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MatemáticasMatemáticas1,894 visualizaciones·Actualizado May 30, 2026·41 páginas

Introducción a la Geometría Analítica

P
Paula Sánchez Fernández@paulasnchezfernndez_katw

¡Es hora de descubrir cómo las matemáticas nos ayudan a... Mostrar más

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TEMA 6 Geometría analítica Existen algunas magnitudes físicas como pueden ser la fuerza, el desplazamiento, la velocidad... en las que no

Vectores en el plano: Más que simples flechas

¿Sabías que cuando empujas una puerta, no solo importa cuánta fuerza haces, sino también en qué dirección? Eso es exactamente lo que representan los vectores: magnitudes que necesitan dirección y sentido, como la fuerza, la velocidad o el desplazamiento.

Un vector fijo AB⃗\vec{AB} es un segmento orientado que va del punto A al punto B, como una flecha que te indica el camino. Tiene cinco elementos clave que debes recordar: el origen (punto de partida), el extremo (punto de llegada), el módulo (la distancia entre ambos puntos, siempre positiva), la dirección (la recta que los contiene) y el sentido (hacia dónde apunta la flecha).

El vector nulo es especial: su origen y extremo coinciden, tiene módulo 0 y no tiene dirección ni sentido definidos.

¡Dato curioso! Los vectores se usan en videojuegos para calcular el movimiento de personajes y objetos en pantalla.

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TEMA 6 Geometría analítica Existen algunas magnitudes físicas como pueden ser la fuerza, el desplazamiento, la velocidad... en las que no

Vectores libres y operaciones básicas

Imagina que tienes que mover un mueble: no importa por dónde lo empujes, si aplicas la misma fuerza en la misma dirección el resultado será igual. Eso son los vectores libres: conjuntos de vectores fijos que tienen el mismo módulo, dirección y sentido, aunque estén en posiciones diferentes.

Los vectores equipolentes son iguales aunque no estén en la misma posición. Cada vector fijo que forma parte de un vector libre se llama representante. Para distinguirlos de los vectores fijos, los vectores libres se escriben con letras minúsculas como u⃗\vec{u} o v⃗\vec{v}.

La suma de vectores es súper práctica: para sumar u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}, coloca el segundo vector donde termina el primero. El resultado es el vector que va desde el inicio del primero hasta el final del segundo. Es como seguir indicaciones: "ve 3 pasos al norte, luego 2 al este".

Consejo para el examen: Siempre dibuja los vectores cuando hagas sumas. ¡Te ayudará a visualizar el resultado!

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TEMA 6 Geometría analítica Existen algunas magnitudes físicas como pueden ser la fuerza, el desplazamiento, la velocidad... en las que no

Dependencia lineal y bases del plano

¿Cuándo son "parecidos" los vectores? Cuando uno se puede expresar como múltiplo del otro. Los vectores linealmente dependientes van en la misma dirección, mientras que los linealmente independientes tienen direcciones diferentes.

En el plano solo necesitas dos vectores con direcciones distintas para formar una base. Es como tener dos ingredientes básicos con los que puedes "cocinar" cualquier otro vector. Una base B=u⃗,v⃗B = {\vec{u}, \vec{v}} te permite expresar cualquier vector w⃗\vec{w} como w⃗=au⃗+bv⃗\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}, donde aa y bb son las componentes del vector.

La base canónica es especial: está formada por i⃗=(1,0)\vec{i} = (1, 0) y j⃗=(0,1)\vec{j} = (0, 1). Con esta base, cualquier vector se escribe simplemente como u⃗=(u1,u2)\vec{u} = (u_1, u_2), donde u1u_1 y u2u_2 son sus coordenadas. ¡Es la más fácil de usar!

Truco matemático: Si tres o más vectores están en el plano, siempre serán linealmente dependientes. ¡El plano solo tiene dos dimensiones!

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TEMA 6 Geometría analítica Existen algunas magnitudes físicas como pueden ser la fuerza, el desplazamiento, la velocidad... en las que no

Coordenadas de vectores y puntos clave

Calcular las coordenadas de un vector AB⃗\vec{AB} es más fácil de lo que parece: simplemente resta las coordenadas del origen a las del extremo. Si A = (a1,a2)(a_1, a_2) y B = (b1,b2)(b_1, b_2), entonces AB⃗=(b1−a1,b2−a2)\vec{AB} = (b_1 - a_1, b_2 - a_2). ¡Como restar en una resta normal!

El punto medio de un segmento AB se calcula promediando las coordenadas: M=(a1+b12,a2+b22)M = \left(\frac{a_1 + b_1}{2}, \frac{a_2 + b_2}{2}\right). Es el punto que está exactamente a mitad de camino entre A y B.

Para saber si tres puntos están alineados, comprueba si los vectores que forman son proporcionales. Los puntos A, B y C están en línea recta si b1−a1c1−b1=b2−a2c2−b2\frac{b_1 - a_1}{c_1 - b_1} = \frac{b_2 - a_2}{c_2 - b_2}. Si esta igualdad se cumple, los tres puntos forman una línea perfecta.

Aplicación práctica: Los GPS usan estos cálculos para determinar rutas y distancias entre ubicaciones.

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TEMA 6 Geometría analítica Existen algunas magnitudes físicas como pueden ser la fuerza, el desplazamiento, la velocidad... en las que no

Producto escalar: Cuando los vectores se "multiplican"

El producto escalar es una operación súper útil que combina dos vectores para darnos un número. Se define como u⃗⋅v⃗=∣u⃗∣∣v⃗∣cos⁡α\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}| \cos \alpha, donde α es el ángulo entre los vectores. No te da otro vector, ¡te da un número real!

Las propiedades del producto escalar son tus mejores aliadas: es conmutativo $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$, distributivo respecto a la suma, y cumple que u⃗⋅u⃗=∣u⃗∣2\vec{u} \cdot \vec{u} = |\vec{u}|^2. Además, si dos vectores son perpendiculares, su producto escalar es cero.

En coordenadas, el cálculo es súper directo: si u⃗=(u1,u2)\vec{u} = (u_1, u_2) y v⃗=(v1,v2)\vec{v} = (v_1, v_2), entonces u⃗⋅v⃗=u1v1+u2v2\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2. ¡Solo multiplicas coordenadas correspondientes y sumas!

¡Importante! El producto escalar te dice si dos vectores son perpendiculares: si el resultado es cero, forman 90 grados.

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Ángulos y proyecciones vectoriales

¿Quieres calcular el ángulo entre dos vectores? Usa la fórmula del producto escalar: α=arccos⁡(u1v1+u2v2u12+u22v12+v22)\alpha = \arccos \left(\frac{u_1v_1 + u_2v_2}{\sqrt{u_1^2 + u_2^2}\sqrt{v_1^2 + v_2^2}}\right). Parece complicada, pero es solo reorganizar lo que ya sabes.

La proyección ortogonal de u⃗\vec{u} sobre v⃗\vec{v} es como la "sombra" que proyecta u⃗\vec{u} sobre la dirección de v⃗\vec{v}. Su módulo se calcula con |proy_\vec{v}\vec{u}| = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{v}|}. El sentido depende del ángulo: si es agudo, va en la misma dirección que v⃗\vec{v}; si es obtuso, en la contraria.

Esta proyección es clave para entender cómo se "descompone" un vector en una dirección específica. Es como calcular cuánta fuerza aplicas realmente en la dirección que te interesa.

Visualízalo: Imagina la sombra que proyecta un palo sobre el suelo cuando le da el sol. Esa sombra es la proyección del palo sobre el suelo.

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Ecuaciones de la recta: Múltiples formas, mismo concepto

Una recta se puede expresar de varias maneras, y todas son útiles según la situación. La ecuación punto-pendiente y−a2=m(x−a1)y - a_2 = m(x - a_1) es perfecta cuando conoces un punto y la pendiente m=u2u1m = \frac{u_2}{u_1} (que es la tangente del ángulo con el eje horizontal).

La ecuación explícita y=mx+ny = mx + n es la más familiar: mm sigue siendo la pendiente y nn es la ordenada en el origen (donde la recta corta el eje Y). Es ideal para dibujar gráficas rápidamente.

Si tienes dos puntos A(a1,a2)(a_1, a_2) y B(b1,b2)(b_1, b_2), puedes hallar la ecuación explícita sustituyendo ambos puntos y resolviendo el sistema: {a2=m⋅a1+n b2=m⋅b1+n\begin{cases} a_2 = m \cdot a_1 + n \ b_2 = m \cdot b_1 + n \end{cases}

Truco del examen: La pendiente te dice si la recta sube (pendiente positiva), baja (negativa) o es horizontal (pendiente cero).

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Ecuaciones general y normal de la recta

La ecuación general Ax+By+C=0Ax + By + C = 0 es súper versátil porque sirve para cualquier tipo de recta, incluso las verticales (que no tienen ecuación explícita). Para convertirla a explícita, despeja la yy: y=−ABx−CBy = -\frac{A}{B}x - \frac{C}{B}, así que m=−ABm = -\frac{A}{B} y n=−CBn = -\frac{C}{B}.

Un detalle genial: si tu recta tiene ecuación Ax+By+C=0Ax + By + C = 0, entonces u⃗=(−B,A)\vec{u} = (-B, A) es un vector director y n⃗=(A,B)\vec{n} = (A, B) es un vector normal (perpendicular a la recta).

La ecuación normal A(x−a1)+B(y−a2)=0A(x - a_1) + B(y - a_2) = 0 usa esta perpendicularidad: un punto P(x,y)(x, y) está en la recta si el vector AP⃗\vec{AP} es perpendicular al vector normal. Es una forma elegante de expresar la misma idea.

Conexión importante: El vector normal es perpendicular a la recta, así que su producto escalar con cualquier vector director es cero.

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Posiciones relativas y ángulos entre rectas

¿Cómo se relacionan dos rectas? Para rectas en forma general r:Ax+By+C=0r: Ax + By + C = 0 y s:A′x+B′y+C′=0s: A'x + B'y + C' = 0, compara los coeficientes: si AA′=BB′=CC′\frac{A}{A'} = \frac{B}{B'} = \frac{C}{C'} son coincidentes; si AA′=BB′≠CC′\frac{A}{A'} = \frac{B}{B'} \neq \frac{C}{C'} son paralelas; si AA′≠BB′\frac{A}{A'} \neq \frac{B}{B'} son secantes.

También puedes resolver el sistema de ecuaciones: una solución significa rectas secantes, ninguna solución indica rectas paralelas, e infinitas soluciones señalan rectas coincidentes.

El ángulo entre dos rectas secantes es el menor de los cuatro ángulos que forman. Puedes calcularlo usando sus vectores directores: cos⁡α=∣u⃗⋅v⃗∣∣u⃗∣∣v⃗∣\cos \alpha = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}||\vec{v}|}. Con pendientes, usa tan⁡α=∣m1−m21+m1m2∣\tan \alpha = \left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}\right|.

Recuerda: Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es -1, o si sus vectores directores tienen producto escalar cero.

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Distancias: De puntos a rectas y entre rectas

La distancia de un punto P(p1,p2)(p_1, p_2) a una recta r:Ax+By+C=0r: Ax + By + C = 0 tiene una fórmula directa: d(P,r)=∣Ap1+Bp2+C∣A2+B2d(P, r) = \frac{|Ap_1 + Bp_2 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}. Solo sustituyes las coordenadas del punto en la ecuación de la recta y divides por la raíz de la suma de cuadrados de los coeficientes.

Para la distancia entre dos rectas paralelas r:Ax+By+C=0r: Ax + By + C = 0 y s:Ax+By+C′=0s: Ax + By + C' = 0 (con los mismos coeficientes A y B), usa: d(r,s)=∣C′−C∣A2+B2d(r, s) = \frac{|C' - C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}. Si las rectas son secantes o coincidentes, la distancia es cero.

Estos cálculos son fundamentales en problemas de optimización: encontrar el punto más cercano, calcular áreas de figuras geométricas, o resolver problemas de ingeniería donde las distancias mínimas son cruciales.

Aplicación real: Los arquitectos usan estos cálculos para determinar distancias de seguridad entre estructuras y para optimizar espacios en sus diseños.

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Introducción a la Geometría Analítica

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Paula Sánchez Fernández@paulasnchezfernndez_katw

¡Es hora de descubrir cómo las matemáticas nos ayudan a entender el mundo físico! Los vectores no son solo líneas con flechas: representan fuerzas, velocidades y movimientos que experimentas cada día. Vamos a explorar la geometría analítica de forma práctica... Mostrar más

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Vectores en el plano: Más que simples flechas

¿Sabías que cuando empujas una puerta, no solo importa cuánta fuerza haces, sino también en qué dirección? Eso es exactamente lo que representan los vectores: magnitudes que necesitan dirección y sentido, como la fuerza, la velocidad o el desplazamiento.

Un vector fijo AB⃗\vec{AB} es un segmento orientado que va del punto A al punto B, como una flecha que te indica el camino. Tiene cinco elementos clave que debes recordar: el origen (punto de partida), el extremo (punto de llegada), el módulo (la distancia entre ambos puntos, siempre positiva), la dirección (la recta que los contiene) y el sentido (hacia dónde apunta la flecha).

El vector nulo es especial: su origen y extremo coinciden, tiene módulo 0 y no tiene dirección ni sentido definidos.

¡Dato curioso! Los vectores se usan en videojuegos para calcular el movimiento de personajes y objetos en pantalla.

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Imagina que tienes que mover un mueble: no importa por dónde lo empujes, si aplicas la misma fuerza en la misma dirección el resultado será igual. Eso son los vectores libres: conjuntos de vectores fijos que tienen el mismo módulo, dirección y sentido, aunque estén en posiciones diferentes.

Los vectores equipolentes son iguales aunque no estén en la misma posición. Cada vector fijo que forma parte de un vector libre se llama representante. Para distinguirlos de los vectores fijos, los vectores libres se escriben con letras minúsculas como u⃗\vec{u} o v⃗\vec{v}.

La suma de vectores es súper práctica: para sumar u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}, coloca el segundo vector donde termina el primero. El resultado es el vector que va desde el inicio del primero hasta el final del segundo. Es como seguir indicaciones: "ve 3 pasos al norte, luego 2 al este".

Consejo para el examen: Siempre dibuja los vectores cuando hagas sumas. ¡Te ayudará a visualizar el resultado!

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Dependencia lineal y bases del plano

¿Cuándo son "parecidos" los vectores? Cuando uno se puede expresar como múltiplo del otro. Los vectores linealmente dependientes van en la misma dirección, mientras que los linealmente independientes tienen direcciones diferentes.

En el plano solo necesitas dos vectores con direcciones distintas para formar una base. Es como tener dos ingredientes básicos con los que puedes "cocinar" cualquier otro vector. Una base B=u⃗,v⃗B = {\vec{u}, \vec{v}} te permite expresar cualquier vector w⃗\vec{w} como w⃗=au⃗+bv⃗\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}, donde aa y bb son las componentes del vector.

La base canónica es especial: está formada por i⃗=(1,0)\vec{i} = (1, 0) y j⃗=(0,1)\vec{j} = (0, 1). Con esta base, cualquier vector se escribe simplemente como u⃗=(u1,u2)\vec{u} = (u_1, u_2), donde u1u_1 y u2u_2 son sus coordenadas. ¡Es la más fácil de usar!

Truco matemático: Si tres o más vectores están en el plano, siempre serán linealmente dependientes. ¡El plano solo tiene dos dimensiones!

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Coordenadas de vectores y puntos clave

Calcular las coordenadas de un vector AB⃗\vec{AB} es más fácil de lo que parece: simplemente resta las coordenadas del origen a las del extremo. Si A = (a1,a2)(a_1, a_2) y B = (b1,b2)(b_1, b_2), entonces AB⃗=(b1−a1,b2−a2)\vec{AB} = (b_1 - a_1, b_2 - a_2). ¡Como restar en una resta normal!

El punto medio de un segmento AB se calcula promediando las coordenadas: M=(a1+b12,a2+b22)M = \left(\frac{a_1 + b_1}{2}, \frac{a_2 + b_2}{2}\right). Es el punto que está exactamente a mitad de camino entre A y B.

Para saber si tres puntos están alineados, comprueba si los vectores que forman son proporcionales. Los puntos A, B y C están en línea recta si b1−a1c1−b1=b2−a2c2−b2\frac{b_1 - a_1}{c_1 - b_1} = \frac{b_2 - a_2}{c_2 - b_2}. Si esta igualdad se cumple, los tres puntos forman una línea perfecta.

Aplicación práctica: Los GPS usan estos cálculos para determinar rutas y distancias entre ubicaciones.

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Producto escalar: Cuando los vectores se "multiplican"

El producto escalar es una operación súper útil que combina dos vectores para darnos un número. Se define como u⃗⋅v⃗=∣u⃗∣∣v⃗∣cos⁡α\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}| \cos \alpha, donde α es el ángulo entre los vectores. No te da otro vector, ¡te da un número real!

Las propiedades del producto escalar son tus mejores aliadas: es conmutativo $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$, distributivo respecto a la suma, y cumple que u⃗⋅u⃗=∣u⃗∣2\vec{u} \cdot \vec{u} = |\vec{u}|^2. Además, si dos vectores son perpendiculares, su producto escalar es cero.

En coordenadas, el cálculo es súper directo: si u⃗=(u1,u2)\vec{u} = (u_1, u_2) y v⃗=(v1,v2)\vec{v} = (v_1, v_2), entonces u⃗⋅v⃗=u1v1+u2v2\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2. ¡Solo multiplicas coordenadas correspondientes y sumas!

¡Importante! El producto escalar te dice si dos vectores son perpendiculares: si el resultado es cero, forman 90 grados.

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Ángulos y proyecciones vectoriales

¿Quieres calcular el ángulo entre dos vectores? Usa la fórmula del producto escalar: α=arccos⁡(u1v1+u2v2u12+u22v12+v22)\alpha = \arccos \left(\frac{u_1v_1 + u_2v_2}{\sqrt{u_1^2 + u_2^2}\sqrt{v_1^2 + v_2^2}}\right). Parece complicada, pero es solo reorganizar lo que ya sabes.

La proyección ortogonal de u⃗\vec{u} sobre v⃗\vec{v} es como la "sombra" que proyecta u⃗\vec{u} sobre la dirección de v⃗\vec{v}. Su módulo se calcula con |proy_\vec{v}\vec{u}| = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{v}|}. El sentido depende del ángulo: si es agudo, va en la misma dirección que v⃗\vec{v}; si es obtuso, en la contraria.

Esta proyección es clave para entender cómo se "descompone" un vector en una dirección específica. Es como calcular cuánta fuerza aplicas realmente en la dirección que te interesa.

Visualízalo: Imagina la sombra que proyecta un palo sobre el suelo cuando le da el sol. Esa sombra es la proyección del palo sobre el suelo.

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Ecuaciones de la recta: Múltiples formas, mismo concepto

Una recta se puede expresar de varias maneras, y todas son útiles según la situación. La ecuación punto-pendiente y−a2=m(x−a1)y - a_2 = m(x - a_1) es perfecta cuando conoces un punto y la pendiente m=u2u1m = \frac{u_2}{u_1} (que es la tangente del ángulo con el eje horizontal).

La ecuación explícita y=mx+ny = mx + n es la más familiar: mm sigue siendo la pendiente y nn es la ordenada en el origen (donde la recta corta el eje Y). Es ideal para dibujar gráficas rápidamente.

Si tienes dos puntos A(a1,a2)(a_1, a_2) y B(b1,b2)(b_1, b_2), puedes hallar la ecuación explícita sustituyendo ambos puntos y resolviendo el sistema: {a2=m⋅a1+n b2=m⋅b1+n\begin{cases} a_2 = m \cdot a_1 + n \ b_2 = m \cdot b_1 + n \end{cases}

Truco del examen: La pendiente te dice si la recta sube (pendiente positiva), baja (negativa) o es horizontal (pendiente cero).

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Ecuaciones general y normal de la recta

La ecuación general Ax+By+C=0Ax + By + C = 0 es súper versátil porque sirve para cualquier tipo de recta, incluso las verticales (que no tienen ecuación explícita). Para convertirla a explícita, despeja la yy: y=−ABx−CBy = -\frac{A}{B}x - \frac{C}{B}, así que m=−ABm = -\frac{A}{B} y n=−CBn = -\frac{C}{B}.

Un detalle genial: si tu recta tiene ecuación Ax+By+C=0Ax + By + C = 0, entonces u⃗=(−B,A)\vec{u} = (-B, A) es un vector director y n⃗=(A,B)\vec{n} = (A, B) es un vector normal (perpendicular a la recta).

La ecuación normal A(x−a1)+B(y−a2)=0A(x - a_1) + B(y - a_2) = 0 usa esta perpendicularidad: un punto P(x,y)(x, y) está en la recta si el vector AP⃗\vec{AP} es perpendicular al vector normal. Es una forma elegante de expresar la misma idea.

Conexión importante: El vector normal es perpendicular a la recta, así que su producto escalar con cualquier vector director es cero.

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Posiciones relativas y ángulos entre rectas

¿Cómo se relacionan dos rectas? Para rectas en forma general r:Ax+By+C=0r: Ax + By + C = 0 y s:A′x+B′y+C′=0s: A'x + B'y + C' = 0, compara los coeficientes: si AA′=BB′=CC′\frac{A}{A'} = \frac{B}{B'} = \frac{C}{C'} son coincidentes; si AA′=BB′≠CC′\frac{A}{A'} = \frac{B}{B'} \neq \frac{C}{C'} son paralelas; si AA′≠BB′\frac{A}{A'} \neq \frac{B}{B'} son secantes.

También puedes resolver el sistema de ecuaciones: una solución significa rectas secantes, ninguna solución indica rectas paralelas, e infinitas soluciones señalan rectas coincidentes.

El ángulo entre dos rectas secantes es el menor de los cuatro ángulos que forman. Puedes calcularlo usando sus vectores directores: cos⁡α=∣u⃗⋅v⃗∣∣u⃗∣∣v⃗∣\cos \alpha = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}||\vec{v}|}. Con pendientes, usa tan⁡α=∣m1−m21+m1m2∣\tan \alpha = \left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}\right|.

Recuerda: Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es -1, o si sus vectores directores tienen producto escalar cero.

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Distancias: De puntos a rectas y entre rectas

La distancia de un punto P(p1,p2)(p_1, p_2) a una recta r:Ax+By+C=0r: Ax + By + C = 0 tiene una fórmula directa: d(P,r)=∣Ap1+Bp2+C∣A2+B2d(P, r) = \frac{|Ap_1 + Bp_2 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}. Solo sustituyes las coordenadas del punto en la ecuación de la recta y divides por la raíz de la suma de cuadrados de los coeficientes.

Para la distancia entre dos rectas paralelas r:Ax+By+C=0r: Ax + By + C = 0 y s:Ax+By+C′=0s: Ax + By + C' = 0 (con los mismos coeficientes A y B), usa: d(r,s)=∣C′−C∣A2+B2d(r, s) = \frac{|C' - C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}. Si las rectas son secantes o coincidentes, la distancia es cero.

Estos cálculos son fundamentales en problemas de optimización: encontrar el punto más cercano, calcular áreas de figuras geométricas, o resolver problemas de ingeniería donde las distancias mínimas son cruciales.

Aplicación real: Los arquitectos usan estos cálculos para determinar distancias de seguridad entre estructuras y para optimizar espacios en sus diseños.

Pensamos que nunca lo preguntarías...

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