Todo sobre Límites: Conceptos y Ejercicios

Concepto de límites y operaciones

Los límites nos permiten estudiar el comportamiento de una función cuando x se acerca a un valor concreto o al infinito. Un límite puede ser un número real, infinito positivo o infinito negativo.

Para que el límite exista en un punto c, los límites laterales deben coincidir:

lim f(x) = lim f(x) = L
x→c⁺    x→c⁻

Al operar con límites, se aplican reglas básicas como:

• El límite de una suma es la suma de los límites
• El límite de un cociente es el cociente de los límites (siempre que el denominador no sea cero)

💡 Consejo práctico: Cuando evalúes límites al infinito de funciones racionales, compara el grado del numerador con el denominador: si es mayor, el límite es infinito; si es igual, el límite es el cociente de los coeficientes principales; si es menor, el límite es cero.

En operaciones con infinitos, recuerda estas propiedades:

• (+∞) + c = +∞
• (+∞) · (-∞) = -∞
• c/(±∞) = 0

Comparación de infinitos e indeterminaciones

Al comparar crecimientos de funciones al infinito, se cumple que los logaritmos crecen más lentamente que las potencias, y éstas más lentamente que las funciones exponenciales:

Log < Pot < Exp

Las indeterminaciones son expresiones límite que no pueden resolverse directamente. Las más comunes son:

• ∞/∞
• 0/0
• ∞·0
• ∞-∞
• 1^∞

Para resolver indeterminaciones del tipo ∞-∞ existen varias estrategias:

1. Análisis directo: identificar qué término crece más rápido
2. Operaciones algebraicas: factorizar, simplificar o buscar denominador común
3. Racionalización: multiplicar por expresiones conjugadas

🔍 Atención: La racionalización es especialmente útil en límites con radicales como lim$√(x²-x) - x$, donde necesitamos transformar la diferencia en una fracción.

Ejemplo: Para resolver lim$√(x²-x) - x$ cuando x→+∞, racionalizamos multiplicando por $√(x²-x) + x$/$√(x²-x) + x$, obteniendo -1/2.

Límites al infinito negativo y continuidad

El comportamiento de las funciones cuando x→-∞ depende del tipo de función:

• Los polinomios tienden a +∞ o -∞ según el grado y el signo del término principal
• Las funciones exponenciales como 2^x tienden a 0 cuando x→-∞

Una función es continua en un punto a si y solo si:

lim f(x) = lim f(x) = f(a)
x→a⁻    x→a⁺

Existen tres tipos principales de discontinuidades:

• Discontinuidad evitable: los límites laterales coinciden pero no con el valor de la función
• Discontinuidad de salto finito: los límites laterales existen pero son diferentes
• Discontinuidad infinita: alguno de los límites laterales es infinito

🧩 Recuerda: Verificar la continuidad de una función requiere tres condiciones: que la función esté definida en el punto, que exista el límite en ese punto, y que ambos valores coincidan.

La continuidad es fundamental para aplicar teoremas importantes del cálculo y para modelar fenómenos físicos que no presentan "saltos".

Límites en un punto y resolución de indeterminaciones

Para evaluar un límite cuando x→c, primero intentamos sustituir directamente el valor. Si obtenemos una indeterminación, debemos aplicar técnicas algebraicas.

La indeterminación 0/0 suele resolverse factorizando:

lim (x²-4)/(x³+2x²+5x+10) cuando x→-2

Se puede factorizar como:

lim (x+2)(x-2)/(x+2)(x²+5) = lim (x-2)/(x²+5) = -4/9

Para indeterminaciones ∞-∞, es útil buscar un denominador común:

lim [(x²-6)/(x-3) - 1/(x-3)] = lim [(x²-6-x)/(x(x-3))]

La indeterminación 1^∞ requiere técnicas especiales como el uso de logaritmos:

lim [(x²-4x-10)/(x-4)]^(1/6) cuando x→4

🔆 Importante: En funciones definidas por partes, debemos evaluar los límites laterales por separado y comprobar si coinciden para determinar si existe el límite en el punto de unión.

Al resolver indeterminaciones, es clave identificar el tipo específico y aplicar la técnica adecuada: factorización para 0/0, denominador común para ∞-∞, y racionalización para diferencias con radicales.