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Matemáticas
7 dic 2025
3190
130 páginas
Mayra Rivas García @mayraa.05
Estos exámenes de Matemáticas II de Bachillerato para la EVAU son tu oportunidad de demostrar todo lo que... Mostrar más
¿Te preocupa enfrentarte a funciones definidas a trozos? Tranquilo, son más manejables de lo que parecen. El primer ejercicio te pide calcular los parámetros a y b para que la función sea continua en todos los puntos, especialmente en x = -1 y x = 1.
Para los problemas de optimización como el del rectángulo inscrito, recuerda el truco plantea el área en función de una sola variable usando las restricciones del problema. Después deriva e iguala a cero para encontrar el máximo.
Los cálculos de áreas con funciones a trozos requieren dividir la integral según los intervalos donde cambia la definición de la función. No olvides que el área siempre es positiva, así que usa valor absoluto cuando sea necesario.
Consejo clave En las primitivas, siempre comprueba tu resultado derivando. Si no obtienes la función original, hay un error en el cálculo.
Los sistemas de ecuaciones lineales con parámetros pueden parecer complicados, pero siguen un patrón claro. Calcula el determinante de la matriz de coeficientes y analiza cuándo es cero para determinar la compatibilidad del sistema.
Para saber si una matriz tiene inversa, su determinante debe ser distinto de cero. Una vez que tengas este valor, resolver ecuaciones matriciales como AX = B se convierte en X = A⁻¹B.
Los problemas de vectores ortogonales son directos dos vectores son perpendiculares cuando su producto escalar es cero. Usa esta propiedad para calcular los parámetros desconocidos.
Truco útil En geometría analítica, siempre dibuja un esquema. Te ayudará a visualizar el problema y evitar errores de cálculo.
Los límites con logaritmos en el infinito requieren identificar el término dominante. Cuando tienes (ln x)³ + 2x en el denominador, recuerda que x crece mucho más rápido que cualquier potencia del logaritmo.
El truco para optimizar rectángulos inscritos es siempre el mismo expresa el área en función de una variable, deriva y busca los puntos críticos. No olvides comprobar que efectivamente es un máximo.
Las integrales con cambio de variable como la sugerida simplifican enormemente el cálculo. Calcula dx en función de dt y sustituye todos los términos, incluidos los límites de integración.
Importante Al calcular áreas entre curvas, determina primero cuál función está por encima en cada intervalo para evitar resultados negativos.
Para resolver ecuaciones matriciales como AXB = C, necesitas despejar X multiplicando por las inversas correspondientes X = A⁻¹CB⁻¹. Primero comprueba que las matrices tienen inversa.
Los determinantes tienen propiedades muy útiles si multiplicas una fila por un número, el determinante se multiplica por ese número. Si intercambias filas, el determinante cambia de signo.
En geometría del espacio, dos rectas se cortan cuando sus ecuaciones tienen una solución común. Iguala las coordenadas paramétricas y resuelve el sistema resultante.
Consejo práctico Para encontrar puntos simétricos respecto a un plano, usa la recta perpendicular al plano que pasa por el punto dado.
Las funciones continuas con extremos relativos te dan información valiosa en el extremo, la derivada es cero. Usa esta condición junto con la continuidad para determinar los parámetros desconocidos.
Los problemas de optimización económica combinan geometría y costes. Plantea la función de coste total y minimízala derivando. El resultado te dará las dimensiones óptimas.
Para integrar productos de exponenciales y trigonométricas como e^x sen(2x), necesitarás integración por partes repetida. Ten paciencia y mantén el orden en los cálculos.
Recuerda Cuando calcules primitivas que pasen por un punto específico, usa esa condición para determinar la constante de integración.
Las matrices inversas de orden 3x3 requieren más cálculo, pero el proceso es el mismo determinante no nulo y aplicación de la fórmula con adjuntos. Organiza bien tus operaciones para evitar errores.
Los problemas de aplicación con porcentajes como el del ciclo del sueño se resuelven planteando un sistema de ecuaciones. Define bien las variables y traduce cada condición del enunciado.
En geometría analítica, distingue entre rectas que se cortan, son paralelas o se cruzan. Para rectas en el espacio, dos rectas pueden no cortarse sin ser paralelas.
Tip fundamental Los planos perpendiculares tienen vectores normales perpendiculares, mientras que los paralelos tienen vectores normales proporcionales.
La continuidad en funciones con raíces cuadradas requiere especial cuidado en los extremos del dominio. Asegúrate de que las expresiones bajo la raíz sean positivas y las funciones coincidan en los puntos de cambio.
El estudio de funciones logarítmicas como ln es más sencillo de lo que parece. Esta función está definida para todo x real, y su derivada te dará los intervalos de crecimiento.
Las funciones definidas por integrales tienen una propiedad genial su derivada es el integrando evaluado en el límite superior. Esto simplifica enormemente el estudio de F(x) = ∫₀ˣ f(t)dt.
Clave del éxito Para integrar arctg(x), siempre usa integración por partes con u = arctg(x) y dv = x dx.
Los sistemas con parámetros requieren análisis del rango de la matriz ampliada versus la matriz de coeficientes. Usa el teorema de Rouché-Frobenius para determinar la compatibilidad según los valores del parámetro.
Para que A⁻¹ = ¼A, la matriz A debe satisfacer 4A⁻¹ = A, lo que equivale a 4I = A². Esta condición te permitirá encontrar los valores de a que cumplen la ecuación.
La distancia entre recta y plano depende de si son paralelos o se cortan. Si la recta es paralela al plano, calcula la distancia de cualquier punto de la recta al plano.
Estrategia winning Para encontrar puntos que equidistan de dos planos, iguala las expresiones de distancia punto-plano en valor absoluto.
Los límites indeterminados con sen(x) y ln se resuelven usando desarrollos de Taylor o L'Hôpital. Recuerda que sen(x) ≈ x y ln ≈ x para x próximo a cero.
Para encontrar extremos absolutos en intervalos cerrados como , evalúa la función en los puntos críticos del interior y en los extremos del intervalo. El mayor y menor valor serán los extremos absolutos.
El cálculo de áreas entre una función y su recta normal requiere encontrar primero la ecuación de la normal, después los puntos de corte, y finalmente integrar la diferencia.
Método eficaz En integrales con cambios de variable como t = √, no olvides cambiar también los límites de integración para evitar volver a la variable original.
Los problemas de redes sociales son sistemas de ecuaciones disfrazados. Define variables claras (seguidores de Alberto, Begoña y Carlos) y traduce cada condición del enunciado a una ecuación matemática.
El rango de una matriz cambia según los valores del parámetro. Calcula el determinante y sus menores para determinar cuándo el rango es máximo y cuándo disminuye.
Para calcular áreas de triángulos con vectores, usa la fórmula |u⃗ × v⃗|/2, donde u⃗ y v⃗ son dos lados del triángulo expresados como vectores.
Técnica esencial El punto simétrico de P respecto al plano π se encuentra en la recta perpendicular al plano que pasa por P, a la misma distancia pero al otro lado del plano.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
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Apuntes de estadística
MatemáticasApuntes de matemáticas de como se resuelven las inecuaciones de primer grado, de segundo grado, las fracciones - Sistemas de inecuaciones (lineales y de región) y dominios de los distintos tipos de funciones.
Matemáticas6 apartados básicos de la derivabilidad.
MatemáticasTeoría
MatemáticasLos teoremas como : Bolzano, Rolle; están en el perfil.
MatemáticasDerivadas, monotonía, crecimiento y decrecimiento, etc
MatemáticasApp Store
Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
Sophia
usuario de Android
Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
usuaria de Android
La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
Izan
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.
Julyana
usuaria de Android
Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.
Javier
usuario de Android
Sinceramente me ha salvado los estudios. Recomiendo la aplicación 100%.
Erick
usuario de Android
Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
Mar
usuaria de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
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Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
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Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
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Mar
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Mayra Rivas García
@mayraa.05
Estos exámenes de Matemáticas II de Bachillerato para la EVAU son tu oportunidad de demostrar todo lo que sabes. Vas a encontrar problemas de análisis, álgebra y geometría que cubren los temas más importantes del curso.
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¿Te preocupa enfrentarte a funciones definidas a trozos? Tranquilo, son más manejables de lo que parecen. El primer ejercicio te pide calcular los parámetros a y b para que la función sea continua en todos los puntos, especialmente en x = -1 y x = 1.
Para los problemas de optimización como el del rectángulo inscrito, recuerda el truco: plantea el área en función de una sola variable usando las restricciones del problema. Después deriva e iguala a cero para encontrar el máximo.
Los cálculos de áreas con funciones a trozos requieren dividir la integral según los intervalos donde cambia la definición de la función. No olvides que el área siempre es positiva, así que usa valor absoluto cuando sea necesario.
Consejo clave: En las primitivas, siempre comprueba tu resultado derivando. Si no obtienes la función original, hay un error en el cálculo.
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Los sistemas de ecuaciones lineales con parámetros pueden parecer complicados, pero siguen un patrón claro. Calcula el determinante de la matriz de coeficientes y analiza cuándo es cero para determinar la compatibilidad del sistema.
Para saber si una matriz tiene inversa, su determinante debe ser distinto de cero. Una vez que tengas este valor, resolver ecuaciones matriciales como AX = B se convierte en X = A⁻¹B.
Los problemas de vectores ortogonales son directos: dos vectores son perpendiculares cuando su producto escalar es cero. Usa esta propiedad para calcular los parámetros desconocidos.
Truco útil: En geometría analítica, siempre dibuja un esquema. Te ayudará a visualizar el problema y evitar errores de cálculo.
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El truco para optimizar rectángulos inscritos es siempre el mismo: expresa el área en función de una variable, deriva y busca los puntos críticos. No olvides comprobar que efectivamente es un máximo.
Las integrales con cambio de variable como la sugerida simplifican enormemente el cálculo. Calcula dx en función de dt y sustituye todos los términos, incluidos los límites de integración.
Importante: Al calcular áreas entre curvas, determina primero cuál función está por encima en cada intervalo para evitar resultados negativos.
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Los determinantes tienen propiedades muy útiles: si multiplicas una fila por un número, el determinante se multiplica por ese número. Si intercambias filas, el determinante cambia de signo.
En geometría del espacio, dos rectas se cortan cuando sus ecuaciones tienen una solución común. Iguala las coordenadas paramétricas y resuelve el sistema resultante.
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Para integrar productos de exponenciales y trigonométricas como e^x sen(2x), necesitarás integración por partes repetida. Ten paciencia y mantén el orden en los cálculos.
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En geometría analítica, distingue entre rectas que se cortan, son paralelas o se cruzan. Para rectas en el espacio, dos rectas pueden no cortarse sin ser paralelas.
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Las funciones definidas por integrales tienen una propiedad genial: su derivada es el integrando evaluado en el límite superior. Esto simplifica enormemente el estudio de F(x) = ∫₀ˣ f(t)dt.
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Para que A⁻¹ = ¼A, la matriz A debe satisfacer 4A⁻¹ = A, lo que equivale a 4I = A². Esta condición te permitirá encontrar los valores de a que cumplen la ecuación.
La distancia entre recta y plano depende de si son paralelos o se cortan. Si la recta es paralela al plano, calcula la distancia de cualquier punto de la recta al plano.
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Los límites indeterminados con sen(x) y ln se resuelven usando desarrollos de Taylor o L'Hôpital. Recuerda que sen(x) ≈ x y ln ≈ x para x próximo a cero.
Para encontrar extremos absolutos en intervalos cerrados como , evalúa la función en los puntos críticos del interior y en los extremos del intervalo. El mayor y menor valor serán los extremos absolutos.
El cálculo de áreas entre una función y su recta normal requiere encontrar primero la ecuación de la normal, después los puntos de corte, y finalmente integrar la diferencia.
Método eficaz: En integrales con cambios de variable como t = √, no olvides cambiar también los límites de integración para evitar volver a la variable original.
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Los problemas de redes sociales son sistemas de ecuaciones disfrazados. Define variables claras (seguidores de Alberto, Begoña y Carlos) y traduce cada condición del enunciado a una ecuación matemática.
El rango de una matriz cambia según los valores del parámetro. Calcula el determinante y sus menores para determinar cuándo el rango es máximo y cuándo disminuye.
Para calcular áreas de triángulos con vectores, usa la fórmula |u⃗ × v⃗|/2, donde u⃗ y v⃗ son dos lados del triángulo expresados como vectores.
Técnica esencial: El punto simétrico de P respecto al plano π se encuentra en la recta perpendicular al plano que pasa por P, a la misma distancia pero al otro lado del plano.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
Sophia
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Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
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La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
Izan
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
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Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.
Julyana
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Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.
Javier
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Sinceramente me ha salvado los estudios. Recomiendo la aplicación 100%.
Erick
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Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
Mar
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
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