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Actualizado Mar 25, 2026
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Problemas de Tangencias en el Contexto de Apolonio
Sara Usuga Giraldo
@sarausugir
1 / 7
Casos de Apolonio y Número de Soluciones
Los problemas de Apolonio se clasifican según los elementos dados: P (punto), R (recta) y C (circunferencia). Cada combinación tiene un número específico de soluciones que debes memorizar para los exámenes.
Los casos más básicos como PPP (tres puntos) y PPR (dos puntos y una recta) se resuelven con métodos normales y tienen 1 ó 2 soluciones. Los casos intermedios como PRR y RRR requieren métodos de potencia y tienen entre 1 y 4 soluciones.
Los casos más complejos que incluyen circunferencias (PPC, PRC, RRC, RCC, PCC, CCC) necesitan métodos de inversión y potencia. El caso CCC (tres circunferencias) es el más difícil con 8 soluciones posibles.
💡 Truco de estudio: Memoriza que cuantos más elementos "C" (circunferencias) tenga el problema, más soluciones tendrás que encontrar.
Eje Radical y Centro Radical
El eje radical es el lugar geométrico de todos los puntos que tienen la misma potencia respecto a dos circunferencias. Es una línea recta perpendicular a la línea que une los centros de ambas circunferencias.
El centro radical es el punto donde se cortan los tres ejes radicales de tres circunferencias. Desde este punto, todas las tangentes trazadas a las tres circunferencias tienen la misma longitud.
Para resolver problemas de tangencias complejos, necesitas dominar estos conceptos. Te permiten encontrar puntos estratégicos desde donde construir las circunferencias buscadas con mayor facilidad.
💡 Dato clave: Si te piden un punto desde el que las tangentes a dos circunferencias midan lo mismo, busca puntos en el eje radical.
Circunferencia por Tres Puntos (PPP)
El caso PPP es el más sencillo de todos los problemas de Apolonio. Solo existe una circunferencia que pasa por tres puntos no alineados dados.
Para resolverlo, traza las mediatrices de dos de los lados del triángulo formado por los tres puntos. El centro de la circunferencia estará en la intersección de estas mediatrices.
El radio será la distancia desde este centro hasta cualquiera de los tres puntos dados. Este método siempre funciona, salvo que los tres puntos estén alineados (en cuyo caso no existe solución).
💡 Recuerda: Las mediatrices de un triángulo siempre se cortan en un punto llamado circuncentro.
Circunferencias Tangentes a Recta por Dos Puntos (PPR)
Este caso requiere encontrar circunferencias que pasen por dos puntos dados y sean tangentes a una recta. Normalmente tiene una o dos soluciones dependiendo de la posición de los elementos.
El método implica usar circunferencias auxiliares y encontrar el centro radical. También necesitas trazar el eje radical para localizar los centros de las circunferencias solución.
La construcción combina conceptos de potencia y lugares geométricos. Es importante practicar este tipo de problemas porque aparecen frecuentemente en los exámenes de dibujo técnico.
💡 Tip práctico: Siempre verifica que tu circunferencia pase exactamente por los dos puntos y sea tangente a la recta.
Circunferencias Tangentes a Dos Rectas por un Punto (PRR)
El caso PRR se puede resolver por dos métodos: potencia y homotecia. Ambos métodos son válidos, pero la potencia suele ser más directa para este tipo de construcciones.
Con el método de potencia, localizas el centro radical y usas circunferencias auxiliares para encontrar los centros de las soluciones. Con homotecia, buscas centros de semejanza entre elementos conocidos.
Este problema típicamente tiene 1 ó 2 soluciones según la configuración geométrica. Practica ambos métodos porque en el examen pueden pedirte específicamente uno de ellos.
💡 Consejo: El método de homotecia es especialmente útil cuando las rectas se cortan en ángulo agudo.
Circunferencias Tangentes a Tres Rectas (RRR)
El caso RRR es uno de los más importantes en dibujo técnico. Las tres rectas forman un triángulo, y buscamos circunferencias tangentes a los tres lados de este triángulo.
Existen hasta 4 soluciones: la circunferencia inscrita (interior al triángulo) y las tres circunferencias exinscritas (cada una tangente a un lado y a las prolongaciones de los otros dos).
Para construirlas, usas las bisectrices de los ángulos del triángulo. Los centros están en las intersecciones de estas bisectrices. Este problema es fundamental y aparece en casi todos los exámenes.
💡 Importante: Siempre hay exactamente 4 soluciones para tres rectas que forman triángulo.
Casos Particulares CPR con Potencia
Los casos particulares CPR ocurren cuando el punto dado es un punto de tangencia sobre la recta o sobre la circunferencia. Estos casos simplifican significativamente la construcción.
Cuando el punto es de tangencia sobre la recta, ya conoces exactamente dónde la circunferencia solución tocará esa recta. Cuando es de tangencia sobre la circunferencia, sabes que los centros estarán alineados.
El método de potencia es especialmente eficaz en estos casos porque reduces el problema a construcciones más simples. Usas el eje radical y circunferencias auxiliares para localizar rápidamente las soluciones.
💡 Ventaja: Los casos particulares siempre son más fáciles de resolver que los casos generales.
Pensamos que nunca lo preguntarías...
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
Sophia
usuario de Android
Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
usuaria de Android
La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
Izan
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.
Julyana
usuaria de Android
Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.
Javier
usuario de Android
LOS QUIZ Y FLASHCARDS SON SÚPER ÚTILES Y ME ENCANTA Knowunity IA. ADEMÁS ES LITERALMENTE COMO CHATGPT PERO MÁS LISTO!! ME AYUDÓ TAMBIÉN CON MIS PROBLEMAS DE MÁSCARA!! Y CON MIS ASIGNATURAS DE VERDAD! OBVIO 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Erick
usuario de Android
Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
Mar
usuaria de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
Sophia
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Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
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La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
Izan
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
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Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.
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Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.
Javier
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Mar
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Problemas de Tangencias en el Contexto de Apolonio
Sara Usuga Giraldo
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Los problemas de Apolonio son ejercicios clásicos de dibujo técnico que consisten en construir circunferencias que cumplen ciertas condiciones de tangencia con puntos, rectas y otras circunferencias. Dominar estos problemas te dará las herramientas esenciales para resolver construcciones geométricas complejas.
Casos de Apolonio y Número de Soluciones
Los problemas de Apolonio se clasifican según los elementos dados: P (punto), R (recta) y C (circunferencia). Cada combinación tiene un número específico de soluciones que debes memorizar para los exámenes.
Los casos más básicos como PPP (tres puntos) y PPR (dos puntos y una recta) se resuelven con métodos normales y tienen 1 ó 2 soluciones. Los casos intermedios como PRR y RRR requieren métodos de potencia y tienen entre 1 y 4 soluciones.
Los casos más complejos que incluyen circunferencias (PPC, PRC, RRC, RCC, PCC, CCC) necesitan métodos de inversión y potencia. El caso CCC (tres circunferencias) es el más difícil con 8 soluciones posibles.
💡 Truco de estudio: Memoriza que cuantos más elementos "C" (circunferencias) tenga el problema, más soluciones tendrás que encontrar.
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Eje Radical y Centro Radical
El eje radical es el lugar geométrico de todos los puntos que tienen la misma potencia respecto a dos circunferencias. Es una línea recta perpendicular a la línea que une los centros de ambas circunferencias.
El centro radical es el punto donde se cortan los tres ejes radicales de tres circunferencias. Desde este punto, todas las tangentes trazadas a las tres circunferencias tienen la misma longitud.
Para resolver problemas de tangencias complejos, necesitas dominar estos conceptos. Te permiten encontrar puntos estratégicos desde donde construir las circunferencias buscadas con mayor facilidad.
💡 Dato clave: Si te piden un punto desde el que las tangentes a dos circunferencias midan lo mismo, busca puntos en el eje radical.
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Circunferencia por Tres Puntos (PPP)
El caso PPP es el más sencillo de todos los problemas de Apolonio. Solo existe una circunferencia que pasa por tres puntos no alineados dados.
Para resolverlo, traza las mediatrices de dos de los lados del triángulo formado por los tres puntos. El centro de la circunferencia estará en la intersección de estas mediatrices.
El radio será la distancia desde este centro hasta cualquiera de los tres puntos dados. Este método siempre funciona, salvo que los tres puntos estén alineados (en cuyo caso no existe solución).
💡 Recuerda: Las mediatrices de un triángulo siempre se cortan en un punto llamado circuncentro.
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Circunferencias Tangentes a Recta por Dos Puntos (PPR)
Este caso requiere encontrar circunferencias que pasen por dos puntos dados y sean tangentes a una recta. Normalmente tiene una o dos soluciones dependiendo de la posición de los elementos.
El método implica usar circunferencias auxiliares y encontrar el centro radical. También necesitas trazar el eje radical para localizar los centros de las circunferencias solución.
La construcción combina conceptos de potencia y lugares geométricos. Es importante practicar este tipo de problemas porque aparecen frecuentemente en los exámenes de dibujo técnico.
💡 Tip práctico: Siempre verifica que tu circunferencia pase exactamente por los dos puntos y sea tangente a la recta.
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Circunferencias Tangentes a Dos Rectas por un Punto (PRR)
El caso PRR se puede resolver por dos métodos: potencia y homotecia. Ambos métodos son válidos, pero la potencia suele ser más directa para este tipo de construcciones.
Con el método de potencia, localizas el centro radical y usas circunferencias auxiliares para encontrar los centros de las soluciones. Con homotecia, buscas centros de semejanza entre elementos conocidos.
Este problema típicamente tiene 1 ó 2 soluciones según la configuración geométrica. Practica ambos métodos porque en el examen pueden pedirte específicamente uno de ellos.
💡 Consejo: El método de homotecia es especialmente útil cuando las rectas se cortan en ángulo agudo.
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Circunferencias Tangentes a Tres Rectas (RRR)
El caso RRR es uno de los más importantes en dibujo técnico. Las tres rectas forman un triángulo, y buscamos circunferencias tangentes a los tres lados de este triángulo.
Existen hasta 4 soluciones: la circunferencia inscrita (interior al triángulo) y las tres circunferencias exinscritas (cada una tangente a un lado y a las prolongaciones de los otros dos).
Para construirlas, usas las bisectrices de los ángulos del triángulo. Los centros están en las intersecciones de estas bisectrices. Este problema es fundamental y aparece en casi todos los exámenes.
💡 Importante: Siempre hay exactamente 4 soluciones para tres rectas que forman triángulo.
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Los casos particulares CPR ocurren cuando el punto dado es un punto de tangencia sobre la recta o sobre la circunferencia. Estos casos simplifican significativamente la construcción.
Cuando el punto es de tangencia sobre la recta, ya conoces exactamente dónde la circunferencia solución tocará esa recta. Cuando es de tangencia sobre la circunferencia, sabes que los centros estarán alineados.
El método de potencia es especialmente eficaz en estos casos porque reduces el problema a construcciones más simples. Usas el eje radical y circunferencias auxiliares para localizar rápidamente las soluciones.
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
Sophia
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Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
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La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
Izan
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
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Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.
Julyana
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Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.
Javier
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Erick
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Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
Mar
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
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