Las integrales son una herramienta fundamental del cálculo que te...
Matemáticas1033 visualizaciones·Actualizado 4 sept 2026·3 páginasEjercicios Resueltos de Integrales para 2° Bachillerato y EBAU
Leyre Martínez@lelemartinez
1 / 3
1
of 3
Conceptos Básicos y Propiedades de las Integrales
¿Alguna vez te has preguntado cómo "deshacer" una derivada? Eso es exactamente lo que hacen las integrales indefinidas. Una primitiva de una función f es simplemente otra función F que cuando la derivas te devuelve la función original.
La notación es bastante directa: ∫ fdx = F + C. Esa constante C siempre aparece porque al derivar una constante obtienes cero, así que puede haber infinitas primitivas que se diferencien solo en una constante.
Las propiedades básicas son tu mejor aliado. Puedes separar sumas y restas: ∫(f ± g)dx se convierte en ∫fdx ± ∫gdx. También puedes sacar constantes fuera de la integral: ∫k·fdx = k·∫fdx.
Truco clave: Siempre verifica tu resultado derivando la primitiva que has encontrado. Si obtienes la función original, ¡has acertado!
2
of 3
Integrales Inmediatas y Ejemplos Prácticos
Las integrales inmediatas son fórmulas que debes memorizar porque aparecen constantemente. La más importante es ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/ + C, que funciona para cualquier exponente excepto -1.
Para casos especiales: ∫dx = ln|x| + C y ∫eˣdx = eˣ + C. También tienes la útil fórmula ∫f'/fdx = ln|f| + C, que te salva cuando tienes una fracción donde el numerador es la derivada del denominador.
Los ejemplos muestran el patrón: en ∫6x⁵dx obtienes x⁶ + C, y en ∫4/x⁴dx primero reescribes como ∫4x⁻⁴dx para aplicar la fórmula de la potencia. Con fracciones como ∫x/dx, reconoces que necesitas un factor 2 en el numerador y usas ½∫2x/dx = ½ln|1+x²| + C.
Consejo de oro: Si ves una fracción, fíjate si el numerador es (o puede convertirse en) la derivada del denominador. ¡Te ahorrará muchísimo tiempo!
3
of 3
Integración por Cambio de Variable
El cambio de variable es tu herramienta secreta cuando las integrales se complican. Es como hacer un truco de magia: transformas una integral difícil en una fácil cambiando las variables.
La técnica es directa: identificas una parte de la función que puedes sustituir por una nueva variable t. En ∫⁵dx, haces t = 2x+1, entonces dt = 2dx, y la integral se convierte en ∫t⁵ = t⁶/12 = ⁶/12 + C.
Otro ejemplo clásico: ∫1/√dx. Sustituyes t = x+2, entonces dt = dx, y obtienes ∫t⁻¹/²dt = 2√t = 2√ + C. Al final siempre debes volver a la variable original.
Estrategia ganadora: Busca expresiones dentro de paréntesis, bajo radicales, o en exponentes. Esas suelen ser buenas candidatas para el cambio de variable.
Pensamos que nunca lo preguntarías...
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
Sí, tienes acceso gratuito a los contenidos de la aplicación y a nuestro compañero de IA. Para desbloquear determinadas funciones de la aplicación, puedes adquirir Knowunity Pro.
Contenido similar
Contenidos más populares: Constante de Integración (C)
1Contenidos más populares de Matemáticas
9MatemáticasMATEMÁTICAS I
Todas las matemáticas de 1° de bachillerato
1° Bach51515
MatemáticasTrigonometría
Matemáticas 1BACH
1° Bach2,81361
MatemáticasMATES CIENCIAS 1 BACHILLERATO
APUNTES MATES CIENCIAS 1 BACHILLERATO
1° Bach1,84166
MatemáticasMatemáticas II (análisis) 2Bach
Primera parte de los apuntes de todo el temario de matemáticas II de cara a la PAU. Nota PAU: 10
1° Bach2,33076
MatemáticasFunciones, límites y continuidad
Apuntes de funciones, límites y continuidad para 1-2 Bachillerato
1° Bach7,874229
MatemáticasMatemática todo el curso
Casi todo el curso d primero d bachiller d mates
1° Bach94519
MatemáticasMatemáticas 2 Bachillerato completo (con probabilidad)
Resumen completo de todos los temas de mates,
2° Bach33,7363,195
MatemáticasPotencias
Que son las matemáticas
5º primaria80312
MatemáticasTrigonométria 1 bach
Apuntes de trigonometria de 1 bachillerato con todas las fórmulas posibles a usar.
4° ESO2,94741
Contenidos más populares
9
OtrosCarnet Conducir
Apuntes permiso de conducir tipo B
2° Bach9,224233
Tips de estudioApuntes teorico carnet de conducir ACTUALIZADO
sacate el teorico con estos apuntes!!!
2° Bach5,454151
OtrosApuntes examen teórico de coche
Os dejo por aquí apuntes hechos por mi de lo imprescindible para obtener el apto en el examen teórico del permiso b.
PAU (2° Bach)7,607192
OtrosApuntes Teorico Permiso B
Examen Teorico del Coche
2° Bach5,333115
OtrosResumen completo carnet de conducir B – Esquemas y teoría explicada (40 pág)
Resumen claro, directo y actualizado con todo lo que entra en el examen teórico del carnet B. Incluye definiciones, señales, velocidades, maniobras, luces, ADAS, documentación y trucos para aprobar. Ideal para repasar rápido y entender todo.
2° Bach6,769192
InglésINGLÉS B1 (Cambridge)
Apuntes para preparación B1 (completo)
4° ESO11,4071,469
OtrosTeórico Coche B 2026
Teoría de el Coche B
2° Bach2,06639
InglésInglés B2 (Parte 1)
Estos apuntes, cuenta con parte de grammar, vocabulary, writing. Estos apuntes te preparan muy bien para los exámenes y además te responden a cualquier duda que tengas ya que son bastante extensos en la mayoría de contenidos.
4° ESO5,018388
InglésTiempos verbales en inglés
Están los tiempos verbales desde el presente, el pasado y el futuro
2° Bach2,40956
Mira lo que dicen nuestros usuarios. Les encanta - y a tí también.
4.6/5App Store
4.7/5Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablousuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elenausuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Anausuaria de iOS
Matemáticas1033 visualizaciones·Actualizado 4 sept 2026·3 páginasEjercicios Resueltos de Integrales para 2° Bachillerato y EBAU
Leyre Martínez@lelemartinez
Las integrales son una herramienta fundamental del cálculo que te permite encontrar funciones originales a partir de sus derivadas. Básicamente, son el proceso inverso a la derivación y te van a ser súper útiles en muchos problemas matemáticos y físicos.
1
of 3
Inscríbete para ver los apuntes. ¡Es gratis!
- Acceso a todos los documentos
- Mejora tus notas
- Únete a millones de estudiantes
Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.
Conceptos Básicos y Propiedades de las Integrales
¿Alguna vez te has preguntado cómo "deshacer" una derivada? Eso es exactamente lo que hacen las integrales indefinidas. Una primitiva de una función f es simplemente otra función F que cuando la derivas te devuelve la función original.
La notación es bastante directa: ∫ fdx = F + C. Esa constante C siempre aparece porque al derivar una constante obtienes cero, así que puede haber infinitas primitivas que se diferencien solo en una constante.
Las propiedades básicas son tu mejor aliado. Puedes separar sumas y restas: ∫(f ± g)dx se convierte en ∫fdx ± ∫gdx. También puedes sacar constantes fuera de la integral: ∫k·fdx = k·∫fdx.
Truco clave: Siempre verifica tu resultado derivando la primitiva que has encontrado. Si obtienes la función original, ¡has acertado!
2
of 3Inscríbete para ver los apuntes. ¡Es gratis!
- Acceso a todos los documentos
- Mejora tus notas
- Únete a millones de estudiantes
Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.
Integrales Inmediatas y Ejemplos Prácticos
Las integrales inmediatas son fórmulas que debes memorizar porque aparecen constantemente. La más importante es ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/ + C, que funciona para cualquier exponente excepto -1.
Para casos especiales: ∫dx = ln|x| + C y ∫eˣdx = eˣ + C. También tienes la útil fórmula ∫f'/fdx = ln|f| + C, que te salva cuando tienes una fracción donde el numerador es la derivada del denominador.
Los ejemplos muestran el patrón: en ∫6x⁵dx obtienes x⁶ + C, y en ∫4/x⁴dx primero reescribes como ∫4x⁻⁴dx para aplicar la fórmula de la potencia. Con fracciones como ∫x/dx, reconoces que necesitas un factor 2 en el numerador y usas ½∫2x/dx = ½ln|1+x²| + C.
Consejo de oro: Si ves una fracción, fíjate si el numerador es (o puede convertirse en) la derivada del denominador. ¡Te ahorrará muchísimo tiempo!
3
of 3Inscríbete para ver los apuntes. ¡Es gratis!
- Acceso a todos los documentos
- Mejora tus notas
- Únete a millones de estudiantes
Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.
Integración por Cambio de Variable
El cambio de variable es tu herramienta secreta cuando las integrales se complican. Es como hacer un truco de magia: transformas una integral difícil en una fácil cambiando las variables.
La técnica es directa: identificas una parte de la función que puedes sustituir por una nueva variable t. En ∫⁵dx, haces t = 2x+1, entonces dt = 2dx, y la integral se convierte en ∫t⁵ = t⁶/12 = ⁶/12 + C.
Otro ejemplo clásico: ∫1/√dx. Sustituyes t = x+2, entonces dt = dx, y obtienes ∫t⁻¹/²dt = 2√t = 2√ + C. Al final siempre debes volver a la variable original.
Estrategia ganadora: Busca expresiones dentro de paréntesis, bajo radicales, o en exponentes. Esas suelen ser buenas candidatas para el cambio de variable.
Pensamos que nunca lo preguntarías...
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
Sí, tienes acceso gratuito a los contenidos de la aplicación y a nuestro compañero de IA. Para desbloquear determinadas funciones de la aplicación, puedes adquirir Knowunity Pro.
Contenido similar
Contenidos más populares: Constante de Integración (C)
1Contenidos más populares de Matemáticas
9MatemáticasMATEMÁTICAS I
Todas las matemáticas de 1° de bachillerato
1° Bach51515
MatemáticasTrigonometría
Matemáticas 1BACH
1° Bach2,81361
MatemáticasMATES CIENCIAS 1 BACHILLERATO
APUNTES MATES CIENCIAS 1 BACHILLERATO
1° Bach1,84166
MatemáticasMatemáticas II (análisis) 2Bach
Primera parte de los apuntes de todo el temario de matemáticas II de cara a la PAU. Nota PAU: 10
1° Bach2,33076
MatemáticasFunciones, límites y continuidad
Apuntes de funciones, límites y continuidad para 1-2 Bachillerato
1° Bach7,874229
MatemáticasMatemática todo el curso
Casi todo el curso d primero d bachiller d mates
1° Bach94519
MatemáticasMatemáticas 2 Bachillerato completo (con probabilidad)
Resumen completo de todos los temas de mates,
2° Bach33,7363,195
MatemáticasPotencias
Que son las matemáticas
5º primaria80312
MatemáticasTrigonométria 1 bach
Apuntes de trigonometria de 1 bachillerato con todas las fórmulas posibles a usar.
4° ESO2,94741
Contenidos más populares
9OtrosCarnet Conducir
Apuntes permiso de conducir tipo B
2° Bach9,224233
Tips de estudioApuntes teorico carnet de conducir ACTUALIZADO
sacate el teorico con estos apuntes!!!
2° Bach5,454151
OtrosApuntes examen teórico de coche
Os dejo por aquí apuntes hechos por mi de lo imprescindible para obtener el apto en el examen teórico del permiso b.
PAU (2° Bach)7,607192
OtrosApuntes Teorico Permiso B
Examen Teorico del Coche
2° Bach5,333115
OtrosResumen completo carnet de conducir B – Esquemas y teoría explicada (40 pág)
Resumen claro, directo y actualizado con todo lo que entra en el examen teórico del carnet B. Incluye definiciones, señales, velocidades, maniobras, luces, ADAS, documentación y trucos para aprobar. Ideal para repasar rápido y entender todo.
2° Bach6,769192
InglésINGLÉS B1 (Cambridge)
Apuntes para preparación B1 (completo)
4° ESO11,4071,469
OtrosTeórico Coche B 2026
Teoría de el Coche B
2° Bach2,06639
InglésInglés B2 (Parte 1)
Estos apuntes, cuenta con parte de grammar, vocabulary, writing. Estos apuntes te preparan muy bien para los exámenes y además te responden a cualquier duda que tengas ya que son bastante extensos en la mayoría de contenidos.
4° ESO5,018388
InglésTiempos verbales en inglés
Están los tiempos verbales desde el presente, el pasado y el futuro
2° Bach2,40956
Mira lo que dicen nuestros usuarios. Les encanta - y a tí también.
4.6/5App Store
4.7/5Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablousuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elenausuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Anausuaria de iOS