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Todo sobre Límites: Conceptos y Ejercicios

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S

Sofia Jiménez

10/11/2025

Matemáticas

TEMA 1: LÍMITES

Matemáticas

Límites de Funciones y Asíntotas

límite

246

•

10 nov 2025

•

4 páginas

Todo sobre Límites: Conceptos y Ejercicios

S

Sofia Jiménez

@sofiliez

El estudio de límites es fundamental para entender el comportamiento... Mostrar más

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# TEMA 1: LIMITES Idea de límite $y=f(x)$ lim F(x) = e x→+00 lion F(x) = +00 x→00 lim F(x) = -0∞ x→+08 eim f(x) = $\n lim F(x) = e li

Concepto de límites y operaciones

Los límites nos permiten estudiar el comportamiento de una función cuando x se acerca a un valor concreto o al infinito. Un límite puede ser un número real, infinito positivo o infinito negativo.

Para que el límite exista en un punto c, los límites laterales deben coincidir:

lim f(x) = lim f(x) = L
x→c⁺    x→c⁻

Al operar con límites, se aplican reglas básicas como:

  • El límite de una suma es la suma de los límites
  • El límite de un cociente es el cociente de los límites (siempre que el denominador no sea cero)

💡 Consejo práctico: Cuando evalúes límites al infinito de funciones racionales, compara el grado del numerador con el denominador: si es mayor, el límite es infinito; si es igual, el límite es el cociente de los coeficientes principales; si es menor, el límite es cero.

En operaciones con infinitos, recuerda estas propiedades:

  • (+∞) + c = +∞
  • (+∞) · (-∞) = -∞
  • c/(±∞) = 0
# TEMA 1: LIMITES Idea de límite $y=f(x)$ lim F(x) = e x→+00 lion F(x) = +00 x→00 lim F(x) = -0∞ x→+08 eim f(x) = $\n lim F(x) = e li

Comparación de infinitos e indeterminaciones

Al comparar crecimientos de funciones al infinito, se cumple que los logaritmos crecen más lentamente que las potencias, y éstas más lentamente que las funciones exponenciales:

Log < Pot < Exp

Las indeterminaciones son expresiones límite que no pueden resolverse directamente. Las más comunes son:

  • ∞/∞
  • 0/0
  • ∞·0
  • ∞-∞
  • 1^∞

Para resolver indeterminaciones del tipo ∞-∞ existen varias estrategias:

  1. Análisis directo: identificar qué término crece más rápido
  2. Operaciones algebraicas: factorizar, simplificar o buscar denominador común
  3. Racionalización: multiplicar por expresiones conjugadas

🔍 Atención: La racionalización es especialmente útil en límites con radicales como lim√(x2−x)−x√(x²-x) - x, donde necesitamos transformar la diferencia en una fracción.

Ejemplo: Para resolver lim√(x2−x)−x√(x²-x) - x cuando x→+∞, racionalizamos multiplicando por √(x2−x)+x√(x²-x) + x/√(x2−x)+x√(x²-x) + x, obteniendo -1/2.

# TEMA 1: LIMITES Idea de límite $y=f(x)$ lim F(x) = e x→+00 lion F(x) = +00 x→00 lim F(x) = -0∞ x→+08 eim f(x) = $\n lim F(x) = e li

Límites al infinito negativo y continuidad

El comportamiento de las funciones cuando x→-∞ depende del tipo de función:

  • Los polinomios tienden a +∞ o -∞ según el grado y el signo del término principal
  • Las funciones exponenciales como 2^x tienden a 0 cuando x→-∞

Una función es continua en un punto a si y solo si:

lim f(x) = lim f(x) = f(a)
x→a⁻    x→a⁺

Existen tres tipos principales de discontinuidades:

  • Discontinuidad evitable: los límites laterales coinciden pero no con el valor de la función
  • Discontinuidad de salto finito: los límites laterales existen pero son diferentes
  • Discontinuidad infinita: alguno de los límites laterales es infinito

🧩 Recuerda: Verificar la continuidad de una función requiere tres condiciones: que la función esté definida en el punto, que exista el límite en ese punto, y que ambos valores coincidan.

La continuidad es fundamental para aplicar teoremas importantes del cálculo y para modelar fenómenos físicos que no presentan "saltos".

# TEMA 1: LIMITES Idea de límite $y=f(x)$ lim F(x) = e x→+00 lion F(x) = +00 x→00 lim F(x) = -0∞ x→+08 eim f(x) = $\n lim F(x) = e li

Límites en un punto y resolución de indeterminaciones

Para evaluar un límite cuando x→c, primero intentamos sustituir directamente el valor. Si obtenemos una indeterminación, debemos aplicar técnicas algebraicas.

La indeterminación 0/0 suele resolverse factorizando:

lim (x²-4)/(x³+2x²+5x+10) cuando x→-2

Se puede factorizar como:

lim (x+2)(x-2)/(x+2)(x²+5) = lim (x-2)/(x²+5) = -4/9

Para indeterminaciones ∞-∞, es útil buscar un denominador común:

lim [(x²-6)/(x-3) - 1/(x-3)] = lim [(x²-6-x)/(x(x-3))]

La indeterminación 1^∞ requiere técnicas especiales como el uso de logaritmos:

lim [(x²-4x-10)/(x-4)]^(1/6) cuando x→4

🔆 Importante: En funciones definidas por partes, debemos evaluar los límites laterales por separado y comprobar si coinciden para determinar si existe el límite en el punto de unión.

Al resolver indeterminaciones, es clave identificar el tipo específico y aplicar la técnica adecuada: factorización para 0/0, denominador común para ∞-∞, y racionalización para diferencias con radicales.



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Google Play

La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

Pablo

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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elena

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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

Ana

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Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!

Sophia

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Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!

Marta

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La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.

Izan

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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!

Sara

usuaria de Android

En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

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Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.

Julyana

usuaria de Android

Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.

Javier

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Sinceramente me ha salvado los estudios. Recomiendo la aplicación 100%.

Erick

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Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!

Mar

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Marta

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Izan

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Límites de Funciones y Asíntotas

límite

 

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•

246

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10 nov 2025

•

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S

Sofia Jiménez

@sofiliez

El estudio de límites es fundamental para entender el comportamiento de funciones matemáticas. Este concepto nos permite analizar hacia dónde tiende una función cuando la variable independiente se acerca a cierto valor o al infinito, siendo la base del cálculo... Mostrar más

# TEMA 1: LIMITES Idea de límite $y=f(x)$ lim F(x) = e x→+00 lion F(x) = +00 x→00 lim F(x) = -0∞ x→+08 eim f(x) = $\n lim F(x) = e li

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Concepto de límites y operaciones

Los límites nos permiten estudiar el comportamiento de una función cuando x se acerca a un valor concreto o al infinito. Un límite puede ser un número real, infinito positivo o infinito negativo.

Para que el límite exista en un punto c, los límites laterales deben coincidir:

lim f(x) = lim f(x) = L
x→c⁺    x→c⁻

Al operar con límites, se aplican reglas básicas como:

  • El límite de una suma es la suma de los límites
  • El límite de un cociente es el cociente de los límites (siempre que el denominador no sea cero)

💡 Consejo práctico: Cuando evalúes límites al infinito de funciones racionales, compara el grado del numerador con el denominador: si es mayor, el límite es infinito; si es igual, el límite es el cociente de los coeficientes principales; si es menor, el límite es cero.

En operaciones con infinitos, recuerda estas propiedades:

  • (+∞) + c = +∞
  • (+∞) · (-∞) = -∞
  • c/(±∞) = 0
# TEMA 1: LIMITES Idea de límite $y=f(x)$ lim F(x) = e x→+00 lion F(x) = +00 x→00 lim F(x) = -0∞ x→+08 eim f(x) = $\n lim F(x) = e li

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Comparación de infinitos e indeterminaciones

Al comparar crecimientos de funciones al infinito, se cumple que los logaritmos crecen más lentamente que las potencias, y éstas más lentamente que las funciones exponenciales:

Log < Pot < Exp

Las indeterminaciones son expresiones límite que no pueden resolverse directamente. Las más comunes son:

  • ∞/∞
  • 0/0
  • ∞·0
  • ∞-∞
  • 1^∞

Para resolver indeterminaciones del tipo ∞-∞ existen varias estrategias:

  1. Análisis directo: identificar qué término crece más rápido
  2. Operaciones algebraicas: factorizar, simplificar o buscar denominador común
  3. Racionalización: multiplicar por expresiones conjugadas

🔍 Atención: La racionalización es especialmente útil en límites con radicales como lim√(x2−x)−x√(x²-x) - x, donde necesitamos transformar la diferencia en una fracción.

Ejemplo: Para resolver lim√(x2−x)−x√(x²-x) - x cuando x→+∞, racionalizamos multiplicando por √(x2−x)+x√(x²-x) + x/√(x2−x)+x√(x²-x) + x, obteniendo -1/2.

# TEMA 1: LIMITES Idea de límite $y=f(x)$ lim F(x) = e x→+00 lion F(x) = +00 x→00 lim F(x) = -0∞ x→+08 eim f(x) = $\n lim F(x) = e li

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Límites al infinito negativo y continuidad

El comportamiento de las funciones cuando x→-∞ depende del tipo de función:

  • Los polinomios tienden a +∞ o -∞ según el grado y el signo del término principal
  • Las funciones exponenciales como 2^x tienden a 0 cuando x→-∞

Una función es continua en un punto a si y solo si:

lim f(x) = lim f(x) = f(a)
x→a⁻    x→a⁺

Existen tres tipos principales de discontinuidades:

  • Discontinuidad evitable: los límites laterales coinciden pero no con el valor de la función
  • Discontinuidad de salto finito: los límites laterales existen pero son diferentes
  • Discontinuidad infinita: alguno de los límites laterales es infinito

🧩 Recuerda: Verificar la continuidad de una función requiere tres condiciones: que la función esté definida en el punto, que exista el límite en ese punto, y que ambos valores coincidan.

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Límites en un punto y resolución de indeterminaciones

Para evaluar un límite cuando x→c, primero intentamos sustituir directamente el valor. Si obtenemos una indeterminación, debemos aplicar técnicas algebraicas.

La indeterminación 0/0 suele resolverse factorizando:

lim (x²-4)/(x³+2x²+5x+10) cuando x→-2

Se puede factorizar como:

lim (x+2)(x-2)/(x+2)(x²+5) = lim (x-2)/(x²+5) = -4/9

Para indeterminaciones ∞-∞, es útil buscar un denominador común:

lim [(x²-6)/(x-3) - 1/(x-3)] = lim [(x²-6-x)/(x(x-3))]

La indeterminación 1^∞ requiere técnicas especiales como el uso de logaritmos:

lim [(x²-4x-10)/(x-4)]^(1/6) cuando x→4

🔆 Importante: En funciones definidas por partes, debemos evaluar los límites laterales por separado y comprobar si coinciden para determinar si existe el límite en el punto de unión.

Al resolver indeterminaciones, es clave identificar el tipo específico y aplicar la técnica adecuada: factorización para 0/0, denominador común para ∞-∞, y racionalización para diferencias con radicales.

Pensamos que nunca lo preguntarías...

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4.8/5

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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

Pablo

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Elena

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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

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Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!

Marta

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La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.

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Sinceramente me ha salvado los estudios. Recomiendo la aplicación 100%.

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