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Introducción a la Geometría Analítica

33

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P

Paula Sánchez Fernández

18/11/2025

Matemáticas

Geometría analítica

Asignaturas

Matemáticas

Vectores y producto escalar

Los vectores

1629

•

18 nov 2025

•

41 páginas

Introducción a la Geometría Analítica

P

Paula Sánchez Fernández

@paulasnchezfernndez_katw

¡Es hora de descubrir cómo las matemáticas nos ayudan a... Mostrar más

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--- OCR Start --- Geometría analítica TEMA 6 Existen algunas magnitudes físicas como pueden ser la fuerza, el desplazamiento, la velocidad..

Vectores en el plano: Más que simples flechas

¿Sabías que cuando empujas una puerta, no solo importa cuánta fuerza haces, sino también en qué dirección? Eso es exactamente lo que representan los vectores: magnitudes que necesitan dirección y sentido, como la fuerza, la velocidad o el desplazamiento.

Un vector fijo AB⃗\vec{AB} es un segmento orientado que va del punto A al punto B, como una flecha que te indica el camino. Tiene cinco elementos clave que debes recordar: el origen (punto de partida), el extremo (punto de llegada), el módulo (la distancia entre ambos puntos, siempre positiva), la dirección (la recta que los contiene) y el sentido (hacia dónde apunta la flecha).

El vector nulo es especial: su origen y extremo coinciden, tiene módulo 0 y no tiene dirección ni sentido definidos.

¡Dato curioso! Los vectores se usan en videojuegos para calcular el movimiento de personajes y objetos en pantalla.

--- OCR Start --- Geometría analítica TEMA 6 Existen algunas magnitudes físicas como pueden ser la fuerza, el desplazamiento, la velocidad..

Vectores libres y operaciones básicas

Imagina que tienes que mover un mueble: no importa por dónde lo empujes, si aplicas la misma fuerza en la misma dirección el resultado será igual. Eso son los vectores libres: conjuntos de vectores fijos que tienen el mismo módulo, dirección y sentido, aunque estén en posiciones diferentes.

Los vectores equipolentes son iguales aunque no estén en la misma posición. Cada vector fijo que forma parte de un vector libre se llama representante. Para distinguirlos de los vectores fijos, los vectores libres se escriben con letras minúsculas como u⃗\vec{u} o v⃗\vec{v}.

La suma de vectores es súper práctica: para sumar u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}, coloca el segundo vector donde termina el primero. El resultado es el vector que va desde el inicio del primero hasta el final del segundo. Es como seguir indicaciones: "ve 3 pasos al norte, luego 2 al este".

Consejo para el examen: Siempre dibuja los vectores cuando hagas sumas. ¡Te ayudará a visualizar el resultado!

--- OCR Start --- Geometría analítica TEMA 6 Existen algunas magnitudes físicas como pueden ser la fuerza, el desplazamiento, la velocidad..

Dependencia lineal y bases del plano

¿Cuándo son "parecidos" los vectores? Cuando uno se puede expresar como múltiplo del otro. Los vectores linealmente dependientes van en la misma dirección, mientras que los linealmente independientes tienen direcciones diferentes.

En el plano solo necesitas dos vectores con direcciones distintas para formar una base. Es como tener dos ingredientes básicos con los que puedes "cocinar" cualquier otro vector. Una base B=u⃗,v⃗B = {\vec{u}, \vec{v}} te permite expresar cualquier vector w⃗\vec{w} como w⃗=au⃗+bv⃗\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}, donde aa y bb son las componentes del vector.

La base canónica es especial: está formada por i⃗=(1,0)\vec{i} = (1, 0) y j⃗=(0,1)\vec{j} = (0, 1). Con esta base, cualquier vector se escribe simplemente como u⃗=(u1,u2)\vec{u} = (u_1, u_2), donde u1u_1 y u2u_2 son sus coordenadas. ¡Es la más fácil de usar!

Truco matemático: Si tres o más vectores están en el plano, siempre serán linealmente dependientes. ¡El plano solo tiene dos dimensiones!

--- OCR Start --- Geometría analítica TEMA 6 Existen algunas magnitudes físicas como pueden ser la fuerza, el desplazamiento, la velocidad..

Coordenadas de vectores y puntos clave

Calcular las coordenadas de un vector AB⃗\vec{AB} es más fácil de lo que parece: simplemente resta las coordenadas del origen a las del extremo. Si A = (a1,a2)(a_1, a_2) y B = (b1,b2)(b_1, b_2), entonces AB⃗=(b1−a1,b2−a2)\vec{AB} = (b_1 - a_1, b_2 - a_2). ¡Como restar en una resta normal!

El punto medio de un segmento AB se calcula promediando las coordenadas: M=(a1+b12,a2+b22)M = \left(\frac{a_1 + b_1}{2}, \frac{a_2 + b_2}{2}\right). Es el punto que está exactamente a mitad de camino entre A y B.

Para saber si tres puntos están alineados, comprueba si los vectores que forman son proporcionales. Los puntos A, B y C están en línea recta si b1−a1c1−b1=b2−a2c2−b2\frac{b_1 - a_1}{c_1 - b_1} = \frac{b_2 - a_2}{c_2 - b_2}. Si esta igualdad se cumple, los tres puntos forman una línea perfecta.

Aplicación práctica: Los GPS usan estos cálculos para determinar rutas y distancias entre ubicaciones.

--- OCR Start --- Geometría analítica TEMA 6 Existen algunas magnitudes físicas como pueden ser la fuerza, el desplazamiento, la velocidad..

Producto escalar: Cuando los vectores se "multiplican"

El producto escalar es una operación súper útil que combina dos vectores para darnos un número. Se define como u⃗⋅v⃗=∣u⃗∣∣v⃗∣cos⁡α\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}| \cos \alpha, donde α es el ángulo entre los vectores. No te da otro vector, ¡te da un número real!

Las propiedades del producto escalar son tus mejores aliadas: es conmutativo $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$, distributivo respecto a la suma, y cumple que u⃗⋅u⃗=∣u⃗∣2\vec{u} \cdot \vec{u} = |\vec{u}|^2. Además, si dos vectores son perpendiculares, su producto escalar es cero.

En coordenadas, el cálculo es súper directo: si u⃗=(u1,u2)\vec{u} = (u_1, u_2) y v⃗=(v1,v2)\vec{v} = (v_1, v_2), entonces u⃗⋅v⃗=u1v1+u2v2\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2. ¡Solo multiplicas coordenadas correspondientes y sumas!

¡Importante! El producto escalar te dice si dos vectores son perpendiculares: si el resultado es cero, forman 90 grados.

--- OCR Start --- Geometría analítica TEMA 6 Existen algunas magnitudes físicas como pueden ser la fuerza, el desplazamiento, la velocidad..

Ángulos y proyecciones vectoriales

¿Quieres calcular el ángulo entre dos vectores? Usa la fórmula del producto escalar: α=arccos⁡(u1v1+u2v2u12+u22v12+v22)\alpha = \arccos \left(\frac{u_1v_1 + u_2v_2}{\sqrt{u_1^2 + u_2^2}\sqrt{v_1^2 + v_2^2}}\right). Parece complicada, pero es solo reorganizar lo que ya sabes.

La proyección ortogonal de u⃗\vec{u} sobre v⃗\vec{v} es como la "sombra" que proyecta u⃗\vec{u} sobre la dirección de v⃗\vec{v}. Su módulo se calcula con |proy_\vec{v}\vec{u}| = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{v}|}. El sentido depende del ángulo: si es agudo, va en la misma dirección que v⃗\vec{v}; si es obtuso, en la contraria.

Esta proyección es clave para entender cómo se "descompone" un vector en una dirección específica. Es como calcular cuánta fuerza aplicas realmente en la dirección que te interesa.

Visualízalo: Imagina la sombra que proyecta un palo sobre el suelo cuando le da el sol. Esa sombra es la proyección del palo sobre el suelo.

--- OCR Start --- Geometría analítica TEMA 6 Existen algunas magnitudes físicas como pueden ser la fuerza, el desplazamiento, la velocidad..

Ecuaciones de la recta: Múltiples formas, mismo concepto

Una recta se puede expresar de varias maneras, y todas son útiles según la situación. La ecuación punto-pendiente y−a2=m(x−a1)y - a_2 = m(x - a_1) es perfecta cuando conoces un punto y la pendiente m=u2u1m = \frac{u_2}{u_1} (que es la tangente del ángulo con el eje horizontal).

La ecuación explícita y=mx+ny = mx + n es la más familiar: mm sigue siendo la pendiente y nn es la ordenada en el origen (donde la recta corta el eje Y). Es ideal para dibujar gráficas rápidamente.

Si tienes dos puntos A(a1,a2)(a_1, a_2) y B(b1,b2)(b_1, b_2), puedes hallar la ecuación explícita sustituyendo ambos puntos y resolviendo el sistema: {a2=m⋅a1+n b2=m⋅b1+n\begin{cases} a_2 = m \cdot a_1 + n \ b_2 = m \cdot b_1 + n \end{cases}

Truco del examen: La pendiente te dice si la recta sube (pendiente positiva), baja (negativa) o es horizontal (pendiente cero).

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Ecuaciones general y normal de la recta

La ecuación general Ax+By+C=0Ax + By + C = 0 es súper versátil porque sirve para cualquier tipo de recta, incluso las verticales (que no tienen ecuación explícita). Para convertirla a explícita, despeja la yy: y=−ABx−CBy = -\frac{A}{B}x - \frac{C}{B}, así que m=−ABm = -\frac{A}{B} y n=−CBn = -\frac{C}{B}.

Un detalle genial: si tu recta tiene ecuación Ax+By+C=0Ax + By + C = 0, entonces u⃗=(−B,A)\vec{u} = (-B, A) es un vector director y n⃗=(A,B)\vec{n} = (A, B) es un vector normal (perpendicular a la recta).

La ecuación normal A(x−a1)+B(y−a2)=0A(x - a_1) + B(y - a_2) = 0 usa esta perpendicularidad: un punto P(x,y)(x, y) está en la recta si el vector AP⃗\vec{AP} es perpendicular al vector normal. Es una forma elegante de expresar la misma idea.

Conexión importante: El vector normal es perpendicular a la recta, así que su producto escalar con cualquier vector director es cero.

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Posiciones relativas y ángulos entre rectas

¿Cómo se relacionan dos rectas? Para rectas en forma general r:Ax+By+C=0r: Ax + By + C = 0 y s:A′x+B′y+C′=0s: A'x + B'y + C' = 0, compara los coeficientes: si AA′=BB′=CC′\frac{A}{A'} = \frac{B}{B'} = \frac{C}{C'} son coincidentes; si AA′=BB′≠CC′\frac{A}{A'} = \frac{B}{B'} \neq \frac{C}{C'} son paralelas; si AA′≠BB′\frac{A}{A'} \neq \frac{B}{B'} son secantes.

También puedes resolver el sistema de ecuaciones: una solución significa rectas secantes, ninguna solución indica rectas paralelas, e infinitas soluciones señalan rectas coincidentes.

El ángulo entre dos rectas secantes es el menor de los cuatro ángulos que forman. Puedes calcularlo usando sus vectores directores: cos⁡α=∣u⃗⋅v⃗∣∣u⃗∣∣v⃗∣\cos \alpha = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}||\vec{v}|}. Con pendientes, usa tan⁡α=∣m1−m21+m1m2∣\tan \alpha = \left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}\right|.

Recuerda: Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es -1, o si sus vectores directores tienen producto escalar cero.

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Distancias: De puntos a rectas y entre rectas

La distancia de un punto P(p1,p2)(p_1, p_2) a una recta r:Ax+By+C=0r: Ax + By + C = 0 tiene una fórmula directa: d(P,r)=∣Ap1+Bp2+C∣A2+B2d(P, r) = \frac{|Ap_1 + Bp_2 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}. Solo sustituyes las coordenadas del punto en la ecuación de la recta y divides por la raíz de la suma de cuadrados de los coeficientes.

Para la distancia entre dos rectas paralelas r:Ax+By+C=0r: Ax + By + C = 0 y s:Ax+By+C′=0s: Ax + By + C' = 0 (con los mismos coeficientes A y B), usa: d(r,s)=∣C′−C∣A2+B2d(r, s) = \frac{|C' - C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}. Si las rectas son secantes o coincidentes, la distancia es cero.

Estos cálculos son fundamentales en problemas de optimización: encontrar el punto más cercano, calcular áreas de figuras geométricas, o resolver problemas de ingeniería donde las distancias mínimas son cruciales.

Aplicación real: Los arquitectos usan estos cálculos para determinar distancias de seguridad entre estructuras y para optimizar espacios en sus diseños.



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Pablo

usuario de iOS

Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elena

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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

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Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!

Sophia

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Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!

Marta

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La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.

Izan

usuario de iOS

¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!

Sara

usuaria de Android

En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

usuario de Android

Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.

Julyana

usuaria de Android

Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.

Javier

usuario de Android

Sinceramente me ha salvado los estudios. Recomiendo la aplicación 100%.

Erick

usuario de Android

Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!

Mar

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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

Pablo

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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elena

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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

Ana

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Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!

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La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.

Izan

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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!

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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

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Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.

Julyana

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Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.

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Sinceramente me ha salvado los estudios. Recomiendo la aplicación 100%.

Erick

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Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!

Mar

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Vectores y producto escalar

Los vectores

 

Matemáticas

•

1629

•

18 nov 2025

•

41 páginas

Introducción a la Geometría Analítica

P

Paula Sánchez Fernández

@paulasnchezfernndez_katw

¡Es hora de descubrir cómo las matemáticas nos ayudan a entender el mundo físico! Los vectores no son solo líneas con flechas: representan fuerzas, velocidades y movimientos que experimentas cada día. Vamos a explorar la geometría analítica de forma práctica... Mostrar más

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Vectores en el plano: Más que simples flechas

¿Sabías que cuando empujas una puerta, no solo importa cuánta fuerza haces, sino también en qué dirección? Eso es exactamente lo que representan los vectores: magnitudes que necesitan dirección y sentido, como la fuerza, la velocidad o el desplazamiento.

Un vector fijo AB⃗\vec{AB} es un segmento orientado que va del punto A al punto B, como una flecha que te indica el camino. Tiene cinco elementos clave que debes recordar: el origen (punto de partida), el extremo (punto de llegada), el módulo (la distancia entre ambos puntos, siempre positiva), la dirección (la recta que los contiene) y el sentido (hacia dónde apunta la flecha).

El vector nulo es especial: su origen y extremo coinciden, tiene módulo 0 y no tiene dirección ni sentido definidos.

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Los vectores equipolentes son iguales aunque no estén en la misma posición. Cada vector fijo que forma parte de un vector libre se llama representante. Para distinguirlos de los vectores fijos, los vectores libres se escriben con letras minúsculas como u⃗\vec{u} o v⃗\vec{v}.

La suma de vectores es súper práctica: para sumar u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}, coloca el segundo vector donde termina el primero. El resultado es el vector que va desde el inicio del primero hasta el final del segundo. Es como seguir indicaciones: "ve 3 pasos al norte, luego 2 al este".

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Dependencia lineal y bases del plano

¿Cuándo son "parecidos" los vectores? Cuando uno se puede expresar como múltiplo del otro. Los vectores linealmente dependientes van en la misma dirección, mientras que los linealmente independientes tienen direcciones diferentes.

En el plano solo necesitas dos vectores con direcciones distintas para formar una base. Es como tener dos ingredientes básicos con los que puedes "cocinar" cualquier otro vector. Una base B=u⃗,v⃗B = {\vec{u}, \vec{v}} te permite expresar cualquier vector w⃗\vec{w} como w⃗=au⃗+bv⃗\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}, donde aa y bb son las componentes del vector.

La base canónica es especial: está formada por i⃗=(1,0)\vec{i} = (1, 0) y j⃗=(0,1)\vec{j} = (0, 1). Con esta base, cualquier vector se escribe simplemente como u⃗=(u1,u2)\vec{u} = (u_1, u_2), donde u1u_1 y u2u_2 son sus coordenadas. ¡Es la más fácil de usar!

Truco matemático: Si tres o más vectores están en el plano, siempre serán linealmente dependientes. ¡El plano solo tiene dos dimensiones!

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Coordenadas de vectores y puntos clave

Calcular las coordenadas de un vector AB⃗\vec{AB} es más fácil de lo que parece: simplemente resta las coordenadas del origen a las del extremo. Si A = (a1,a2)(a_1, a_2) y B = (b1,b2)(b_1, b_2), entonces AB⃗=(b1−a1,b2−a2)\vec{AB} = (b_1 - a_1, b_2 - a_2). ¡Como restar en una resta normal!

El punto medio de un segmento AB se calcula promediando las coordenadas: M=(a1+b12,a2+b22)M = \left(\frac{a_1 + b_1}{2}, \frac{a_2 + b_2}{2}\right). Es el punto que está exactamente a mitad de camino entre A y B.

Para saber si tres puntos están alineados, comprueba si los vectores que forman son proporcionales. Los puntos A, B y C están en línea recta si b1−a1c1−b1=b2−a2c2−b2\frac{b_1 - a_1}{c_1 - b_1} = \frac{b_2 - a_2}{c_2 - b_2}. Si esta igualdad se cumple, los tres puntos forman una línea perfecta.

Aplicación práctica: Los GPS usan estos cálculos para determinar rutas y distancias entre ubicaciones.

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Producto escalar: Cuando los vectores se "multiplican"

El producto escalar es una operación súper útil que combina dos vectores para darnos un número. Se define como u⃗⋅v⃗=∣u⃗∣∣v⃗∣cos⁡α\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}| \cos \alpha, donde α es el ángulo entre los vectores. No te da otro vector, ¡te da un número real!

Las propiedades del producto escalar son tus mejores aliadas: es conmutativo $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$, distributivo respecto a la suma, y cumple que u⃗⋅u⃗=∣u⃗∣2\vec{u} \cdot \vec{u} = |\vec{u}|^2. Además, si dos vectores son perpendiculares, su producto escalar es cero.

En coordenadas, el cálculo es súper directo: si u⃗=(u1,u2)\vec{u} = (u_1, u_2) y v⃗=(v1,v2)\vec{v} = (v_1, v_2), entonces u⃗⋅v⃗=u1v1+u2v2\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2. ¡Solo multiplicas coordenadas correspondientes y sumas!

¡Importante! El producto escalar te dice si dos vectores son perpendiculares: si el resultado es cero, forman 90 grados.

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¿Quieres calcular el ángulo entre dos vectores? Usa la fórmula del producto escalar: α=arccos⁡(u1v1+u2v2u12+u22v12+v22)\alpha = \arccos \left(\frac{u_1v_1 + u_2v_2}{\sqrt{u_1^2 + u_2^2}\sqrt{v_1^2 + v_2^2}}\right). Parece complicada, pero es solo reorganizar lo que ya sabes.

La proyección ortogonal de u⃗\vec{u} sobre v⃗\vec{v} es como la "sombra" que proyecta u⃗\vec{u} sobre la dirección de v⃗\vec{v}. Su módulo se calcula con |proy_\vec{v}\vec{u}| = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{v}|}. El sentido depende del ángulo: si es agudo, va en la misma dirección que v⃗\vec{v}; si es obtuso, en la contraria.

Esta proyección es clave para entender cómo se "descompone" un vector en una dirección específica. Es como calcular cuánta fuerza aplicas realmente en la dirección que te interesa.

Visualízalo: Imagina la sombra que proyecta un palo sobre el suelo cuando le da el sol. Esa sombra es la proyección del palo sobre el suelo.

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Ecuaciones de la recta: Múltiples formas, mismo concepto

Una recta se puede expresar de varias maneras, y todas son útiles según la situación. La ecuación punto-pendiente y−a2=m(x−a1)y - a_2 = m(x - a_1) es perfecta cuando conoces un punto y la pendiente m=u2u1m = \frac{u_2}{u_1} (que es la tangente del ángulo con el eje horizontal).

La ecuación explícita y=mx+ny = mx + n es la más familiar: mm sigue siendo la pendiente y nn es la ordenada en el origen (donde la recta corta el eje Y). Es ideal para dibujar gráficas rápidamente.

Si tienes dos puntos A(a1,a2)(a_1, a_2) y B(b1,b2)(b_1, b_2), puedes hallar la ecuación explícita sustituyendo ambos puntos y resolviendo el sistema: {a2=m⋅a1+n b2=m⋅b1+n\begin{cases} a_2 = m \cdot a_1 + n \ b_2 = m \cdot b_1 + n \end{cases}

Truco del examen: La pendiente te dice si la recta sube (pendiente positiva), baja (negativa) o es horizontal (pendiente cero).

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Ecuaciones general y normal de la recta

La ecuación general Ax+By+C=0Ax + By + C = 0 es súper versátil porque sirve para cualquier tipo de recta, incluso las verticales (que no tienen ecuación explícita). Para convertirla a explícita, despeja la yy: y=−ABx−CBy = -\frac{A}{B}x - \frac{C}{B}, así que m=−ABm = -\frac{A}{B} y n=−CBn = -\frac{C}{B}.

Un detalle genial: si tu recta tiene ecuación Ax+By+C=0Ax + By + C = 0, entonces u⃗=(−B,A)\vec{u} = (-B, A) es un vector director y n⃗=(A,B)\vec{n} = (A, B) es un vector normal (perpendicular a la recta).

La ecuación normal A(x−a1)+B(y−a2)=0A(x - a_1) + B(y - a_2) = 0 usa esta perpendicularidad: un punto P(x,y)(x, y) está en la recta si el vector AP⃗\vec{AP} es perpendicular al vector normal. Es una forma elegante de expresar la misma idea.

Conexión importante: El vector normal es perpendicular a la recta, así que su producto escalar con cualquier vector director es cero.

--- OCR Start --- Geometría analítica TEMA 6 Existen algunas magnitudes físicas como pueden ser la fuerza, el desplazamiento, la velocidad..

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Posiciones relativas y ángulos entre rectas

¿Cómo se relacionan dos rectas? Para rectas en forma general r:Ax+By+C=0r: Ax + By + C = 0 y s:A′x+B′y+C′=0s: A'x + B'y + C' = 0, compara los coeficientes: si AA′=BB′=CC′\frac{A}{A'} = \frac{B}{B'} = \frac{C}{C'} son coincidentes; si AA′=BB′≠CC′\frac{A}{A'} = \frac{B}{B'} \neq \frac{C}{C'} son paralelas; si AA′≠BB′\frac{A}{A'} \neq \frac{B}{B'} son secantes.

También puedes resolver el sistema de ecuaciones: una solución significa rectas secantes, ninguna solución indica rectas paralelas, e infinitas soluciones señalan rectas coincidentes.

El ángulo entre dos rectas secantes es el menor de los cuatro ángulos que forman. Puedes calcularlo usando sus vectores directores: cos⁡α=∣u⃗⋅v⃗∣∣u⃗∣∣v⃗∣\cos \alpha = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}||\vec{v}|}. Con pendientes, usa tan⁡α=∣m1−m21+m1m2∣\tan \alpha = \left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}\right|.

Recuerda: Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es -1, o si sus vectores directores tienen producto escalar cero.

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Distancias: De puntos a rectas y entre rectas

La distancia de un punto P(p1,p2)(p_1, p_2) a una recta r:Ax+By+C=0r: Ax + By + C = 0 tiene una fórmula directa: d(P,r)=∣Ap1+Bp2+C∣A2+B2d(P, r) = \frac{|Ap_1 + Bp_2 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}. Solo sustituyes las coordenadas del punto en la ecuación de la recta y divides por la raíz de la suma de cuadrados de los coeficientes.

Para la distancia entre dos rectas paralelas r:Ax+By+C=0r: Ax + By + C = 0 y s:Ax+By+C′=0s: Ax + By + C' = 0 (con los mismos coeficientes A y B), usa: d(r,s)=∣C′−C∣A2+B2d(r, s) = \frac{|C' - C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}. Si las rectas son secantes o coincidentes, la distancia es cero.

Estos cálculos son fundamentales en problemas de optimización: encontrar el punto más cercano, calcular áreas de figuras geométricas, o resolver problemas de ingeniería donde las distancias mínimas son cruciales.

Aplicación real: Los arquitectos usan estos cálculos para determinar distancias de seguridad entre estructuras y para optimizar espacios en sus diseños.

Pensamos que nunca lo preguntarías...

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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

Pablo

usuario de iOS

Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elena

usuaria de Android

Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

Ana

usuaria de iOS

Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!

Sophia

usuario de Android

Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!

Marta

usuaria de Android

La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.

Izan

usuario de iOS

¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!

Sara

usuaria de Android

En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

usuario de Android

Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.

Julyana

usuaria de Android

Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.

Javier

usuario de Android

Sinceramente me ha salvado los estudios. Recomiendo la aplicación 100%.

Erick

usuario de Android

Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!

Mar

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