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Actualizado Mar 15, 2026
•
Guía de Propiedades Métricas: Preparación EvAU Matemáticas
M
Manuela Domercq Ramos
@manueladomercqramos_dhkh
1 / 4
Ángulos en el Espacio y Distancias Básicas
Imagínate que necesitas saber el ángulo que forman dos calles o la distancia más corta entre un punto y una carretera. Eso es exactamente lo que hacemos aquí, pero en 3D.
Para calcular el ángulo entre dos rectas, usas sus vectores directores y la fórmula: cos α = |dr · ds|/(|dr| · |ds|). El valor absoluto te asegura que siempre obtienes el ángulo menor.
Con los ángulos entre planos, trabajas con sus vectores normales de forma similar: cos α = |n₁ · n₂|/(|n₁| · |n₂|). Para el ángulo entre una recta y un plano, cambias el coseno por seno: sen α = |dr · n|/(|dr| · |n|).
La distancia entre dos puntos es la más sencilla: solo calculas el módulo del vector que los une usando la fórmula de siempre con raíces cuadradas. Para la distancia de un punto a una recta, necesitas el área del paralelogramo que forman.
Consejo: Recuerda que siempre buscamos el ángulo menor, por eso usamos valor absoluto en todas las fórmulas.
Más Distancias y Cálculo de Áreas
Ahora viene lo bueno: calcular distancias más complejas y áreas. La distancia de un punto a un plano tiene una fórmula súper útil: d = |ax₀ + by₀ + cz₀ + d|/√.
Para distancias entre rectas y planos, o entre dos planos, primero miras si se cortan o si son paralelos. Si son paralelos, reduces el problema a calcular la distancia de un punto al otro elemento.
Las distancias entre dos rectas son más interesantes. Si se cortan o coinciden, la distancia es cero. Si son paralelas, calculas la distancia de un punto de una recta a la otra recta. Si se cruzan (no se cortan ni son paralelas), usas la fórmula con el producto mixto dividido por el módulo del producto vectorial.
Para calcular el área de un triángulo, tomas la mitad del área del paralelogramo: A = ½|AB × AC|. El volumen de una pirámide triangular es V = ⅙|[AB, AD, AC]|.
Truco: Si dos elementos se cortan, su distancia siempre es cero. Esto te ahorra muchos cálculos.
Problemas Típicos: Simetrías y Proyecciones
Estos son los problemas que más salen en los exámenes, así que presta atención. Para encontrar el punto simétrico de P respecto a una recta, necesitas un plano auxiliar perpendicular que pase por P, calcular dónde corta a la recta (punto M), y usar que M es el punto medio de P y P'.
El punto simétrico respecto a un plano es más directo: trazas la recta perpendicular al plano que pasa por P, calculas el punto de corte M, y usas que M es el punto medio.
Las proyecciones ortogonales siguen el mismo patrón. Para proyectar un punto sobre un plano, trazas la perpendicular y calculas dónde corta. Para proyectar sobre una recta, usas un plano perpendicular.
La perpendicular común a dos rectas que se cruzan tiene un truco: su vector director es perpendicular a ambas rectas (producto vectorial). Después calculas los planos que contienen cada recta y son perpendiculares a esta dirección.
Clave: En simetrías y proyecciones, siempre trabajas con perpendiculares y puntos medios.
Planos Especiales
Los planos bisectores dividen el ángulo entre dos planos en dos partes iguales. La condición es que cualquier punto del bisector esté a la misma distancia de ambos planos: d(P,π₁) = d(P,π₂).
Esto te lleva a dos ecuaciones, dependiendo de si tomas el signo positivo o negativo: una para cada bisector (recuerda que hay dos planos bisectores perpendiculares entre sí).
El plano mediador de un segmento es el conjunto de puntos que están a la misma distancia de los extremos del segmento. Pasa por el punto medio del segmento y tiene como vector normal el propio segmento.
Su ecuación se obtiene imponiendo que d(P,A) = d(P,B), lo que al desarrollar y simplificar te da directamente la ecuación del plano en forma general.
Importante: El plano mediador siempre es perpendicular al segmento y pasa por su punto medio.
Pensamos que nunca lo preguntarías...
¿Qué es Knowunity AI companion?
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
¿Dónde puedo descargar la app Knowunity?
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
¿Knowunity es totalmente gratuito?
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App Store
4.7/5
Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
Sophia
usuario de Android
Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
usuaria de Android
La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
Izan
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.
Julyana
usuaria de Android
Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.
Javier
usuario de Android
LOS QUIZ Y FLASHCARDS SON SÚPER ÚTILES Y ME ENCANTA Knowunity IA. ADEMÁS ES LITERALMENTE COMO CHATGPT PERO MÁS LISTO!! ME AYUDÓ TAMBIÉN CON MIS PROBLEMAS DE MÁSCARA!! Y CON MIS ASIGNATURAS DE VERDAD! OBVIO 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Erick
usuario de Android
Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
Mar
usuaria de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
Sophia
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Marta
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La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
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Javier
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Erick
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Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
Mar
usuaria de iOS
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M
Manuela Domercq Ramos
@manueladomercqramos_dhkh
¿Te lías con las distancias y ángulos en el espacio? Tranquilo, que esto es más fácil de lo que parece. Vamos a ver las propiedades métricasdel espacio tridimensional, donde aprenderás a calcular ángulos entre rectas y planos, distancias de... Mostrar más
Ángulos en el Espacio y Distancias Básicas
Imagínate que necesitas saber el ángulo que forman dos calles o la distancia más corta entre un punto y una carretera. Eso es exactamente lo que hacemos aquí, pero en 3D.
Para calcular el ángulo entre dos rectas, usas sus vectores directores y la fórmula: cos α = |dr · ds|/(|dr| · |ds|). El valor absoluto te asegura que siempre obtienes el ángulo menor.
Con los ángulos entre planos, trabajas con sus vectores normales de forma similar: cos α = |n₁ · n₂|/(|n₁| · |n₂|). Para el ángulo entre una recta y un plano, cambias el coseno por seno: sen α = |dr · n|/(|dr| · |n|).
La distancia entre dos puntos es la más sencilla: solo calculas el módulo del vector que los une usando la fórmula de siempre con raíces cuadradas. Para la distancia de un punto a una recta, necesitas el área del paralelogramo que forman.
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Ahora viene lo bueno: calcular distancias más complejas y áreas. La distancia de un punto a un plano tiene una fórmula súper útil: d = |ax₀ + by₀ + cz₀ + d|/√.
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Las distancias entre dos rectas son más interesantes. Si se cortan o coinciden, la distancia es cero. Si son paralelas, calculas la distancia de un punto de una recta a la otra recta. Si se cruzan (no se cortan ni son paralelas), usas la fórmula con el producto mixto dividido por el módulo del producto vectorial.
Para calcular el área de un triángulo, tomas la mitad del área del paralelogramo: A = ½|AB × AC|. El volumen de una pirámide triangular es V = ⅙|[AB, AD, AC]|.
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El punto simétrico respecto a un plano es más directo: trazas la recta perpendicular al plano que pasa por P, calculas el punto de corte M, y usas que M es el punto medio.
Las proyecciones ortogonales siguen el mismo patrón. Para proyectar un punto sobre un plano, trazas la perpendicular y calculas dónde corta. Para proyectar sobre una recta, usas un plano perpendicular.
La perpendicular común a dos rectas que se cruzan tiene un truco: su vector director es perpendicular a ambas rectas (producto vectorial). Después calculas los planos que contienen cada recta y son perpendiculares a esta dirección.
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El plano mediador de un segmento es el conjunto de puntos que están a la misma distancia de los extremos del segmento. Pasa por el punto medio del segmento y tiene como vector normal el propio segmento.
Su ecuación se obtiene imponiendo que d(P,A) = d(P,B), lo que al desarrollar y simplificar te da directamente la ecuación del plano en forma general.
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Pablo
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
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Sophia
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Marta
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