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Matemáticas
8 dic 2025
2998
10 páginas
Marta Cantero Gómez @marta.cg
Las matrices son estructuras matemáticas fundamentales que organizan números en filas y columnas, muy útiles para resolver sistemas... Mostrar más
¿Sabes que las matrices están por todas partes, desde los efectos especiales de tus películas favoritas hasta los algoritmos de redes sociales? Una matriz es simplemente una tabla ordenada de números con dimensión n×m (n filas y m columnas).
Los tipos más importantes que debes conocer son matriz fila (solo una fila), matriz columna (solo una columna), y matriz cuadrada (mismo número de filas y columnas). También están la matriz nula (todos ceros), matriz triangular (ceros por encima o debajo de la diagonal), y la matriz identidad (unos en la diagonal, ceros en el resto).
La matriz identidad es especial porque actúa como el "1" en la multiplicación de matrices. Para una matriz 2×2 sería I₂ = (1 0; 0 1), y para 3×3 añadimos otra fila y columna con la misma estructura.
Tip clave La matriz identidad será tu mejor amiga cuando trabajemos con matrices inversas más adelante.
La matriz traspuesta se obtiene cambiando filas por columnas - es como rotar la matriz 90 grados. Si A tiene dimensión 3×2, entonces Aᵗ tendrá dimensión 2×3. Una matriz simétrica es aquella que es igual a su traspuesta.
Para sumar o restar matrices necesitas que tengan exactamente las mismas dimensiones. Simplemente sumas o restas cada elemento en la misma posición. Es súper directo.
La multiplicación por un escalar (un número) es aún más fácil multiplicas ese número por todos los elementos de la matriz. La multiplicación de matrices es más compleja - necesitas que el número de columnas de la primera matriz sea igual al número de filas de la segunda.
Recuerda En la multiplicación A×B, las columnas de A deben coincidir con las filas de B. El resultado tendrá las filas de A y las columnas de B.
Las potencias de matrices solo funcionan con matrices cuadradas, porque necesitas multiplicar la matriz por sí misma. A² = A×A, A³ = A²×A, y así sucesivamente. Cada multiplicación sigue las mismas reglas que vimos antes.
El determinante es un número especial que solo existe para matrices cuadradas y se simboliza |A|. Para una matriz 1×1 es simplemente ese número. Para 2×2 usas la fórmula |A| = ad - bc.
Para matrices 3×3 utilizamos la regla de Sarrus copias las dos primeras columnas al final, multiplicas en diagonal (positivas de izquierda a derecha, negativas de derecha a izquierda) y sumas algebraicamente. Es como hacer un patrón en zigzag.
Dato importante Si el determinante es cero, la matriz no tiene inversa. ¡Guarda este dato para más adelante!
Cuando las matrices son más grandes que 3×3, usar Sarrus se complica. Aquí entra el método de adjuntos, que es como un truco para simplificar el trabajo.
El proceso es estratégico eliges la fila o columna que tenga más ceros . Luego, para cada elemento no nulo, calculas su adjunto (-1)^ multiplicado por el determinante de la submatriz que queda al eliminar esa fila y columna.
El menor complementario es el determinante de esa submatriz más pequeña. El adjunto incluye el signo que depende de la posición. Si i+j es par, el signo es positivo; si es impar, es negativo.
Estrategia ganadora Siempre busca la fila o columna con más ceros. Te ahorrará mucho tiempo y reducirá las posibilidades de error.
Los determinantes tienen reglas muy específicas que te facilitarán los cálculos. La matriz traspuesta tiene el mismo determinante que la original - muy útil cuando una orientación es más fácil de calcular que otra.
Si intercambias dos filas o columnas, el determinante cambia de signo. Si una fila o columna es toda de ceros, el determinante es cero. Lo mismo pasa si tienes filas o columnas iguales o proporcionales.
Cuando multiplicas por un número, ese número solo afecta a una fila o columna, no a toda la matriz. También puedes sacar factores comunes de filas o columnas para simplificar cálculos.
Truco útil Antes de calcular un determinante, revisa si puedes sacar factores comunes o si hay filas/columnas proporcionales. Te puede ahorrar mucho trabajo.
El determinante del producto de matrices es igual al producto de sus determinantes |A×B| = |A|×|B|. Esto es súper útil para verificar cálculos o simplificar problemas complejos.
Para potencias de matrices, |A^n| = |A|^n. Si el determinante de A es 3, entonces el determinante de A² será 9, el de A³ será 27, y así sucesivamente.
Una propiedad genial es que si una fila tiene una suma, puedes descomponer el determinante en la suma de dos determinantes separados. Esto a veces simplifica cálculos enormemente.
Conexión clave Estas propiedades no son solo reglas abstractas - te ayudan a resolver problemas reales de forma más eficiente.
El rango de una matriz, simbolizado rg(A), es el orden de la mayor submatriz cuyo determinante es diferente de cero. Es como encontrar la "potencia real" de tu matriz.
Para calcularlo, empiezas con la matriz completa. Si su determinante es diferente de cero, el rango es igual a su orden. Si da cero, bajas a submatrices más pequeñas hasta encontrar una con determinante no nulo.
Cuando el rango depende de un parámetro (como 'a'), resuelves la ecuación igualando el determinante a cero. Los valores que lo anulan te dan casos especiales con rango menor.
Aplicación práctica El rango te dice cuántas ecuaciones independientes tienes en un sistema - información crucial para saber si tiene solución única, infinitas soluciones o ninguna.
La matriz inversa A⁻¹ solo existe si el determinante de A es diferente de cero. Es como el "reciproco" en multiplicación A×A⁻¹ = I (matriz identidad).
Por definición, planteas A×A⁻¹ = I y resuelves el sistema de ecuaciones resultante. Es efectivo pero laborioso para matrices grandes.
El método de Gauss-Jordan es más práctico escribes la matriz A junto a la identidad I, y usando operaciones elementales conviertes A en I. Las mismas operaciones aplicadas a I te dan A⁻¹. Es como hacer dos transformaciones simultáneas.
Verificación Siempre multiplica A×A⁻¹ para comprobar que obtienes la matriz identidad. Si no, revisa tus cálculos.
La fórmula directa para la matriz inversa es A⁻¹ = × (Adj(A))ᵗ. Parece complicada, pero es sistemática y funciona siempre.
Primero calculas el determinante de A. Luego encuentras todos los adjuntos de cada elemento usando (-1)^ por el menor complementario correspondiente. Estos adjuntos forman la matriz Adj(A).
El paso final es hacer la traspuesta de Adj(A) y multiplicarla por 1/|A|. El resultado es tu matriz inversa. Este método es especialmente útil para matrices 3×3 donde Gauss-Jordan puede ser más tedioso.
Consejo Para matrices 2×2, este método es rápido y directo. Para matrices más grandes, considera usar Gauss-Jordan.
Las ecuaciones matriciales requieren cuidado especial porque la multiplicación de matrices no es conmutativa (A×B ≠ B×A). La posición de las matrices importa muchísimo al despejar.
Para resolver AX = B, multiplicas ambos lados por A⁻¹ por la izquierda A⁻¹×A×X = A⁻¹×B, que se simplifica a X = A⁻¹×B. Si fuera X×A = B, multiplicarías por A⁻¹ por la derecha.
En ecuaciones más complejas como XA + BA = A², primero despejás algebraicamente XA = A² - BA = A. Luego multiplicas por A⁻¹ por la derecha X = A×A⁻¹.
Regla de oro La inversa siempre va del mismo lado donde está la matriz que quieres "cancelar". Izquierda con izquierda, derecha con derecha.
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Apuntes con la teoria de qué matrices se pueden despejar y fórmulas que se usan para despejar las ecuaciones de matrices.+ Hoja de ejercicios con los ejercicios resueltos.
MatemáticasApuntes con teoría y cuales son las ecuaciones que no se pueden despejar y cómo resolverlas + hoja de ejercicios con estos resueltos.
MatemáticasGeometría matemáticas 2º de Bachillerato selectividad EBAU EVAU matematicas
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MatemáticasResumen
MatemáticasApp Store
Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
Sophia
usuario de Android
Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
usuaria de Android
La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
Izan
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.
Julyana
usuaria de Android
Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.
Javier
usuario de Android
Sinceramente me ha salvado los estudios. Recomiendo la aplicación 100%.
Erick
usuario de Android
Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
Mar
usuaria de iOS
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Marta Cantero Gómez
@marta.cg
Las matrices son estructuras matemáticas fundamentales que organizan números en filas y columnas, muy útiles para resolver sistemas de ecuaciones y realizar cálculos complejos. Dominar los tipos de matrices, sus operaciones y propiedades te dará las herramientas necesarias para resolver... Mostrar más
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¿Sabes que las matrices están por todas partes, desde los efectos especiales de tus películas favoritas hasta los algoritmos de redes sociales? Una matriz es simplemente una tabla ordenada de números con dimensión n×m (n filas y m columnas).
Los tipos más importantes que debes conocer son: matriz fila (solo una fila), matriz columna (solo una columna), y matriz cuadrada (mismo número de filas y columnas). También están la matriz nula (todos ceros), matriz triangular (ceros por encima o debajo de la diagonal), y la matriz identidad (unos en la diagonal, ceros en el resto).
La matriz identidad es especial porque actúa como el "1" en la multiplicación de matrices. Para una matriz 2×2 sería I₂ = (1 0; 0 1), y para 3×3 añadimos otra fila y columna con la misma estructura.
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La multiplicación por un escalar (un número) es aún más fácil: multiplicas ese número por todos los elementos de la matriz. La multiplicación de matrices es más compleja - necesitas que el número de columnas de la primera matriz sea igual al número de filas de la segunda.
Recuerda: En la multiplicación A×B, las columnas de A deben coincidir con las filas de B. El resultado tendrá las filas de A y las columnas de B.
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El determinante es un número especial que solo existe para matrices cuadradas y se simboliza |A|. Para una matriz 1×1 es simplemente ese número. Para 2×2 usas la fórmula: |A| = ad - bc.
Para matrices 3×3 utilizamos la regla de Sarrus: copias las dos primeras columnas al final, multiplicas en diagonal (positivas de izquierda a derecha, negativas de derecha a izquierda) y sumas algebraicamente. Es como hacer un patrón en zigzag.
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Cuando las matrices son más grandes que 3×3, usar Sarrus se complica. Aquí entra el método de adjuntos, que es como un truco para simplificar el trabajo.
El proceso es estratégico: eliges la fila o columna que tenga más ceros . Luego, para cada elemento no nulo, calculas su adjunto: (-1)^ multiplicado por el determinante de la submatriz que queda al eliminar esa fila y columna.
El menor complementario es el determinante de esa submatriz más pequeña. El adjunto incluye el signo que depende de la posición. Si i+j es par, el signo es positivo; si es impar, es negativo.
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Cuando multiplicas por un número, ese número solo afecta a una fila o columna, no a toda la matriz. También puedes sacar factores comunes de filas o columnas para simplificar cálculos.
Truco útil: Antes de calcular un determinante, revisa si puedes sacar factores comunes o si hay filas/columnas proporcionales. Te puede ahorrar mucho trabajo.
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Una propiedad genial es que si una fila tiene una suma, puedes descomponer el determinante en la suma de dos determinantes separados. Esto a veces simplifica cálculos enormemente.
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Para calcularlo, empiezas con la matriz completa. Si su determinante es diferente de cero, el rango es igual a su orden. Si da cero, bajas a submatrices más pequeñas hasta encontrar una con determinante no nulo.
Cuando el rango depende de un parámetro (como 'a'), resuelves la ecuación igualando el determinante a cero. Los valores que lo anulan te dan casos especiales con rango menor.
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Por definición, planteas A×A⁻¹ = I y resuelves el sistema de ecuaciones resultante. Es efectivo pero laborioso para matrices grandes.
El método de Gauss-Jordan es más práctico: escribes la matriz A junto a la identidad I, y usando operaciones elementales conviertes A en I. Las mismas operaciones aplicadas a I te dan A⁻¹. Es como hacer dos transformaciones simultáneas.
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La fórmula directa para la matriz inversa es: A⁻¹ = × (Adj(A))ᵗ. Parece complicada, pero es sistemática y funciona siempre.
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El paso final es hacer la traspuesta de Adj(A) y multiplicarla por 1/|A|. El resultado es tu matriz inversa. Este método es especialmente útil para matrices 3×3 donde Gauss-Jordan puede ser más tedioso.
Consejo: Para matrices 2×2, este método es rápido y directo. Para matrices más grandes, considera usar Gauss-Jordan.
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Las ecuaciones matriciales requieren cuidado especial porque la multiplicación de matrices no es conmutativa (A×B ≠ B×A). La posición de las matrices importa muchísimo al despejar.
Para resolver AX = B, multiplicas ambos lados por A⁻¹ por la izquierda: A⁻¹×A×X = A⁻¹×B, que se simplifica a X = A⁻¹×B. Si fuera X×A = B, multiplicarías por A⁻¹ por la derecha.
En ecuaciones más complejas como XA + BA = A², primero despejás algebraicamente: XA = A² - BA = A. Luego multiplicas por A⁻¹ por la derecha: X = A×A⁻¹.
Regla de oro: La inversa siempre va del mismo lado donde está la matriz que quieres "cancelar". Izquierda con izquierda, derecha con derecha.
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Apuntes con la teoria de qué matrices se pueden despejar y fórmulas que se usan para despejar las ecuaciones de matrices.+ Hoja de ejercicios con los ejercicios resueltos.
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Pablo
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Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
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Sophia
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Marta
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La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
Izan
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