Definición: Un sistema de ecuaciones lineales AX = B es compatible si tiene al menos una solución, e incompatible si no tiene solución. Es compatible determinado si tiene una única solución, y compatible indeterminado si tiene infinitas soluciones.

Se presenta el Teorema de Rouché-Fröbenius, que establece las condiciones para la existencia y unicidad de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales:

rango(A) = rango(A|B) = n ⇒ Sistema compatible determinado rango(A) = rango(A|B) < n ⇒ Sistema compatible indeterminado rango(A) ≠ rango(A|B) ⇒ Sistema incompatible

Donde n es el número de incógnitas y (A|B) es la matriz ampliada del sistema.

Highlight: El Teorema de Rouché-Fröbenius es fundamental para la discusión de sistemas de ecuaciones lineales, permitiendo determinar si un sistema tiene solución y de qué tipo antes de resolverlo.

Se explican métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales usando matrices:

Método de Cramer (para sistemas compatibles determinados)
Método de Gauss-Jordan
Método de la matriz inversa

Se proporcionan ejemplos detallados de resolución de sistemas usando estos métodos, así como ejercicios de discusión de sistemas en función de parámetros.

Propiedades de los Determinantes

Esta sección enumera y explica las principales propiedades de los determinantes:

El determinante de la matriz identidad es 1.
Si se intercambian dos filas o columnas, el determinante cambia de signo.
Si una fila o columna es combinación lineal de otras, el determinante es cero.
Si se multiplica una fila o columna por un número k, el determinante queda multiplicado por k.
El determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos de su diagonal principal.
det(A^t) = det(A)
det(A · B) = det(A) · det(B)
det(k · A) = k^n · det(A), donde n es el orden de la matriz

Se proporcionan ejemplos para ilustrar cada propiedad.

Highlight: Estas propiedades son fundamentales para simplificar el cálculo de determinantes y resolver problemas más complejos.

Ejemplo: Si A = (2 1) y B = (3 -1), entonces: (1 3) (2 4) det(A · B) = det((2 1)(3 -1)) = det(4 6) = 4·10 - 6·5 = -10 ((1 3)(2 4)) (5 10) det(A) · det(B) = (2·3 - 1·1) · (3·4 - (-1)·2) = 5 · (-10) = -50

Se verifica que det(A · B) = det(A) · det(B)

Cálculo de la Inversa de una Matriz Usando Determinantes

Esta sección presenta un método alternativo para calcular la inversa de una matriz utilizando determinantes:

Para una matriz A de orden n, su inversa se puede calcular como:

A^(-1) = (1/det(A)) · adj(A)

donde adj(A) es la matriz adjunta de A, que se obtiene transponiendo la matriz de cofactores de A.

Se proporciona un ejemplo detallado del proceso:

Ejemplo: Para la matriz A = (2 -1), calculamos: (1 3)

det(A) = 2·3 - (-1)·1 = 7
Matriz de cofactores: C = (3 1) (-1 2)
Matriz adjunta (transpuesta de C): adj(A) = (3 -1) (1 2)
A^(-1) = (1/7) · (3 -1) = (3/7 -1/7) (1 2) (1/7 2/7)

Se verifica que A · A^(-1) = I.

Highlight: Este método es especialmente útil para matrices de orden 3 o superior, donde el método de Gauss puede ser más laborioso.

Cálculo del Rango de una Matriz Usando Determinantes

Esta sección explica cómo utilizar determinantes para calcular el rango de una matriz:

El rango de una matriz A es el orden del mayor determinante no nulo que se puede formar con sus elementos.

Pasos para calcular el rango:

Calcular los determinantes de todas las submatrices cuadradas, comenzando por las de mayor orden.
Si todos los determinantes de orden k son nulos, pero existe al menos un determinante de orden k-1 no nulo, entonces el rango de la matriz es k-1.

Se proporciona un ejemplo detallado:

Ejemplo: Para la matriz A = (1 2 3) (2 4 6) (3 6 9)

Determinante de orden 3: det(A) = 1·4·9 + 2·6·3 + 3·2·6 - 3·4·3 - 2·2·9 - 1·6·6 = 0
Determinantes de orden 2: |1 2| = 1·4 - 2·2 = 0 |2 4|

|1 3| = 1·6 - 3·2 = 0 |2 6|

|2 3| = 2·6 - 3·4 = 0 |4 6|
Determinantes de orden 1: |1| ≠ 0

Por lo tanto, el rango de A es 1.

Highlight: Este método es especialmente útil para matrices de gran tamaño, donde el cálculo del rango por otros métodos puede ser más complicado.

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valoración media de la app

13 M

A los alumnos les encanta Knowunity

#1

en las listas de aplicaciones educativas de 12 países

950 K+

alumnos han subido contenidos escolares

¿Aún no estás convencido? Mira lo que dicen tus compañeros...

Usuario de iOS

Me encanta esta app [...] ¡¡¡Recomiendo Knowunity a todo el mundo!!! Pasé de un 2 a un 9 con él :D

Javi, usuario de iOS

La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones.

Mari, usuario de iOS