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Matemáticas
9 dic 2025
815
3 páginas
Leyre Martínez @lelemartinez
Las integrales son una herramienta fundamental del cálculo que te permite encontrar funciones originales a partir de sus... Mostrar más
¿Alguna vez te has preguntado cómo "deshacer" una derivada? Eso es exactamente lo que hacen las integrales indefinidas. Una primitiva de una función f(x) es simplemente otra función F(x) que cuando la derivas te devuelve la función original.
La notación es bastante directa ∫ f(x)dx = F(x) + C. Esa constante C siempre aparece porque al derivar una constante obtienes cero, así que puede haber infinitas primitivas que se diferencien solo en una constante.
Las propiedades básicas son tu mejor aliado. Puedes separar sumas y restas ∫(f(x) ± g(x))dx se convierte en ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx. También puedes sacar constantes fuera de la integral ∫k·f(x)dx = k·∫f(x)dx.
Truco clave Siempre verifica tu resultado derivando la primitiva que has encontrado. Si obtienes la función original, ¡has acertado!
Las integrales inmediatas son fórmulas que debes memorizar porque aparecen constantemente. La más importante es ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/ + C, que funciona para cualquier exponente excepto -1.
Para casos especiales ∫dx = ln|x| + C y ∫eˣdx = eˣ + C. También tienes la útil fórmula ∫f'(x)/f(x)dx = ln|f(x)| + C, que te salva cuando tienes una fracción donde el numerador es la derivada del denominador.
Los ejemplos muestran el patrón en ∫6x⁵dx obtienes x⁶ + C, y en ∫4/x⁴dx primero reescribes como ∫4x⁻⁴dx para aplicar la fórmula de la potencia. Con fracciones como ∫x/dx, reconoces que necesitas un factor 2 en el numerador y usas ½∫2x/dx = ½ln|1+x²| + C.
Consejo de oro Si ves una fracción, fíjate si el numerador es (o puede convertirse en) la derivada del denominador. ¡Te ahorrará muchísimo tiempo!
El cambio de variable es tu herramienta secreta cuando las integrales se complican. Es como hacer un truco de magia transformas una integral difícil en una fácil cambiando las variables.
La técnica es directa identificas una parte de la función que puedes sustituir por una nueva variable t. En ∫⁵dx, haces t = 2x+1, entonces dt = 2dx, y la integral se convierte en ∫t⁵ = t⁶/12 = ⁶/12 + C.
Otro ejemplo clásico ∫1/√dx. Sustituyes t = x+2, entonces dt = dx, y obtienes ∫t⁻¹/²dt = 2√t = 2√ + C. Al final siempre debes volver a la variable original.
Estrategia ganadora Busca expresiones dentro de paréntesis, bajo radicales, o en exponentes. Esas suelen ser buenas candidatas para el cambio de variable.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
Sí, tienes acceso gratuito a los contenidos de la aplicación y a nuestro compañero de IA. Para desbloquear determinadas funciones de la aplicación, puedes adquirir Knowunity Pro.
6
Herramientas Inteligentes NUEVO
Transforma estos apuntes en: ✓ 50+ Preguntas de Práctica ✓ Flashcards Interactivas ✓ Examen Completo de Práctica ✓ Esquemas de Ensayo
Teoremas y definiciones del tema de la probabilidad
MatemáticasApuntes sobre el cálculo de capital inicial y final, dependiendo de si el interés es simple o compuesto, cálculo del montante…
MatemáticasTabla integrales inmediatas, por partes, racionales, cálculo de áreas
MatemáticasResumen de los temas 9 y 2 sobre funciones, incluyendo cortes con los ejes, simetría, asintotas, monotonicidad, puntos críticos, y curvatura.
MatemáticasApuntes desarrollados de límites
MatemáticasReglas de derivación
MatemáticasApp Store
Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
Sophia
usuario de Android
Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
usuaria de Android
La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
Izan
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.
Julyana
usuaria de Android
Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.
Javier
usuario de Android
Sinceramente me ha salvado los estudios. Recomiendo la aplicación 100%.
Erick
usuario de Android
Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
Mar
usuaria de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
Sophia
usuario de Android
Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
usuaria de Android
La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
Izan
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
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Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.
Julyana
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Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.
Javier
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Sinceramente me ha salvado los estudios. Recomiendo la aplicación 100%.
Erick
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Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
Mar
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Leyre Martínez
@lelemartinez
Las integrales son una herramienta fundamental del cálculo que te permite encontrar funciones originales a partir de sus derivadas. Básicamente, son el proceso inverso a la derivación y te van a ser súper útiles en muchos problemas matemáticos y físicos.
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¿Alguna vez te has preguntado cómo "deshacer" una derivada? Eso es exactamente lo que hacen las integrales indefinidas. Una primitiva de una función f(x) es simplemente otra función F(x) que cuando la derivas te devuelve la función original.
La notación es bastante directa: ∫ f(x)dx = F(x) + C. Esa constante C siempre aparece porque al derivar una constante obtienes cero, así que puede haber infinitas primitivas que se diferencien solo en una constante.
Las propiedades básicas son tu mejor aliado. Puedes separar sumas y restas: ∫(f(x) ± g(x))dx se convierte en ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx. También puedes sacar constantes fuera de la integral: ∫k·f(x)dx = k·∫f(x)dx.
Truco clave: Siempre verifica tu resultado derivando la primitiva que has encontrado. Si obtienes la función original, ¡has acertado!
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Los ejemplos muestran el patrón: en ∫6x⁵dx obtienes x⁶ + C, y en ∫4/x⁴dx primero reescribes como ∫4x⁻⁴dx para aplicar la fórmula de la potencia. Con fracciones como ∫x/dx, reconoces que necesitas un factor 2 en el numerador y usas ½∫2x/dx = ½ln|1+x²| + C.
Consejo de oro: Si ves una fracción, fíjate si el numerador es (o puede convertirse en) la derivada del denominador. ¡Te ahorrará muchísimo tiempo!
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El cambio de variable es tu herramienta secreta cuando las integrales se complican. Es como hacer un truco de magia: transformas una integral difícil en una fácil cambiando las variables.
La técnica es directa: identificas una parte de la función que puedes sustituir por una nueva variable t. En ∫⁵dx, haces t = 2x+1, entonces dt = 2dx, y la integral se convierte en ∫t⁵ = t⁶/12 = ⁶/12 + C.
Otro ejemplo clásico: ∫1/√dx. Sustituyes t = x+2, entonces dt = dx, y obtienes ∫t⁻¹/²dt = 2√t = 2√ + C. Al final siempre debes volver a la variable original.
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6
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Teoremas y definiciones del tema de la probabilidad
MatemáticasApuntes sobre el cálculo de capital inicial y final, dependiendo de si el interés es simple o compuesto, cálculo del montante…
MatemáticasTabla integrales inmediatas, por partes, racionales, cálculo de áreas
MatemáticasResumen de los temas 9 y 2 sobre funciones, incluyendo cortes con los ejes, simetría, asintotas, monotonicidad, puntos críticos, y curvatura.
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
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Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
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Julyana
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Sinceramente me ha salvado los estudios. Recomiendo la aplicación 100%.
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Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
Mar
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
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Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
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Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
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La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
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Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
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