Funciones: Dominio, Continuidad y Derivabilidad - Apuntes y Ejercicios

Dominio y Continuidad de Funciones

El dominio de una función es el conjunto de valores de x para los que la función existe. Hay situaciones clave donde debemos tener cuidado:

No podemos dividir por cero, así en funciones como $f(x)=\frac{1}{x+4}$, el valor x = -4 queda excluido del dominio. Tampoco podemos calcular raíces cuadradas de números negativos, por lo que en $f(x)=\sqrt{x-6}$, el dominio será x ≥ 6.

Para estudiar la continuidad de una función en un punto, debemos comprobar tres condiciones: que la función esté definida en ese punto, que exista el límite y que el valor de la función coincida con su límite. Por ejemplo, en funciones definidas a trozos, es crucial verificar qué ocurre en los puntos de cambio.

Las discontinuidades pueden ser de diferentes tipos:

• Evitables: cuando existe el límite pero no coincide con el valor de la función
• De salto finito: cuando los límites laterales existen pero son diferentes
• De salto infinito: cuando algún límite lateral es infinito

💡 Para recordar: Una función es continua en un punto si "puedes dibujarla sin levantar el lápiz del papel" al pasar por ese punto.

Cuando analizamos funciones a trozos, es fundamental estudiar qué ocurre en los puntos de transición para determinar si la función mantiene su continuidad o presenta alguna discontinuidad.

Análisis de Continuidad en Funciones a Trozos

Al estudiar la continuidad de funciones definidas por partes, debemos centrarnos en los puntos donde cambia la definición. La estrategia es calcular los límites laterales y verificar si coinciden entre sí y con el valor de la función.

Por ejemplo, para una función como $P(x)=\begin{cases} 2x^2-3x+1 & \text{si } x \leq 1 \\ \ln x & \text{si } x > 1 \end{cases}$, calculamos los límites laterales en x=1:

• $\lim_{x \to 1^-} P(x) = 2-3+1 = 0$
• $\lim_{x \to 1^+} P(x) = \ln 1 = 0$

En este caso, ambos límites coinciden, por lo que la función es continua en x=1.

A menudo, las funciones a trozos dependen de parámetros que debemos determinar para garantizar la continuidad. Para hallar estos valores, igualamos los límites laterales y resolvemos las ecuaciones resultantes.

💡 Cuando te enfrentes a problemas de continuidad con parámetros, recuerda que estás buscando los valores que "cosen" perfectamente las diferentes partes de la función.

El dominio de una función también puede verse afectado por restricciones adicionales como denominadores que se anulan. Por ejemplo, en una función racional como $\frac{2}{3+x}$, debemos excluir del dominio el valor x=-3, ya que haría el denominador cero.

Un análisis completo de continuidad implica estudiar todos los puntos críticos y entender cómo se comporta la función en cada intervalo de su dominio.

Derivadas y Reglas de Derivación

La derivada de una función nos indica la tasa de cambio instantáneo. Si conoces bien las reglas de derivación, podrás calcularlas rápidamente sin necesidad de aplicar la definición por límites.

Algunas derivadas básicas que debes memorizar:

• De potencias: $(x^n)' = nx^{n-1}$
• Exponencial: $(e^x)' = e^x$
• Logaritmo: $(\ln x)' = \frac{1}{x}$

Las reglas de operaciones también son fundamentales:

• Suma/resta: $(f±g)' = f'±g'$
• Producto: $(f·g)' = f'·g + f·g'$
• Cociente: $(\frac{f}{g})' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$
• Composición: $(e^{f(x)})' = e^{f(x)} · f'(x)$

Una función es derivable en un punto si cumple dos condiciones:

1. Es continua en ese punto
2. Sus derivadas laterales coinciden (y son finitas)

💡 Geométricamente, una función es derivable en un punto si tiene recta tangente única en ese punto (sin picos ni saltos).

Para funciones definidas a trozos, como $f(x)= \begin{cases}ax+b & \text{si } x \leq 1\\x^3-x^2+1 & \text{si } x > 1\end{cases}$, primero aseguramos la continuidad en x=1 $a+b=1$. Después, calculamos las derivadas laterales $f'(1^-)=a$ y $f'(1^+)=1$, e imponemos que sean iguales $a=1$, lo que nos da b=0.

Aplicaciones de la Derivabilidad

La derivabilidad es un concepto más exigente que la continuidad. Una función puede ser continua en un punto pero no derivable, como ocurre en los "picos" o puntos angulosos.

Al calcular derivadas complejas, recuerda aplicar las reglas en el orden correcto. Por ejemplo:

• Para $f(x)=\frac{x+1}{x^2-4}$, usa la regla del cociente
• Para $f(x)= x^2 e^{x^2}$, combina la regla del producto con la de la cadena

En el estudio de funciones a trozos, la derivabilidad implica:

1. Que la función sea continua en el punto de unión
2. Que las derivadas laterales coincidan en ese punto

Por ejemplo, la función $f(x)=\begin{cases} 5x+1 & \text{si } x < 0 \\ x^2+5x+1 & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$ es derivable en x=0 porque:

• Es continua en x=0 (ambos trozos valen 1)
• $f'(0^-)=5$ y $f'(0^+)=5$ coinciden

💡 Un truco útil: cuando analices funciones con parámetros, primero impón la condición de continuidad y luego la de derivabilidad para encontrar los valores buscados.

Cuando trabajamos con parámetros en funciones a trozos, debemos establecer un sistema de ecuaciones que garantice tanto la continuidad como la derivabilidad. La solución de este sistema nos proporcionará los valores específicos que hacen que la función tenga el comportamiento deseado.