Inecuaciones: Tu nueva herramienta matemática

Las inecuaciones de primer grado se resuelven exactamente igual que las ecuaciones normales, pero con una regla de oro: cuando multiplicas o divides por un número negativo, el signo de la desigualdad se da la vuelta. Es súper importante acordarte de esto.

Por ejemplo, si tienes 2 - 3x ≤ -4, al pasar el -3 dividiendo (que es negativo), el ≤ se convierte en ≥. El resultado no es un número exacto como en las ecuaciones, sino un intervalo de soluciones.

Para las inecuaciones de segundo grado y con fracciones, lo que tienes que hacer es estudiar el signo. Igualas a cero, encuentras las raíces y miras dónde la función es positiva o negativa.

Tip clave: En las inecuaciones con fracciones, nunca olvides que el denominador no puede ser cero. Esos puntos quedan excluidos de la solución.

Los sistemas de inecuaciones son pan comido: resuelves cada inecuación por separado y luego buscas la zona donde se cumplen todas a la vez. Es como encontrar la intersección de varios intervalos.

Inecuaciones gráficas: Dibuja tu éxito

Cuando tienes que resolver sistemas de inecuaciones gráficamente, lo que haces es representar cada recta y sombrear las zonas que cumplen las condiciones. Es como colorear por zonas, pero con matemáticas.

El truco está en sustituir un punto (normalmente el (0,0)) en la desigualdad para ver de qué lado de la recta tienes que sombrear. Si la desigualdad se cumple, ese lado es tu zona ganadora.

La región factible es donde se solapan todas las zonas sombreadas. Ahí está tu solución final.

Consejo: Siempre dibuja las rectas con línea continua si la desigualdad incluye la igualdad (≤ o ≥) y con línea discontinua si no la incluye (< o >).

Dominios de funciones: Dónde vive cada función

El dominio de una función son todos los valores de x para los que la función tiene sentido. Es como saber en qué terreno puede caminar cada función sin caerse por un precipicio.

Las funciones polinómicas son las más cómodas: su dominio es todos los números reales (ℝ). No tienen restricciones, van a su bola.

Las funciones con denominador son más delicadas: no pueden tener el denominador igual a cero. Si tienes f$x$ = 1/$x-2$, entonces x no puede ser 2, así que D = ℝ - {2}.

Regla de oro: Con raíces de índice par, lo que está dentro debe ser ≥ 0. Con logaritmos, lo que está dentro debe ser > 0.

Las funciones exponenciales son súper relajadas: su dominio siempre es ℝ, a menos que tengan algo raro en el exponente.

Funciones elementales: Las básicas que necesitas dominar

La función lineal $y = mx + n$ es la más sencilla. La m es la pendiente (cuánto sube o baja) y la n es donde corta al eje Y. Para encontrar los puntos de corte, haces y = 0 para el eje X, y x = 0 para el eje Y.

Las parábolas (y = ax² + bx + c) tienen forma de U (si a > 0) o de U invertida (si a < 0). Su vértice está en x = -b/2a, y desde ahí puedes calcular todo lo demás.

La función de proporcionalidad inversa $y = k/x$ tiene esa forma de hipérbola que nunca toca los ejes. Su dominio e imagen son ℝ - {0}.

Dato importante: Las funciones raíz y logaritmo tienen dominios limitados, pero son crecientes en todo su dominio.

Las funciones raíz $y = √x$ empiezan en el origen y crecen despacio, mientras que los logaritmos $y = log x$ cortan al eje X en (1,0) y crecen muy lentamente.