Indeterminaciones del tipo ∞/∞

¿Te has encontrado con fracciones que dan ∞/∞ cuando sustituyes? No te preocupes, esto se resuelve fácilmente dividiendo numerador y denominador por el término de mayor grado.

Para funciones polinómicas, simplemente divides todo entre la x con el exponente más alto. Por ejemplo: si tienes x² arriba y x abajo, divides todo entre x².

Cuando aparecen raíces cuadradas en la indeterminación, el truco es dividir por la x de mayor grado que esté fuera de la raíz. Al dividir términos dentro de una raíz, multiplicas el exponente de x por el índice de la raíz.

Truco clave: En indeterminaciones ∞/∞, siempre busca el término dominante (el de mayor grado) y úsalo para simplificar.

Indeterminaciones del tipo ∞ - ∞

Estas indeterminaciones aparecen frecuentemente con raíces cuadradas. La solución es multiplicar y dividir por el conjugado de la expresión.

Al multiplicar por el conjugado, transformas la resta en una diferencia de cuadrados. Esto convierte la indeterminación ∞ - ∞ en ∞/∞, que ya sabes resolver con la técnica anterior.

El conjugado de $√a - √b$ es $√a + √b$, y al multiplicarlos obtienes a - b en el numerador.

Límites laterales y asíntotas

Cuando tienes una indeterminación k/0 (un número dividido entre cero), necesitas calcular límites por la derecha y por la izquierda. Si los signos no coinciden, el límite no existe.

Las asíntotas horizontales se encuentran calculando el límite cuando x tiende a infinito. Si el resultado es un número, esa es tu asíntota horizontal.

Para las asíntotas oblicuas $y = mx + n$, primero calculas m = lim$f(x)/x$ cuando x→∞. Después calculas n = lim$f(x) - mx$ cuando x→∞.

Importante: Si existe asíntota horizontal, no puede haber asíntota oblicua.

Dominio de funciones

El dominio te dice qué valores puede tomar x en tu función. Las funciones polinómicas tienen dominio en todos los reales (ℝ).

Las funciones fraccionarias están definidas en todos los reales excepto donde el denominador se hace cero. Para encontrar estos puntos, iguala el denominador a cero y resuelve.

Dominio de funciones especiales

Para funciones radicales con índice par, necesitas que lo que está dentro de la raíz sea mayor o igual a cero. Plantea la desigualdad y resuélvela.

Si tienes una función de segundo grado dentro de la raíz, factorízala como $x-a$$x-b$ y haz una tabla de signos. Solo existen valores de x donde el resultado sea positivo.

Las funciones logarítmicas requieren que el argumento sea estrictamente mayor que cero (>0). El proceso es similar al de las radicales, pero sin incluir el cero.

Recuerda: Las raíces de índice impar no tienen restricciones de dominio.

Continuidad de funciones

Para estudiar la continuidad en un punto x = k, debes verificar tres condiciones: que exista f(k), que existan los límites laterales, y que todos estos valores coincidan.

Si tienes una función definida por intervalos, calcula el límite por la derecha usando una función y por la izquierda usando la otra. También evalúa f(k) con la función correspondiente.

La función será continua en x = k solo si f(k) = lim por la derecha = lim por la izquierda.

Representación gráfica

Para representar funciones definidas por intervalos, primero marca las asíntotas en el eje. Luego representa cada trozo de función en su intervalo correspondiente.

Las funciones lineales se representan dando valores a x y creando una tabla. Las funciones cuadráticas requieren calcular el vértice usando Vx = -b/2a y Vy sustituyendo este valor.

Para parábolas, determina si abren hacia arriba (+) o hacia abajo (-) según el signo del coeficiente de x². Calcula los puntos de corte con los ejes para completar la gráfica.

Notation importante: Los círculos abiertos (○) indican que el punto no pertenece a la función, los cerrados (●) indican que sí pertenece.

Recuerda evaluar los extremos del intervalo para saber exactamente hasta dónde llega cada trozo de la función.