Resumen del Tercer Bloque de Matemáticas II: Teoremas Fundamentales

Fórmulas básicas y límites

Las fórmulas geométricas son tu punto de partida: área del triángulo = b·h/2, volumen del paralelepípedo = a·b·c, y para cilindros recuerda que el área total incluye las dos bases (2πr²) más la superficie lateral (2πrh).

Para los límites con logaritmos, memoriza que ln(∞) = ∞, ln(1) = 0, y ln(0) = -∞. Estas propiedades te salvarán en muchas indeterminaciones.

Cuando te encuentres con indeterminaciones del tipo ∞/∞, fíjate en los grados: si el numerador tiene menor grado que el denominador, el límite es 0. Si tienen igual grado, divides los coeficientes principales. Y si el numerador tiene mayor grado, el límite es ±∞.

¡Ojo! Los límites laterales pueden ser diferentes aunque el límite no exista. Siempre comprueba ambos lados cuando hay discontinuidades.

Técnicas para resolver indeterminaciones

La factorización es tu mejor amiga cuando aparece 0/0. Muchas veces puedes simplificar factores comunes y eliminar la indeterminación de un plumazo.

Para indeterminaciones con raíces, multiplica y divide por el conjugado. Por ejemplo: $x+1$ - √$x²+2$ se resuelve multiplicando por $x+1$ + √$x²+2$ tanto arriba como abajo.

El teorema de L'Hôpital es genial para indeterminaciones 0/0 o ∞/∞: deriva el numerador y el denominador por separado hasta que desaparezca la indeterminación.

Una función es continua en un punto cuando: existe f$a$, existe el límite en ese punto, y ambos son iguales. Si no se cumple alguna condición, tienes una discontinuidad evitable o inevitable.

Truco pro: Recuerda que M/∞ = 0 siempre que M sea un número finito.

Derivadas y aplicaciones

Para que una función sea derivable primero debe ser continua, y además las derivadas laterales deben existir y ser iguales. Si las derivadas laterales son distintas o infinitas, la función no es derivable en ese punto.

La derivación logarítmica te permite derivar funciones complicadas: si tienes f$x$ = g$x$^h$x$, aplica logaritmos y deriva: f'$x$/f$x$ = g'$x$h$x$/g$x$ + g$x$h'$x$ln(g$x$).

Para encontrar la recta tangente: calcula el punto de tangencia (x₀, f(x₀)), encuentra la pendiente m = f'(x₀), y usa y - y₀ = m$x - x₀$. La recta normal tiene pendiente -1/m.

En optimización, deriva la función, iguala a cero para encontrar puntos críticos, y usa la segunda derivada para clasificarlos: f''$x$ > 0 indica mínimo, f''$x$ < 0 indica máximo.

Consejo clave: Siempre ten cuidado con las asíntotas verticales al estudiar el signo de la derivada.

Estudio completo de funciones

Para funciones con valor absoluto: define los intervalos donde la expresión es positiva o negativa, estudia la derivabilidad en los puntos de cambio con derivadas laterales, y resuelve dentro de cada intervalo.

Las asíntotas verticales aparecen donde el denominador se anula. Calcula límites laterales para ver si van a +∞ o -∞. Las asíntotas horizontales surgen cuando el límite en el infinito existe y es finito.

Para asíntotas oblicuas (cuando grado numerador = grado denominador + 1), divide polinomios para obtener y = mx + n. Luego comprueba la posición de la curva respecto a la asíntota sustituyendo valores grandes.

Los puntos de corte con los ejes se encuentran haciendo y = 0 (eje X) o x = 0 (eje Y), siempre que estos valores estén en el dominio.

Dato importante: Una función no puede tener asíntotas horizontales y oblicuas a la vez en el mismo infinito.

Dominios de funciones

Calcular el dominio es fundamental antes de estudiar cualquier función. Cada tipo tiene sus reglas específicas que debes aplicar sistemáticamente.

Funciones polinómicas: siempre tienen dominio ℝ completo, sin restricciones. Funciones racionales: dominio ℝ menos los valores que anulan el denominador.

Funciones radicales: si el índice es impar, dominio ℝ; si es par, necesitas que el radicando sea mayor o igual que cero. Funciones exponenciales: dominio ℝ sin restricciones.

Funciones logarítmicas: el argumento debe ser estrictamente positivo, así que resuelve P$x$ > 0 para encontrar el dominio.

Recuerda siempre: El dominio determina dónde puedes aplicar todas las demás técnicas de análisis de funciones.