Dominio, Funciones y Límites: Conceptos Básicos y Ejercicios Resueltos

Introducción a las Matemáticas CCSS

En 1º de Bachillerato de Ciencias Sociales, las matemáticas se orientan hacia aplicaciones prácticas en economía, estadística y ciencias sociales. Este curso establece las bases para analizar y modelar situaciones del mundo real.

Trabajarás con conceptos como límites, continuidad y estudio de funciones, herramientas que te permitirán analizar tendencias y comportamientos. Estos conocimientos son fundamentales para entender posteriormente la derivación e integración.

💡 Consejo: No memorices fórmulas sin entenderlas. En matemáticas de CCSS es más importante comprender los conceptos y saber aplicarlos a problemas prácticos.

Operaciones con límites infinitos

Cuando trabajamos con límites, es importante conocer los resultados de operaciones que involucran infinito. Estas operaciones aparecen frecuentemente en el análisis de funciones.

Si sumamos infinito a infinito o a una constante, el resultado mantiene el signo del infinito: $\lim_{x\rightarrow+\infty}(x^{2}+x)=+\infty$ o $\lim_{x\rightarrow-\infty}(x+5)=-\infty$. Lo mismo ocurre al multiplicar infinito por una constante positiva.

La división presenta casos especiales. Si dividimos una constante entre cero, obtenemos infinito con el signo dependiendo del lado desde el que nos aproximamos: $\lim_{x\rightarrow0^{-}}\frac{1}{x}=-\infty$ mientras que $\lim_{x\rightarrow0^{+}}\frac{1}{x}=+\infty$. Por otro lado, una constante dividida entre infinito siempre da cero.

🔑 Recuerda: El signo del resultado depende de los signos de los términos que operamos. Por ejemplo, $\infty \cdot \infty = \infty$ pero el signo final dependerá de los signos de los infinitos.

Indeterminaciones del tipo 0/0

Las indeterminaciones ocurren cuando no podemos determinar directamente el valor de un límite. La forma $\frac{0}{0}$ es una indeterminación común que requiere técnicas específicas para resolverla.

Para resolver indeterminaciones $\frac{0}{0}$, la técnica principal es la factorización. Debemos identificar factores comunes y simplificarlos antes de sustituir el valor. Por ejemplo, en $\lim_{x→0} \frac{x^2 + x}{3x}$, factorizamos $x$ en el numerador obteniendo $\frac{x(x+1)}{3x}$, lo que simplifica a $\frac{x+1}{3}$, dando $\frac{1}{3}$.

Otro ejemplo ilustrativo es $\lim_{x→5} \frac{x^2 - 7x + 10}{x^2 - 25}$. Factorizando completamente: $\frac{(x-2)(x-5)}{(x+5)(x-5)}$. El factor $(x-5)$ se simplifica, quedando $\frac{x-2}{x+5}$, que evaluada en $x=5$ da $\frac{3}{10}$.

💡 Truco útil: Cuando tengas una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$ con polinomios, intenta factorizar tanto el numerador como el denominador. Casi siempre encontrarás un factor común que puedes simplificar.

Indeterminaciones del tipo ∞-∞

La indeterminación $\infty - \infty$ aparece cuando restamos dos expresiones que tienden a infinito. Este caso requiere manipulación algebraica para transformar la expresión en una forma evaluable.

Una estrategia efectiva es encontrar un denominador común cuando trabajamos con fracciones. Por ejemplo, en $\lim_{x \rightarrow 3} \left(\frac{x^2 - 6}{x^2 - 3x} - \frac{1}{x-3}\right)$, operamos para obtener $\frac{x^2 - x - 6}{x(x-3)}$. Factorizando el numerador llegamos a $\frac{(x-3)(x+2)}{x(x-3)}$, que se simplifica a $\frac{x+2}{x}$, dando $\frac{5}{3}$.

Es importante prestar atención a los límites laterales en algunos casos. En $\lim_{x \rightarrow 1^{-}} \left(\frac{3}{x^2 - 1} + \frac{2x}{x+1}\right)$, la manipulación algebraica nos lleva a $\frac{3 + 2x^2 - 2x}{x^2 - 1}$. Como $x \to 1^-$, el denominador se aproxima a 0 por la izquierda, resultando en $+\infty$.

⚠️ Atención: En límites laterales, el signo del resultado depende crucialmente de si nos aproximamos por la izquierda o por la derecha, especialmente cuando el denominador se anula en el punto de evaluación.

Asíntotas y continuidad

Las asíntotas verticales ocurren en los valores que anulan el denominador de una función. Para estudiarlas, debemos calcular los límites laterales en esos puntos, que siempre darán infinito (positivo o negativo).

Las asíntotas horizontales aparecen cuando evaluamos $\lim_{x\to\pm\infty} f(x)$. Si este límite existe y es finito, la función tiene una asíntota horizontal. Es importante recordar que si no existe asíntota horizontal, podría haber una asíntota oblicua, pero nunca ambas.

Para estudiar la continuidad de una función, debemos examinar los límites laterales en los puntos problemáticos. Si estos límites existen, son iguales entre sí e iguales al valor de la función, entonces la función es continua en ese punto. Cuando algún límite es infinito, hablamos de discontinuidades de salto infinito.

💡 Consejo práctico: Para identificar rápidamente posibles asíntotas verticales, busca valores que anulen el denominador. Para asíntotas horizontales, calcula siempre los límites cuando $x$ tiende a $\pm\infty$.