Matemáticas

Expresiones Racionales y Radicales

Expresión Radical

171

•

11 dic 2025

•

5 páginas

Examen de Matemáticas: Números Reales, Intervalos y Más

Júlia Mas Gallén

@juliaaa.mg_

¿Te has preguntado alguna vez por qué necesitamos tantos tipos... Mostrar más

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Resumen tema 1
NOMBRES REALS #2
Q 4'5 7.3
71-27
-2
I
N-naturals: 1,2,3,4.5....
6
2 → enters: 1.-1.2,-2,3.-3...
IN √64 5
√√√3
Q→ racionals: d

Conjuntos Numéricos y Operaciones Básicas

Los números reales se clasifican en varios grupos que ya conoces pero ahora vas a usar de forma más avanzada. Los naturales (N) son 1, 2, 3..., los enteros (Z) incluyen negativos, los racionales (Q) son decimales exactos o periódicos, y los irracionales (II) como π o √3 tienen decimales infinitos no periódicos.

El valor absoluto |x| siempre da resultado positivo. Si |x| = 5, entonces x puede ser 5 o -5. Los intervalos te permiten expresar rangos de números: $a,b$ incluye los extremos (cerrado), mientras que (a,b) los excluye (abierto).

Las propiedades de las potencias son fundamentales para todo lo que viene después. Recuerda especialmente que $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$ y que $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ . Estas reglas funcionan siempre, sin excepciones.

¡Tip importante! Las propiedades de potencias son la base para entender radicales y logaritmos. Si las dominas bien ahora, todo lo demás será mucho más fácil.

Radicales: Operaciones y Simplificación

Los radicales no son más que otra forma de escribir potencias: $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$ . Esta conexión te permite aplicar todas las propiedades que ya conoces de las potencias a los radicales.

Para sumar y restar radicales, solo puedes hacerlo si tienen el mismo índice y radicando. Por ejemplo: $\sqrt{2} + \sqrt{8} = \sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$ . Primero simplifica cada radical por separado.

Racionalizar significa eliminar radicales del denominador. Para $\frac{5}{\sqrt{2}}$ , multiplicas por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ . Si tienes sumas o restas como $\frac{5}{1-\sqrt{2}}$ , usa el conjugado: multiplica por $\frac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}$ .

¡Truco para exámenes! Siempre busca factorizar antes de operar con radicales. Es más fácil trabajar con $\sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$ que con $\sqrt{8}$ .

Logaritmos y Progresiones

Los logaritmos responden a la pregunta: "¿A qué potencia debo elevar la base para obtener este número?". Si $\log_2 8 = 3$ , es porque $2^3 = 8$ . Las propiedades principales transforman multiplicaciones en sumas: $\log_a (M \cdot N) = \log_a M + \log_a N$ .

Las progresiones aritméticas tienen una diferencia constante entre términos consecutivos. Su término general es $a_n = a_1 + (n-1)d$ y la suma de n términos es $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$ .

Las progresiones geométricas multiplican por una razón constante. Su término general es $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$ y la suma es $S_n = \frac{a_n \cdot r - a_1}{r-1}$ . Son muy útiles para problemas de crecimiento exponencial.

¡Conecta conceptos! Los logaritmos son el "inverso" de las potencias, igual que la resta es el inverso de la suma. Esta relación te ayudará a resolver ecuaciones exponenciales.

Ejercicios Prácticos: Consolidando Conceptos

Estos ejercicios combinan todo lo que has aprendido. Para simplificar expresiones como $\sqrt{32} - \sqrt{18} + \sqrt{12}$ , primero factoriza: $\sqrt{16 \cdot 2} - \sqrt{9 \cdot 2} + \sqrt{4 \cdot 3} = 4\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}$ .

Los problemas de logaritmos requieren que apliques la definición básica. Para resolver $\log_2 64 = x$ , piensa: "¿2 elevado a qué potencia da 64?". Como $2^6 = 64$ , entonces $x = 6$ .

Los problemas de progresiones aparecen frecuentemente en situaciones reales. Si cuatro hermanos tienen edades en progresión aritmética y suman 32 años, planteas el sistema con $a_1, a_1+d, a_1+2d, a_1+3d$ donde la suma total es 32.

¡Estrategia de resolución! Lee el problema dos veces, identifica qué tipo de progresión es, escribe los datos conocidos y aplica las fórmulas correspondientes.

Límites y Aplicaciones Avanzadas

Los límites de sucesiones te preparan para el cálculo. Para $\lim_{n\to\infty} \frac{4n^3-5n}{2n^3-2}$ , divide numerador y denominador por la mayor potencia de n $undefined$ : obtienes $\frac{4-\frac{5}{n^2}}{2-\frac{2}{n^3}}$ , que tiende a $\frac{4}{2} = 2$ .

Las ecuaciones logarítmicas más complejas requieren manipulación algebraica. Para $\log_3 \frac{\sqrt{27}}{9} = x$ , primero simplifica: $\frac{\sqrt{27}}{9} = \frac{3\sqrt{3}}{9} = \frac{\sqrt{3}}{3} = 3^{-1/2}$ , así que $x = -\frac{1}{2}$ .

Los problemas de progresiones geométricas a menudo requieren sistema de ecuaciones. Si $a_{15} = 512$ y $a_{10} = 16$ , usas que $a_{15} = a_{10} \cdot r^5$ , por lo tanto $512 = 16 \cdot r^5$ , dando $r = 2$ .

¡Preparándote para bachillerato! Estos conceptos son la base para funciones exponenciales y logarítmicas que estudiarás el próximo curso. Domínalos ahora y tendrás ventaja.

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