Las integrales son una herramienta fundamental del cálculo que te...
Matemáticas1031 visualizaciones·Actualizado 6 jul 2026·3 páginasEjercicios Resueltos de Integrales para 2° Bachillerato y EBAU
Leyre Martínez@lelemartinez
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Conceptos Básicos y Propiedades de las Integrales
¿Alguna vez te has preguntado cómo "deshacer" una derivada? Eso es exactamente lo que hacen las integrales indefinidas. Una primitiva de una función f es simplemente otra función F que cuando la derivas te devuelve la función original.
La notación es bastante directa: ∫ fdx = F + C. Esa constante C siempre aparece porque al derivar una constante obtienes cero, así que puede haber infinitas primitivas que se diferencien solo en una constante.
Las propiedades básicas son tu mejor aliado. Puedes separar sumas y restas: ∫(f ± g)dx se convierte en ∫fdx ± ∫gdx. También puedes sacar constantes fuera de la integral: ∫k·fdx = k·∫fdx.
Truco clave: Siempre verifica tu resultado derivando la primitiva que has encontrado. Si obtienes la función original, ¡has acertado!
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Integrales Inmediatas y Ejemplos Prácticos
Las integrales inmediatas son fórmulas que debes memorizar porque aparecen constantemente. La más importante es ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/ + C, que funciona para cualquier exponente excepto -1.
Para casos especiales: ∫dx = ln|x| + C y ∫eˣdx = eˣ + C. También tienes la útil fórmula ∫f'/fdx = ln|f| + C, que te salva cuando tienes una fracción donde el numerador es la derivada del denominador.
Los ejemplos muestran el patrón: en ∫6x⁵dx obtienes x⁶ + C, y en ∫4/x⁴dx primero reescribes como ∫4x⁻⁴dx para aplicar la fórmula de la potencia. Con fracciones como ∫x/dx, reconoces que necesitas un factor 2 en el numerador y usas ½∫2x/dx = ½ln|1+x²| + C.
Consejo de oro: Si ves una fracción, fíjate si el numerador es (o puede convertirse en) la derivada del denominador. ¡Te ahorrará muchísimo tiempo!
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Integración por Cambio de Variable
El cambio de variable es tu herramienta secreta cuando las integrales se complican. Es como hacer un truco de magia: transformas una integral difícil en una fácil cambiando las variables.
La técnica es directa: identificas una parte de la función que puedes sustituir por una nueva variable t. En ∫⁵dx, haces t = 2x+1, entonces dt = 2dx, y la integral se convierte en ∫t⁵ = t⁶/12 = ⁶/12 + C.
Otro ejemplo clásico: ∫1/√dx. Sustituyes t = x+2, entonces dt = dx, y obtienes ∫t⁻¹/²dt = 2√t = 2√ + C. Al final siempre debes volver a la variable original.
Estrategia ganadora: Busca expresiones dentro de paréntesis, bajo radicales, o en exponentes. Esas suelen ser buenas candidatas para el cambio de variable.
Pensamos que nunca lo preguntarías...
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Mira lo que dicen nuestros usuarios. Les encanta - y a tí también.
4.6/5App Store
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
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Leyre Martínez@lelemartinez
Las integrales son una herramienta fundamental del cálculo que te permite encontrar funciones originales a partir de sus derivadas. Básicamente, son el proceso inverso a la derivación y te van a ser súper útiles en muchos problemas matemáticos y físicos.
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Conceptos Básicos y Propiedades de las Integrales
¿Alguna vez te has preguntado cómo "deshacer" una derivada? Eso es exactamente lo que hacen las integrales indefinidas. Una primitiva de una función f es simplemente otra función F que cuando la derivas te devuelve la función original.
La notación es bastante directa: ∫ fdx = F + C. Esa constante C siempre aparece porque al derivar una constante obtienes cero, así que puede haber infinitas primitivas que se diferencien solo en una constante.
Las propiedades básicas son tu mejor aliado. Puedes separar sumas y restas: ∫(f ± g)dx se convierte en ∫fdx ± ∫gdx. También puedes sacar constantes fuera de la integral: ∫k·fdx = k·∫fdx.
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Las integrales inmediatas son fórmulas que debes memorizar porque aparecen constantemente. La más importante es ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/ + C, que funciona para cualquier exponente excepto -1.
Para casos especiales: ∫dx = ln|x| + C y ∫eˣdx = eˣ + C. También tienes la útil fórmula ∫f'/fdx = ln|f| + C, que te salva cuando tienes una fracción donde el numerador es la derivada del denominador.
Los ejemplos muestran el patrón: en ∫6x⁵dx obtienes x⁶ + C, y en ∫4/x⁴dx primero reescribes como ∫4x⁻⁴dx para aplicar la fórmula de la potencia. Con fracciones como ∫x/dx, reconoces que necesitas un factor 2 en el numerador y usas ½∫2x/dx = ½ln|1+x²| + C.
Consejo de oro: Si ves una fracción, fíjate si el numerador es (o puede convertirse en) la derivada del denominador. ¡Te ahorrará muchísimo tiempo!
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El cambio de variable es tu herramienta secreta cuando las integrales se complican. Es como hacer un truco de magia: transformas una integral difícil en una fácil cambiando las variables.
La técnica es directa: identificas una parte de la función que puedes sustituir por una nueva variable t. En ∫⁵dx, haces t = 2x+1, entonces dt = 2dx, y la integral se convierte en ∫t⁵ = t⁶/12 = ⁶/12 + C.
Otro ejemplo clásico: ∫1/√dx. Sustituyes t = x+2, entonces dt = dx, y obtienes ∫t⁻¹/²dt = 2√t = 2√ + C. Al final siempre debes volver a la variable original.
Estrategia ganadora: Busca expresiones dentro de paréntesis, bajo radicales, o en exponentes. Esas suelen ser buenas candidatas para el cambio de variable.
Pensamos que nunca lo preguntarías...
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