Números Enteros y Racionales

Las operaciones con números enteros y racionales son fundamentales para avanzar en matemáticas. Estos ejercicios te ayudan a practicar la jerarquía de operaciones y el manejo de fracciones.

Para resolver ejercicios como $-5+4-12-(-3):3$, recuerda seguir el orden: primero paréntesis, después potencias, luego multiplicaciones y divisiones, y finalmente sumas y restas. Aplica correctamente las reglas de signos (cuando multiplicas o divides números con signos distintos, el resultado es negativo).

Al trabajar con fracciones, debes encontrar el denominador común antes de sumar o restar. Por ejemplo, para $4-\frac{3}{4}(\frac{3}{5}-\frac{1}{2})$, primero resuelve el paréntesis, luego multiplica y finalmente resta.

💡 Consejo práctico: Ante operaciones combinadas, organiza tu trabajo por pasos. Resuelve primero lo que está dentro de paréntesis, luego aplica potencias y raíces, después multiplica o divide, y finalmente suma o resta.

Problemas con Números Racionales

Los problemas con fracciones te permiten aplicar las matemáticas a situaciones reales. Dominarlos te dará herramientas para resolver cuestiones prácticas en tu vida cotidiana.

Para resolver estos problemas, convierte las situaciones en expresiones matemáticas. Por ejemplo, en el problema 2, si un depósito contiene 3000 litros y se vacían los $\frac{3}{8}$ del mismo, multiplicas: $3000 \times \frac{3}{8} = 1125$ litros vaciados. Entonces quedan $3000 - 1125 = 1875$ litros.

Cuando comparas velocidades como en el problema 3 (un motorista recorre 90 km en tres cuartos de hora y otro recorre 60 km en media hora), debes calcular la velocidad de cada uno:

• Primero: $90 \div \frac{3}{4} = 120$ km/h
• Segundo: $60 \div \frac{1}{2} = 120$ km/h

Los porcentajes se pueden trabajar como fracciones. Un 30% es equivalente a $\frac{30}{100}$ o $\frac{3}{10}$. Esto es útil para problemas como el 9 donde necesitas calcular cuántos alumnos cursan Bachillerato.

💡 Recuerda: Las fracciones son divisiones no efectuadas. Puedes convertir entre porcentajes, fracciones y decimales según lo que necesites para resolver el problema.

Más Problemas con Números Racionales

Estos problemas combinan distintos tipos de fracciones y porcentajes para situaciones más complejas. Son excelentes para prepararte para exámenes y desarrollar tu pensamiento lógico.

En el problema 11, tres amigos invierten dinero: el primero pone $\frac{2}{3}$ del total, el segundo $\frac{1}{4}$ del resto. Si planteas la ecuación correctamente, podrás calcular cuánto aporta cada uno y qué fracción corresponde al tercero.

Los problemas con porcentajes consecutivos requieren especial atención. En el problema 12, al aplicar primero un aumento del 30% y luego un descuento del 30% sobre el nuevo precio, no vuelves al precio original. Puedes comprobarlo con cálculos:

• Precio inicial: 1100€
• Después del aumento: $1100 + (0,3 \times 1100) = 1430€$
• Después del descuento: $1430 - (0,3 \times 1430) = 1001€$

En el problema 20, necesitas trabajar hacia atrás: si sobran 15 millones y representan lo que queda después de destinar porcentajes específicos, debes plantear ecuaciones para encontrar el total inicial.

💡 Truco matemático: En problemas de mezclas (como el 4 con pintura), asegúrate de que la suma de todas las fracciones sea igual a 1 (el total). Esto te ayuda a verificar tus cálculos.

Potencias y Notación Científica

Las potencias y la notación científica te permiten trabajar con números muy grandes o muy pequeños de forma más sencilla. Son especialmente importantes en ciencias.

Para simplificar expresiones como $(2^3)^4 \cdot 8^2$, recuerda estas propiedades:

• $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ → $(2^3)^4 = 2^{12}$
• $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ → $2^{12} \cdot 8^2 = 2^{12} \cdot 2^6 = 2^{18}$
• $a^m \div a^n = a^{m-n}$ → $5^5 \div 5^2 = 5^3$

Las potencias con exponente negativo significan inversos: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Por ejemplo, $3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.

La notación científica expresa números como producto de un número entre 1 y 10, y una potencia de 10: $4'23 \cdot 10^4 = 42.300$. Para multiplicar números en notación científica:

1. Multiplica las partes decimales
2. Suma los exponentes de las potencias de 10

💡 Importante: Al resolver expresiones con potencias, primero calcula las potencias con exponentes negativos transformándolas en fracciones, luego aplica las propiedades de potencias para simplificar antes de hacer operaciones.

Números Reales y Álgebra

Los números reales incluyen expresiones con raíces que necesitan técnicas específicas para operar con ellas. El álgebra nos ayuda a expresar relaciones matemáticas mediante variables.

Para simplificar raíces como $\sqrt{12} \cdot \sqrt{3} - \sqrt{2}$, recuerda:

• $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$
• $\sqrt{a} \div \sqrt{b} = \sqrt{\frac{a}{b}}$
• Si puedes, descompón el radicando para extraer factores: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$

La racionalización consiste en eliminar raíces del denominador multiplicando numerador y denominador por la misma expresión. Por ejemplo, para racionalizar $\frac{1}{\sqrt{3}}$, multiplicas por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ obteniendo $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

En álgebra, necesitas traducir frases al lenguaje matemático. Por ejemplo, "El triple de un número menos tres unidades" se escribe como $3x - 3$.

Los monomios son expresiones algebraicas con una única parte. Tienen:

• Coeficiente (número que multiplica)
• Parte literal (variables con sus exponentes)
• Grado (suma de los exponentes de las variables)

💡 Consejo: Al manipular raíces, intenta siempre simplificarlas primero. Busca factores cuadrados perfectos dentro de la raíz para extraerlos.

Ecuaciones

Las ecuaciones son herramientas poderosas para resolver problemas. Aprender a resolverlas correctamente te dará ventaja en muchas áreas de las matemáticas.

Para resolver ecuaciones de primer grado como $\frac{x-9}{3}-\frac{4-3x}{4}=\frac{2x+3}{3}$:

1. Elimina denominadores multiplicando toda la ecuación por el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores
2. Agrupa los términos con la incógnita a un lado y los términos independientes al otro
3. Despeja la incógnita

En ecuaciones de segundo grado como $(5-x)(x+3)=1$:

1. Desarrolla los productos y lleva todos los términos a un lado para obtener la forma $ax^2+bx+c=0$
2. Usa la fórmula general: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Las identidades notables son muy útiles para desarrollar expresiones como $(x-1)^2=(x-1)(x-1)=x^2-2x+1$. Las principales son:

• $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$
• $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$
• $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$

💡 Estrategia clave: En ecuaciones con fracciones, multiplica por el mcm de los denominadores para eliminarlos. Simplifica siempre que puedas antes de aplicar la fórmula cuadrática en ecuaciones de segundo grado.

Ecuaciones Especiales y Sistemas

Las ecuaciones con radicales y los sistemas de ecuaciones requieren técnicas especiales pero son muy útiles para resolver problemas complejos.

Para resolver ecuaciones con radicales como $\sqrt{x^2+x-2}-2x = 4$:

1. Aísla el radical: $\sqrt{x^2+x-2} = 2x+4$
2. Eleva ambos lados al cuadrado: $(x^2+x-2) = (2x+4)^2$
3. Desarrolla y resuelve la ecuación resultante
4. Comprueba las soluciones en la ecuación original (¡pueden aparecer soluciones falsas!)

En sistemas de ecuaciones como $\begin{cases} 3x-5y=8\2x + y = 1 \end{cases}$, puedes usar:

• Sustitución: despeja una variable en una ecuación y sustituye en la otra
• Igualación: despeja la misma variable en ambas ecuaciones y las igualas
• Reducción: multiplica ecuaciones para eliminar una variable al sumarlas

Las inecuaciones se resuelven de forma similar a las ecuaciones, pero dan intervalos de solución. Recuerda cambiar el sentido de la desigualdad cuando multiplicas o divides por números negativos.

💡 Atención: Al resolver ecuaciones con radicales, siempre verifica las soluciones en la ecuación original. Elevar al cuadrado puede introducir soluciones que no son válidas en la ecuación inicial.

Problemas con Sistemas de Ecuaciones

Los problemas algebraicos te permiten aplicar ecuaciones y sistemas para resolver situaciones reales. Dominarlos te ayudará a desarrollar tu pensamiento lógico y analítico.

Para resolver estos problemas:

1. Identifica las incógnitas y asigna variables (por ejemplo, x e y)
2. Traduce el enunciado a ecuaciones matemáticas
3. Resuelve el sistema de ecuaciones
4. Verifica las soluciones en el contexto del problema

Por ejemplo, en el problema 16 (un padre reparte 100€ dando 20€ más al hijo mayor):

• Sea x = dinero del hijo pequeño
• Sea y = dinero del hijo mayor
• Planteamos: $x + y = 100$ y $y = x + 20$
• Resolviendo: $x = 40$ y $y = 60$

En el problema 23 (conejos y gallinas con 58 cabezas y 168 patas):

• Sea x = número de conejos
• Sea y = número de gallinas
• Ecuaciones: $x + y = 58$ y $4x + 2y = 168$ (cada conejo tiene 4 patas, cada gallina 2)
• Solución: 26 conejos y 32 gallinas

💡 Estrategia útil: En problemas de mezclas, edades o distancias, dibuja un esquema para visualizar mejor la situación. En problemas de animales o personas con diferente número de patas/cabezas, cuenta el total de estos elementos para plantear las ecuaciones.

Más Problemas Algebraicos

Estos problemas aplican conceptos algebraicos a situaciones variadas. Son excelentes para preparar exámenes y desarrollar tu capacidad de razonamiento.

En el problema 32 (padre con triple edad que su hijo), plantearías:

• Sea h = edad del hijo
• Sea p = edad del padre
• Sabemos que p = 3h
• Si el padre tuviera 30 años menos y el hijo 8 más, tendrían la misma edad: p - 30 = h + 8
• Sustituyendo: 3h - 30 = h + 8
• Resolviendo: h = 19, p = 57

Para problemas de mezclas como el 35 (mezclar cafés de distintos precios):

• Sea x = kg del primer café
• Sea y = kg del segundo café
• Planteamos: x + y = 10 (total de la mezcla) y 6x + 9y = 7,20 × 10 (valor total)
• Resolución: 6 kg del primer café y 4 kg del segundo

El problema 38 (reparto de caramelos) requiere trabajar hacia atrás:

• Al tercer hijo le dan la mitad de lo que queda más uno, y ya no quedan más
• Si al tercer hijo le tocan z caramelos, entonces z = $w/2$ + 1, donde w es lo que quedaba
• Por tanto, w = 2$z-1$

💡 Consejo práctico: En problemas donde se hacen repartos sucesivos, a veces es más fácil empezar por el final y trabajar hacia atrás para encontrar el valor inicial.

Funciones - Interpretación de Gráficas

Las funciones son relaciones que asocian a cada valor de entrada un único valor de salida. Las gráficas de funciones nos permiten visualizar estas relaciones.

Al interpretar gráficas como la del autobús Bigastro-Orihuela-Bigastro:

• Los tramos horizontales representan paradas (la distancia no cambia durante un tiempo)
• Los tramos crecientes indican alejamiento de la estación central
• Los tramos decrecientes indican acercamiento a la estación central
• La pendiente de los tramos indica la velocidad $mayor pendiente = mayor velocidad$

La tasa de variación media (TVM) entre dos puntos (a,f(a)) y (b,f(b)) se calcula como: $$TVM$a,b$ = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

Esta tasa representa la velocidad media de cambio de la función en ese intervalo.

Para interpretar gráficas económicas, recuerda que:

• Los puntos de corte entre ingresos y gastos representan momentos de equilibrio (ni ganancias ni pérdidas)
• Los máximos y mínimos corresponden a puntos de mayor beneficio o mayor pérdida

💡 Clave interpretativa: Cuando analizas gráficas de movimiento, recuerda que la pendiente representa la velocidad y los cambios de pendiente indican aceleraciones o desaceleraciones.