Relación entre planos y rectas en el espacio - Geometría

Vectores y Operaciones Básicas

Los vectores son como flechas en el espacio que tienen módulo (tamaño), dirección y sentido. Se escriben así: $\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)$ donde cada número representa una coordenada.

Las operaciones con vectores son súper directas. Para sumar o restar, simplemente operas coordenada por coordenada: $\vec{u} + \vec{v} = (u_1 + v_1, u_2 + v_2, u_3 + v_3)$. Para multiplicar por un número (escalar), multiplicas cada coordenada por ese número.

Los vectores pueden formar combinaciones lineales cuando uno se puede escribir como suma de otros multiplicados por números. Por ejemplo, si $\vec{u} = 2\vec{v}$, entonces son linealmente dependientes (van en la misma dirección).

💡 Truco clave: Si dos vectores son múltiplos entre sí, son paralelos y linealmente dependientes.

Productos de Vectores

El producto escalar $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3$ te da un número, no otro vector. Su fórmula mágica es: $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos \theta$. Cuando el resultado es cero, los vectores son perpendiculares.

Con el producto escalar puedes calcular ángulos entre vectores usando $\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}$. Es súper útil para saber si dos rectas son perpendiculares.

El producto vectorial $\vec{u} \times \vec{v}$ es más complejo pero muy potente. Se calcula con determinantes y te da otro vector perpendicular a los dos originales. Su módulo es el área del paralelogramo que forman.

El producto mixto $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})$ te calcula el volumen del paralelepípedo que forman tres vectores.

🎯 Para exámenes: Recuerda que producto escalar = 0 significa perpendiculares, y producto vectorial te da áreas y vectores perpendiculares.

Rectas, Planos y Posiciones Relativas

Las ecuaciones de recta tienen varias formas. La vectorial es $(x,y,z) = (x_0,y_0,z_0) + t(u_1,u_2,u_3)$, donde necesitas un punto y un vector director. La continua es $\frac{x-x_0}{u_1} = \frac{y-y_0}{u_2} = \frac{z-z_0}{u_3}$.

Para planos, la ecuación general es $Ax + By + Cz + D = 0$, donde $(A,B,C)$ es el vector normal (perpendicular al plano). También puedes usar la forma vectorial con un punto y dos vectores directores.

Las posiciones relativas se resuelven con rangos de matrices. Para dos rectas: si son coincidentes (rango 2-2), paralelas $2-3$, secantes $3-3$ o se cruzan $3-4$. Para recta y plano: secantes $3-3$, paralelas $2-3$ o contenidas $2-2$.

⚡ Estrategia ganadora: Domina los rangos de matrices y tendrás resueltas todas las posiciones relativas sin quebraderos de cabeza.