Problemas de Optimización: Enunciados

Los problemas de optimización son fundamentales para aplicar el cálculo diferencial en situaciones cotidianas. Te presentamos varios ejercicios donde necesitarás maximizar o minimizar diferentes magnitudes.

Estos problemas van desde encontrar dos números cuyo producto sea máximo mientras cumplen ciertas condiciones, hasta calcular las dimensiones óptimas de campos, ventanas y paquetes. También verás aplicaciones prácticas como determinar cuándo debe un agricultor vender su cosecha para obtener el máximo beneficio.

Para resolver estos ejercicios, tendrás que identificar la función objetivo (la que queremos maximizar o minimizar) y las restricciones (condiciones que deben cumplirse). La estrategia habitual será expresar la función objetivo en términos de una sola variable usando las restricciones, calcular su derivada e igualarla a cero.

💡 Consejo clave: En la mayoría de estos problemas de optimización, la derivada segunda te ayudará a confirmar si has encontrado un máximo (si f''$x$ < 0) o un mínimo (si f''$x$ > 0).

Resolución de Problemas de Optimización (I)

Para encontrar dos números que sumen 20 con producto máximo, debemos traducir el problema a lenguaje matemático. Si llamamos x e y a los números, tenemos que x + y = 20 y queremos maximizar p = x·y.

Despejando y = 20 - x y sustituyendo en la función producto: p$x$ = x$20 - x$ = 20x - x². Ahora derivamos p'$x$ = 20 - 2x e igualamos a cero para encontrar puntos críticos: 20 - 2x = 0 → x = 10. Como p''$x$ = -2 < 0, confirmamos que es un máximo. Por tanto, los números son x = 10 e y = 10.

En el segundo problema buscamos dos números cuya suma sea 40, maximizando el producto del cuadrado de uno por el otro (x²·y). Siguiendo el mismo proceso:

1. Despejamos y = 40 - x
2. Sustituimos en p = x²·y obteniendo p$x$ = x²$40 - x$ = 40x² - x³
3. Derivamos: p'$x$ = 80x - 3x² = x$80 - 3x$
4. Igualamos a cero: p'$x$ = 0 → x = 0 o x = 80/3
5. Comprobamos: p''(0) = 80 > 0 (mínimo) y p''$80/3$ = -80 < 0 (máximo)

💡 Recuerda: Siempre verifica si los puntos críticos son máximos o mínimos calculando la segunda derivada. ¡Es esencial para no equivocarte!

Resolución de Problemas de Optimización (II)

Para encontrar las dimensiones de un campo rectangular de 3600 m² con perímetro mínimo, planteamos que su área es xy = 3600 y queremos minimizar P = 2x + 2y.

Despejando y = 3600/x y sustituyendo: P = 2x + 2$3600/x$ = 2x + 7200/x. Al derivar e igualar a cero, llegamos a x² = 3600, por lo que x = 60 m e y = 60 m. El campo óptimo es un cuadrado de 60 m de lado.

Para hallar el rectángulo de área máxima inscrito en una circunferencia de radio 5 cm, utilizamos que sus vértices están en la circunferencia, por lo que x² + y² = 25 (por el teorema de Pitágoras). Despejando y = √$25-x²$, el área será A$x$ = x·√$25-x²$.

Al derivar e igualar a cero, obtenemos que x² = 12,5, por lo que x = √12,5 ≈ 3,54 cm e y = √12,5 ≈ 3,54 cm. El rectángulo óptimo es un cuadrado.

💡 Observación importante: En muchos problemas de optimización con restricciones de área y perímetro, la solución óptima suele ser un cuadrado. Esto se debe a que entre todos los rectángulos de igual área, el cuadrado tiene el menor perímetro.

Resolución de Problemas de Optimización (III)

Para diseñar una hoja con 18 cm² de texto y márgenes de 2 cm (superior e inferior) y 1 cm (laterales), queremos minimizar el área total. Si x es el ancho e y el alto, la superficie total será S = $x+2$·$y+4$.

Como el área de texto es xy = 18, despejamos y = 18/x y sustituimos: S = $x+2$·$18/x+4$ = 4x+26+36/x. Al derivar e igualar a cero, obtenemos x = 3 cm e y = 6 cm.

En el problema del agricultor, tenemos que si vende hoy recoge 50.000 kg a 20 céntimos/kg. Cada día que espere, pierde 800 kg pero gana 3 céntimos/kg. El beneficio será B$x$ = $50.000-800x$·$20+3x$, donde x es el número de días.

Derivando B'$x$ = -800$20+3x$ + 3$50.000-800x$ = 134.000-4.800x e igualando a cero, obtenemos x ≈ 27,92 días. Como B''$x$ < 0, confirmamos que es un máximo. Por tanto, debe esperar 27 días.

💡 Truco práctico: En problemas económicos, recuerda que el beneficio máximo se alcanza cuando el ingreso marginal iguala al costo marginal. En este caso, cuando el valor de la pérdida diaria de cosecha iguala a la ganancia por el aumento de precio.

Resolución de Problemas de Optimización (IV)

Para construir un marco rectangular para una ventana de 6 m² donde el material horizontal cuesta 20€/m y el vertical 30€/m, buscamos minimizar el costo total.

Si x es la base e y la altura, el costo será M = 2·20x + 2·30y = 40x + 60y. Como xy = 6, despejamos y = 6/x y sustituimos: M = 40x + 60$6/x$ = 40x + 360/x.

Al derivar M'$x$ = 40 - 360/x² e igualar a cero, obtenemos x = 3 m e y = 2 m. El costo total será M = 40(3) + 60(2) = 240€.

Para el problema del paquete de correos, necesitamos un paralelepípedo con anchura igual a altura $x$ y la suma de sus dimensiones igual a 72 cm $2x + y = 72$. El volumen será V = x²y.

Despejando y = 72 - 2x y sustituyendo: V = x²$72 - 2x$ = 72x² - 2x³. Derivando V'$x$ = 144x - 6x² e igualando a cero: x$144 - 6x$ = 0, obtenemos x = 24 cm. Por tanto, y = 24 cm también.

💡 Dato curioso: En problemas de optimización tridimensional, el cubo suele ser la forma óptima cuando buscas maximizar volumen con restricciones simétricas. ¡Este paquete resulta ser un cubo perfecto!

Resolución de Problemas de Optimización (V)

Para encontrar el rectángulo de área máxima inscrito en un triángulo isósceles con base de 36 cm y altura de 12 cm, debemos establecer la relación entre las dimensiones x e y del rectángulo.

Usando semejanza de triángulos, podemos establecer que cuando la altura del rectángulo es y, su anchura x está relacionada mediante la ecuación x = 36 - 3y (que puedes derivar usando proporciones de triángulos semejantes).

El área del rectángulo será A = x·y = $36 - 3y$·y = 36y - 3y². Para maximizarla, derivamos A'$y$ = 36 - 6y e igualamos a cero: 36 - 6y = 0. Esto nos da y = 6 cm.

Sustituyendo, obtenemos x = 36 - 3(6) = 18 cm. Por tanto, las dimensiones óptimas son 18 cm × 6 cm.

💡 Técnica importante: En problemas geométricos complejos, dibujar la figura y establecer un sistema de coordenadas adecuado facilita mucho la resolución. La semejanza de triángulos es una herramienta muy potente para relacionar dimensiones.