Bases y Combinación Lineal de Vectores

Este capítulo profundiza en conceptos más avanzados de operaciones con vectores, introduciendo las bases vectoriales y la combinación lineal.

Se explica el concepto de combinación lineal, mostrando cómo un vector puede expresarse como suma ponderada de otros vectores. Se presentan ejemplos prácticos de cómo determinar si un vector es linealmente dependiente de otros.

Definición: Una combinación lineal de vectores v₁, v₂, ..., vₙ es cualquier expresión de la forma a₁v₁ + a₂v₂ + ... + aₙvₙ, donde a₁, a₂, ..., aₙ son escalares.

Se introducen diferentes tipos de bases vectoriales, incluyendo:

• Base canónica
• Base ortogonal
• Base ortonormal

Vocabulario:

• Base: Conjunto de vectores linealmente independientes que generan todo el espacio vectorial.
• Vectores linealmente independientes: Conjunto de vectores donde ninguno puede expresarse como combinación lineal de los otros.

Ejemplo: La base canónica en R³ está formada por los vectores i = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1).

Se enfatiza la importancia de la independencia lineal en la formación de bases y se proporciona un método para determinar si un conjunto de vectores forma una base.

Highlight: Una base en R³ debe estar formada por exactamente tres vectores linealmente independientes.

Rectas en el Espacio

Este capítulo aborda la representación de rectas en el espacio tridimensional, un tema fundamental en las operaciones con vectores gráficamente.

Se presentan diferentes formas de definir una recta:

1. Mediante dos puntos
2. Mediante un punto y un vector director

Se explican las distintas ecuaciones para representar una recta:

• Ecuación vectorial
• Ecuación paramétrica
• Ecuación continua
• Ecuación implícita

Definición: La ecuación vectorial de una recta que pasa por el punto P(p₁, p₂, p₃) y tiene vector director v(v₁, v₂, v₃) es: (x, y, z) = (p₁, p₂, p₃) + λ(v₁, v₂, v₃), donde λ es un parámetro real.

Se proporciona un ejemplo detallado de cómo obtener las diferentes ecuaciones de una recta a partir de un punto y un vector director.

Ejemplo: Para la recta que pasa por el punto A(2,3,-4) y tiene vector director v(5,-6,7), la ecuación vectorial es: (x,y,z) = (2,3,-4) + λ(5,-6,7).

Highlight: El vector director de una recta es paralelo a la misma y determina su dirección y sentido.

Vocabulario:

• Vector director: Vector paralelo a la recta que indica su dirección y sentido.
• Parámetro: Variable que permite representar todos los puntos de la recta.

Puntos Coplanarios

Este breve capítulo menciona el concepto de puntos coplanarios, que son aquellos que se encuentran en un mismo plano. Este concepto es importante para entender las relaciones entre puntos y planos en el espacio tridimensional.

Definición: Puntos coplanarios son aquellos que pertenecen a un mismo plano.

Aunque no se proporciona información detallada, este concepto es relevante para:

• Determinar si cuatro o más puntos están en un mismo plano
• Analizar la posición relativa de puntos en el espacio

Highlight: La coplanaridad de puntos es fundamental para resolver problemas geométricos en tres dimensiones.

Este capítulo sirve como introducción a conceptos más avanzados relacionados con la geometría analítica en el espacio.

Introducción a los Vectores

Este capítulo introduce los conceptos fundamentales de los vectores en el espacio tridimensional, esenciales para las operaciones con vectores en 4º ESO.

Se definen los vectores fijos y libres, explicando sus componentes y características principales como módulo, dirección y sentido. Se presentan conceptos importantes como vectores equipolentes, opuestos, paralelos, unitarios y el vector nulo.

Definición: Un vector es un segmento orientado que tiene módulo (longitud), dirección y sentido.

Vocabulario:

• Vector fijo: Determinado por dos puntos específicos en el espacio.
• Vector libre: Conjunto de todos los vectores equipolentes a uno dado.
• Vectores equipolentes: Vectores con igual módulo, dirección y sentido.

Ejemplo: El vector AB se define como AB = (b₁-a₁, b₂-a₂, b₃-a₃) donde A = (a₁, a₂, a₃) y B = (b₁, b₂, b₃) son sus puntos extremos.

Se introducen también los conceptos de vectores perpendiculares y el cálculo del punto medio de un vector, proporcionando las fórmulas necesarias para estas operaciones.

Highlight: El vector unitario es aquel cuyo módulo es igual a 1, y se utiliza frecuentemente para indicar solo la dirección y sentido.