Derivadas: Conceptos, Fórmulas y Ejercicios

Ejercicios resueltos de derivadas

¿Sabéis qué es lo mejor de las derivadas? Que la mayoría son aplicar fórmulas y ya está. Una vez que os sepáis las reglas básicas, estos ejercicios se hacen casi automáticamente.

Las funciones trigonométricas inversas como arctg tienen sus propias reglas. Por ejemplo, si tenéis f$x$ = arctg(2x), la derivada es 2/$1+(2x)²$. Fijaos que siempre aparece el "2" porque es la derivada de "2x".

Para los productos de funciones usáis la regla del producto: f'$x$·g$x$ + f$x$·g'$x$. En f$x$ = x²·tg$5x-1$, deriváis cada parte por separado y luego aplicáis la regla.

💡 Truco clave: Cuando tengáis funciones compuestas, siempre recordad multiplicar por la derivada de "lo de dentro". Es el error más típico.

Las funciones exponenciales como e^x se derivan igual, pero las del tipo a^x necesitan el ln$a$. Y para los logaritmos, recordad que ln$x$ se deriva como 1/x.

Asíntotas y funciones definidas a trozos

Las asíntotas os van a salir fijo en el examen, así que vamos a verlas clarito. Para f$x$ = $x³-8$/$x²-1$, primero buscáis dónde se anula el denominador para las asíntotas verticales.

Para las asíntotas horizontales, calculáis el límite cuando x tiende a infinito. Si sale un número, tenéis asíntota horizontal. Si sale infinito, no hay, pero puede haber oblicua.

Las asíntotas oblicuas tienen la forma y = mx + n. Calculáis m = lim$f(x)/x$ y luego n = lim$f(x) - mx$. Si m existe y es finito, seguís con n.

📊 Consejo de examen: Siempre empezad por el dominio de la función. Os ahorra tiempo después.

Para las funciones definidas a trozos, simplemente aplicáis cada fórmula en su intervalo correspondiente y hacéis una tabla de valores para cada trozo.

Las asíntotas verticales las encontráis en x = -1 y x = 1, porque ahí se anula el denominador. Calculáis los límites laterales para ver hacia dónde tienden.

Conceptos básicos: TVM, TVI y derivadas

¡Esto es súper importante para entender qué son realmente las derivadas! La Tasa de Variación Media (TVM) es como calcular la velocidad media de un coche en un trayecto.

La TVM entre dos puntos [a,b] se calcula como $f(b)-f(a)$/$b-a$. Es simplemente la pendiente de la recta que une esos dos puntos. Para f$x$ = 2x²-5x+7 en $-1,5$, sustituís y dividís por la diferencia de x.

La Tasa de Variación Instantánea (TVI) es la velocidad en un momento exacto. Se calcula como el límite: lim(h→0) $f(a+h)-f(a)$/h. Esto es exactamente la definición de derivada.

⚡ Dato importante: Geométricamente, f'$a$ es la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto x = a.

La derivada de una función f'$x$ os da la pendiente de la tangente en cualquier punto x. Para f$x$ = 2x²-3x+5, tenéis f'$x$ = 4x-3.

Si f'(4) = 13, significa que en x = 4, la recta tangente tiene pendiente 13. ¡Así de fácil!

Más ejercicios de derivación

Aquí tenéis una colección de ejercicios que cubren todas las reglas de derivación que necesitáis dominar. No os agobiéis, es cuestión de práctica.

Para las funciones exponenciales del tipo 5^$x²-2x$, la derivada es $2x-2$·5^$x²-2x$·ln(5). Siempre aparece el logaritmo natural de la base y la derivada del exponente.

Las funciones trigonométricas como sen$3x⁴-5x$ se derivan multiplicando por la derivada del argumento: $12x³-5$·cos$3x⁴-5x$. El seno se convierte en coseno y aparece la derivada de "lo de dentro".

🎯 Método infalible: Para funciones compuestas, derivad de fuera hacia dentro, como si fuesen capas de una cebolla.

Los productos f$x$·g$x$ siempre se derivan como f'$x$·g$x$ + f$x$·g'$x$. En x²·cos$3x-1$, tenéis 2x·cos$3x-1$ + x²·$-3sen(3x-1)$.

Las funciones racionales como 4/x se derivan como -4/x². Es una regla directa que os conviene memorizar.

Ejercicios avanzados de derivación

Estos ejercicios son un poco más complejos, pero siguiendo las reglas básicas que ya conocéis, se resuelven sin problemas. ¡Vais a ver que podéis con todo!

Para las funciones trigonométricas inversas como arccos$4x²-5$, recordad que la derivada es -8x/√$1-(4x²-5)²$. El signo negativo es importante.

Los productos de potencias como $x²-1$⁶$4x-2$⁴ requieren la regla del producto. Deriváis cada factor aplicando la regla de la cadena y luego sumáis.

💪 Sois capaces: Estos ejercicios parecen complicados, pero son las mismas reglas de siempre aplicadas con paciencia.

Para cocientes con raíces como $3x²-4$/√x, podéis usar la regla del cociente o reescribir √x como x^$1/2$ y usar la regla del producto.

Las exponenciales con funciones como e^-2x$$-3x²+5x se derivan con la regla del producto: derivada de la exponencial por la otra función más la exponencial por la derivada de la otra función.

Derivabilidad y continuidad

¡Ojo! Una función puede ser continua pero no derivable. Para que sea derivable en un punto, tiene que ser continua Y las derivadas laterales deben ser iguales.

Para funciones definidas a trozos, tenéis que comprobar los puntos de cambio. Primero verificáis la continuidad: f$a$ = límite por la izquierda = límite por la derecha.

Después comprobáis la derivabilidad: las derivadas laterales en x = a deben coincidir. Si f'(a⁻) ≠ f'(a⁺), la función no es derivable en ese punto.

🔍 Clave del éxito: En los puntos de cambio siempre hay que comprobar continuidad primero, luego derivabilidad.

En el ejemplo de la página, la función es continua en x = 1 porque los límites laterales coinciden. También es derivable porque f'(1⁻) = f'(1⁺) = 4.

Para x = 3 ni siquiera es continua (límites laterales distintos), así que no puede ser derivable. Una función no derivable en un punto puede seguir siendo derivable en el resto.

Recta tangente y recta normal

Las rectas tangente y normal son súper importantes y siempre caen en los exámenes. La buena noticia es que son fórmulas directas.

La recta tangente en x₀ tiene ecuación: y - f(x₀) = f'(x₀)·$x - x₀$. Necesitáis el punto (x₀, f(x₀)) y la pendiente f'(x₀).

La recta normal es perpendicular a la tangente, así que su pendiente es -1/f'(x₀). Su ecuación: y - f(x₀) = -1/f'(x₀)·$x - x₀$.

📐 Recordad: La tangente "toca" la curva, la normal es perpendicular a la tangente.

Para f$x$ = 3x²-5x+1 en x = 2, calculáis f(2) = 3 y f'(2) = 7. Entonces la recta tangente es y - 3 = 7$x - 2$.

Sistemas de ecuaciones para encontrar parámetros: cuando os piden hallar "a" y "b" para que sea derivable, montáis un sistema con las condiciones de continuidad y derivabilidad.

Monotonía y extremos relativos

¡Aquí viene lo bueno! Con la primera derivada podéis saber dónde crece y decrece una función, y encontrar sus máximos y mínimos.

Regla de oro: Si f'$x$ > 0, la función crece. Si f'$x$ < 0, la función decrece. Los extremos relativos están donde f'$x$ = 0.

Para estudiar la monotonía, igualáis f'$x$ = 0, encontráis los puntos críticos y estudiais el signo de f'$x$ en cada intervalo.

📈 Método sistemático: Haced una tabla con los intervalos, el signo de f'$x$ y la monotonía de f$x$.

En f$x$ = $x³-x²-3x+4$/3, tenéis f'$x$ = x²-2x-3. Igualando a cero: x = -1 y x = 3. Estudiáis el signo en $-∞,-1$, $-1,3$ y $3,+∞$.

Extremos relativos: Máximo en $-1, 17/3$ porque f'$x$ cambia de + a -. Mínimo en $3, -5$ porque f'$x$ cambia de - a +.

Curvatura y puntos de inflexión

La segunda derivada os dice si la función es convexa (∪) o cóncava (∩). Es como saber si la función "sonríe" o está "triste".

Reglas de curvatura: Si f''$x$ > 0, la función es convexa. Si f''$x$ < 0, la función es cóncava. Los puntos de inflexión están donde f''$x$ = 0.

Para f$x$ = $5x+8$/$x²+x+1$, calculáis f'$x$ y luego f''$x$. Los puntos donde f''$x$ = 0 son candidatos a puntos de inflexión.

🔄 Punto de inflexión: Es donde la función cambia de cóncava a convexa o viceversa.

Método completo: Igualáis f''$x$ = 0, encontráis los puntos y estudiais el signo de f''$x$ en cada intervalo. Donde cambie de signo, tenéis punto de inflexión.

En el ejemplo, estudiáis el signo de la segunda derivada para determinar los intervalos de concavidad y convexidad.

Extremos absolutos

Los extremos absolutos son los valores máximo y mínimo de la función en todo el intervalo dado. Son diferentes de los extremos relativos.

Método paso a paso: 1) Resolvéis f'$x$ = 0 y seleccionáis las raíces que están en [a,b]. 2) Evaluáis f$x$ en esos puntos Y en los extremos del intervalo. 3) El mayor valor es el máximo absoluto, el menor es el mínimo absoluto.

Para f$x$ = x⁴/4 - 5x³/3 + 2x² + 7 en $-4,3$, encontráis f'$x$ = 0 en x = 0, x = 1, x = 4. Como x = 4 no está en $-4,3$, no lo consideráis.

🎯 No olvidéis: Siempre evaluad la función en los extremos del intervalo. Ahí pueden estar los extremos absolutos.

Candidatos: x = -4, x = 0, x = 1, x = 3. Calculáis f$-4$, f(0), f(1), f(3) y comparáis los valores.

El máximo absoluto es el mayor de todos estos valores, y el mínimo absoluto es el menor. ¡Así de simple!