Funciones Reales y Operaciones Básicas

Las funciones reales de variable real son como máquinas que transforman números: introduces un valor x y obtienes un resultado y = f(x). Lo más importante es identificar el dominio, que son todos los valores de x que puedes usar sin que la función "se rompa".

Por ejemplo, si tienes f(x) = x², puedes usar cualquier número real, así que Dom f(x) = ℝ. Pero si tienes g(x) = 1/x, no puedes usar x = 0 porque dividirías entre cero, entonces Dom g(x) = ℝ - {0}.

Con las funciones puedes hacer operaciones básicas: sumar $s(x) = f(x) + g(x)$, restar, multiplicar y dividir. También puedes crear funciones compuestas como (f∘g)(x) = f[g(x)], donde aplicas primero g y luego f al resultado.

¡Ojo! La gráfica de una función es el conjunto de todos los puntos (x, y) donde x pertenece al dominio. ¡Es la representación visual de cómo se comporta tu función!

Límites y Continuidad de Funciones

Un límite te dice hacia dónde se dirige una función cuando x se acerca a un valor específico. Escribimos lim f(x) = b cuando x→a, y significa que f(x) se aproxima a b conforme x se acerca a a.

A veces necesitas calcular límites laterales: por la izquierda (x→a⁻) y por la derecha (x→a⁺). Si ambos límites existen y son iguales, entonces existe el límite en ese punto.

Una función es continua en un punto x = a si se cumplen tres condiciones: que exista el límite, que exista f(a), y que ambos sean iguales. Es decir, lim f(x) = f(a) cuando x→a.

Las discontinuidades pueden ser evitables (cuando el límite existe pero no coincide con f(a)) o inevitables (de salto finito o infinito).

Truco: Para comprobar continuidad, dibuja la función sin levantar el lápiz del papel. Si puedes hacerlo, ¡es continua!

Límites Infinitos e Indeterminaciones

Los límites infinitos aparecen cuando el denominador de una fracción se acerca a cero. En estos casos, calcula límites laterales para ver si la función tiende a +∞ o -∞.

Los límites en el infinito siguen la regla de grados: en fracciones de polinomios, el comportamiento depende del grado del numerador y denominador. Si tienen el mismo grado, el límite es el cociente de los coeficientes principales.

Las indeterminaciones como 0/0 o ∞-∞ requieren técnicas especiales. Para 0/0, factoriza numerador y denominador. Para ∞-∞, opera la expresión antes de calcular el límite.

Los teoremas de Bolzano y valores intermedios garantizan que las funciones continuas tienen propiedades especiales: si cambian de signo en un intervalo, cruzan el eje x; si son continuas, toman todos los valores intermedios.

Aplicación práctica: Estos conceptos son esenciales en economía para analizar costos, beneficios y puntos de equilibrio en empresas.