Definición y operaciones básicas con vectores

Los vectores en el espacio tridimensional son segmentos orientados determinados por dos puntos. Se caracterizan por su módulo, dirección y sentido. Las operaciones fundamentales con vectores incluyen la suma, resta y multiplicación por un escalar.

Definición: Un vector v en el espacio se representa como v = (v₁, v₂, v₃), donde v₁, v₂ y v₃ son sus componentes en las direcciones x, y y z respectivamente.

El módulo de un vector se calcula mediante la fórmula |v| = √(v₁² + v₂² + v₃²). La suma y resta de vectores se realiza componente a componente, mientras que la multiplicación por un escalar afecta a todas las componentes por igual.

Ejemplo: Para sumar los vectores u = (1,0,-7) y v = (-3,4,0), realizamos (1,0,-7) + (-3,4,0) = (-2,4,-7).

Es importante destacar que estas operaciones son fundamentales para resolver ejercicios vectores 2 bachillerato y prepararse para la selectividad.

Productos escalar, vectorial y mixto

El producto escalar, vectorial y mixto son operaciones fundamentales entre vectores con importantes aplicaciones geométricas.

El producto escalar de dos vectores u y v se define como u · v = |u||v|cos(α), donde α es el ángulo entre los vectores. También puede calcularse como u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃.

Highlight: El producto escalar es cero si y solo si los vectores son perpendiculares.

El producto vectorial u × v resulta en un vector perpendicular al plano formado por u y v, con módulo |u||v|sen(α). Se calcula mediante un determinante:

u × v = (u₂v₃ - u₃v₂, u₃v₁ - u₁v₃, u₁v₂ - u₂v₁)

Aplicación: El área de un paralelogramo formado por dos vectores u y v se calcula como |u × v|.

El producto mixto [u, v, w] = u · (v × w) representa el volumen del paralelepípedo formado por los tres vectores.

Estos productos son esenciales para resolver ejercicios vectores selectividad resueltos y ejercicios de vectores en el plano resueltos PDF.