Operaciones Básicas y Matrices

Las matrices son fundamentales en selectividad y más fáciles de lo que parecen. Una matriz se identifica por su posición (fila, columna) y la diagonal principal son los elementos donde coinciden fila y columna.

Para multiplicar matrices A·B, el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B. El resultado será una matriz con las filas de A y las columnas de B.

Cuidado: la propiedad conmutativa NO funciona aquí. A·B ≠ B·A, así que el orden importa mucho.

💡 Truco: Si te piden resolver un sistema con Gauss, despeja paso a paso eliminando variables hasta llegar al resultado final.

Potencias y Sistemas de Ecuaciones Matriciales

Las potencias de matrices se calculan multiplicando la matriz por sí misma. A² = A·A, A³ = A·A·A, y así sucesivamente.

Las matrices cíclicas son geniales porque se repiten cada cierto número de potencias. Si A² = I (identidad), entonces A¹⁸³ = A porque 183 es impar.

Para resolver sistemas matriciales, usa el método de Gauss pero con matrices. Suma y resta las ecuaciones matriciales igual que harías with números normales.

💡 Dato clave: Cuando veas matrices cíclicas, divide el exponente entre el periodo para simplificar los cálculos.

Determinantes y Matriz Inversa

El determinante de una matriz 3x3 se calcula con la regla de Sarrus: multiplicas en diagonal y restas las diagonales invertidas.

La matriz inversa es clave para despejar incógnitas. Si tienes AX = B, entonces X = A⁻¹·B. La fórmula es: A⁻¹ = (Adj A)ᵗ / |A|.

Para calcular la adjunta, cambias el signo cuando la suma de fila + columna sea impar. Después haces la traspuesta y divides entre el determinante.

💡 Importante: Una matriz solo tiene inversa si su determinante es diferente de cero.

Programación Lineal

La programación lineal consiste en encontrar máximos y mínimos dentro de una región factible. Primero despejas las variables y haces una tabla de valores para cada restricción.

Para encontrar la región factible, sustituye el punto (0,0) en cada desigualdad. Si se cumple, la región está del lado donde está el origen; si no, del lado contrario.

Los vértices se calculan igualando las ecuaciones de dos en dos. Después evalúas la función objetivo en cada vértice para encontrar el máximo y mínimo.

💡 Clave del éxito: La solución óptima siempre está en un vértice de la región factible.

Probabilidad - Fórmulas Básicas

La probabilidad tiene fórmulas fijas que debes memorizar. Para la unión: P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B). Para eventos independientes es más fácil: P(A∪B) = P(A) + P(B).

La probabilidad condicionada P(A|B) = P(A∩B)/P(B) te dice la probabilidad de A sabiendo que ha ocurrido B.

Las leyes de Morgan son útiles para el suceso contrario: P(Aͨ ∩Bͨ ) = 1 - P(A∪B). El suceso contrario siempre es P(Aͨ ) = 1 - P(A).

💡 Truco mental: Dibuja diagramas de Venn cuando te líes con intersecciones y uniones.

Estadística y Distribución Normal

En estadística, μ es la media, σ la desviación típica, n la muestra y x̄ la media muestral. La distribución normal N(μ,σ) se tipifica con Z = $x-μ$/σ.

Los intervalos de confianza tienen la fórmula: IC = $x̄ ± z_{α/2} · σ/√n$. Para un 95% de confianza, z_{α/2} = 1,96.

Para calcular el nivel de confianza, si te dan 95%, entonces α = 0,05 y buscas en la tabla el valor que corresponde a 0,975.

💡 No olvides: La tipificación convierte cualquier normal en N(0,1), que es la que viene en las tablas.

Estimación y Muestreo

La estimación de proporciones usa la fórmula N$p̂, √(p̂q̂)/n$, donde q̂ = 1-p̂. El intervalo es: IC = $p̂ ± z_{α/2} · √(p̂q̂)/n$.

En muestreo estadístico, usas proporciones simples. Si tienes una muestra de 80 personas de una población de 2000, multiplicas cada resultado muestral por 2000/80 = 25.

El error de muestreo es E = z_{α/2} · √(p̂q̂)/n, y nos dice qué tan precisas son nuestras estimaciones.

💡 Consejo práctico: Siempre comprueba que las proporciones de tu muestra sumen el total de la población.

Derivadas - Reglas Básicas

Las derivadas son más mecánicas de lo que parece. La derivada de una constante es 0, y para potencias: y = axⁿ → y' = n·a·xⁿ⁻¹.

Para productos: (f·g)' = f'·g + f·g'. Para cocientes: (f/g)' = $f'·g - f·g'$/g².

Con constantes: si y = k·f$x$, entonces y' = k·f'$x$. Es decir, la constante sale fuera tal cual.

💡 Regla de oro: Practica mucho las reglas del producto y cociente, porque ahí es donde más se falla.

Derivadas Especiales

Las derivadas exponenciales: y = eˣ → y' = eˣ, y para y = aˣ → y' = aˣ·ln a.

Derivadas logarítmicas: y = ln x → y' = 1/x. Para logaritmos en otras bases: y = log_a x → y' = 1/(x·ln a).

Funciones trigonométricas: y = sen x → y' = cos x, y = cos x → y' = -sen x.

Las raíces se transforman a potencias: y = ⁿ√x = x^$1/n$ → y' = 1/$n·ⁿ√(x^(n-1))$.

💡 Tip importante: Memoriza estas derivadas básicas porque aparecen en funciones compuestas más complicadas.