TEMA 5: Conceptos Fundamentales de la Derivabilidad

Derivada de una función en un punto

Imagina que quieres saber qué tan rápido cambia algo en un momento exacto - eso es precisamente lo que hace la derivada. La derivada de una función f$x$ en un punto x=a se calcula con esta fórmula: f'$a$ = lim(h→0) $f(a+h)-f(a)$/h.

Esta expresión mide la tasa de variación instantánea, que es como la velocidad de cambio en ese punto específico. Es diferente de la tasa de variación media, que calcula el cambio promedio entre dos puntos.

💡 Dato curioso: La derivada en un punto es como encontrar la pendiente de la recta que "besa" la curva en ese punto exacto.

Recta tangente y recta normal

Una vez que tienes la derivada, puedes encontrar dos rectas muy importantes. La recta tangente toca la curva en un solo punto y su ecuación es: y - f$a$ = f'$a$·$x-a$.

La recta normal es perpendicular a la tangente y pasa por el mismo punto. Su ecuación es: y - f$a$ = $-1/f'(a)$·$x-a$. Recuerda que dos rectas perpendiculares tienen pendientes que son opuestas e inversas entre sí.

Estas rectas son súper útiles para aproximar el comportamiento de la función cerca de un punto y aparecen constantemente en los exámenes.

💡 Truco: Si la pendiente de la tangente es 2, la pendiente de la normal será -1/2.

Derivadas laterales

No siempre puedes derivar desde cualquier dirección. Las derivadas laterales te permiten analizar el comportamiento por separado desde cada lado de un punto.

La derivada por la derecha es f'(a⁺) = lim(h→0⁺) $f(a+h)-f(a)$/h, mientras que la derivada por la izquierda es f'(a⁻) = lim(h→0⁻) $f(a+h)-f(a)$/h.

La diferencia está en que h se acerca a cero solo desde valores positivos (derecha) o negativos (izquierda). Esto es especialmente importante en puntos donde la función cambia bruscamente de comportamiento.

💡 Recuerda: Una función solo es derivable en un punto si ambas derivadas laterales existen y son iguales.

Condiciones de derivabilidad y función derivada

Para que una función sea derivable en un punto, sus derivadas laterales deben existir y coincidir. Si es derivable en todos los puntos de un intervalo, decimos que es derivable en ese intervalo.

Aquí viene algo fundamental: si una función es derivable en un punto, entonces es continua en ese punto. Pero cuidado, lo contrario no siempre es cierto - una función puede ser continua pero no derivable.

La función derivada f'$x$ te da la derivada para cualquier valor de x. También puedes calcular derivadas sucesivas: la segunda derivada f''$x$, la tercera f'''$x$, y así sucesivamente.

💡 Importante: La continuidad es necesaria pero no suficiente para la derivabilidad.

Derivadas de operaciones: suma, resta y producto

Derivar operaciones básicas es más fácil de lo que parece. Para suma y resta: [f$x$ ± g$x$]' = f'$x$ ± g'$x$. Simplemente derivas cada término por separado.

Para el producto usas la regla del producto: [f$x$·g$x$]' = f'$x$·g$x$ + f$x$·g'$x$. Derivas el primero y lo multiplicas por el segundo sin derivar, luego sumas el primero sin derivar por el segundo derivado.

Por ejemplo, si tienes f$x$ = $x⁴ + 8$·√$2x-1$, aplicarías la regla del producto step by step. Primero identificas cada función, luego aplicas la fórmula sistemáticamente.

💡 Tip de examen: En productos complejos, identifica claramente cada función antes de aplicar la regla.

Derivada del cociente

La regla del cociente es: $f(x)/g(x)$' = $f'(x)·g(x) - f(x)·g'(x)$/[g$x$]². Es como una fracción donde el numerador tiene una resta y el denominador se eleva al cuadrado.

Un truco para recordarla es "derivo arriba por abajo, menos arriba por derivo abajo, todo sobre abajo al cuadrado". Por ejemplo, con f$x$ = $2x-1$/$3x+2$, el resultado sería 7/$3x+2$².

Para cocientes sencillos como ln$x$/x, la aplicación directa de la regla te da $1-ln(x)$/x². Practica estos ejemplos hasta que sea automático.

💡 Método infalible: Escribe la fórmula completa antes de sustituir - evitarás errores de signos.

Estudio completo de funciones: dominio y asíntotas

Para hacer un análisis completo de una función, sigue estos pasos ordenadamente. Primero encuentra el dominio, luego verifica si hay simetrías (par o impar), y calcula los puntos de corte con los ejes.

Las asíntotas verticales aparecen donde el denominador se hace cero y la función tiende a infinito. Las asíntotas horizontales se encuentran calculando el límite cuando x tiende a ±∞.

Si el límite es un número, tienes una asíntota horizontal y = número. Las asíntotas te ayudan a entender el comportamiento de la función en los extremos y cerca de sus discontinuidades.

💡 Regla clave: Si hay asíntota horizontal, no puede haber asíntota oblicua en la misma dirección.

Monotonía, extremos y curvatura

Para encontrar máximos y mínimos, iguala f'$x$ = 0 y encuentra los puntos críticos. Luego usa la segunda derivada: si f''$a$ > 0 es un mínimo, si f''$a$ < 0 es un máximo.

La función es creciente donde f'$x$ > 0 y decreciente donde f'$x$ < 0. Para la curvatura, si f''$x$ > 0 la función es convexa (∪), si f''$x$ < 0 es cóncava (∩).

Los puntos de inflexión ocurren donde f''$x$ = 0 y f'''$x$ ≠ 0, marcando cambios en la curvatura. Estos conceptos te permiten dibujar el gráfico completo de cualquier función.

💡 Estrategia de éxito: Organiza toda la información en una tabla de signos para visualizar mejor el comportamiento.