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Aprende Cómo Calcular la Suma de Términos en Progresiones Aritméticas y Resuelve Ejercicios de Sucesiones

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KHADIJA OURKIA MOUSSI

14/5/2023

Matemáticas

Matemáticas 🧮

Aprende Cómo Calcular la Suma de Términos en Progresiones Aritméticas y Resuelve Ejercicios de Sucesiones

Las progresiones aritméticas y geométricas son secuencias numéricas que siguen patrones específicos y predecibles. En una progresión aritmética, la diferencia entre términos consecutivos es constante, mientras que en una progresión geométrica, el cociente entre términos consecutivos es constante.

Para cómo calcular suma términos progresión aritmética, es fundamental comprender que podemos utilizar fórmulas específicas que nos permiten encontrar tanto términos individuales como la suma de varios términos. La fórmula principal para encontrar el término general de una progresión aritmética es an = a1 + (n-1)d, donde a1 es el primer término, n es la posición del término que buscamos, y d es la diferencia común. Los problemas resueltos sucesiones aritméticas y geométricas muestran que para calcular la suma de los primeros n términos, podemos utilizar la fórmula Sn = n(a1 + an)/2, donde an es el último término de la secuencia que queremos sumar.

En cuanto a los ejercicios progresiones geométricas soluciones paso a paso, es importante recordar que el término general de una progresión geométrica viene dado por an = a1 * r^(n-1), donde r es la razón o cociente común entre términos consecutivos. La suma de los primeros n términos de una progresión geométrica se puede calcular mediante la fórmula Sn = a1(1-r^n)/(1-r) cuando r≠1. Estas fórmulas son esenciales para resolver problemas prácticos que involucran crecimiento exponencial o decrecimiento, como el interés compuesto o el decaimiento radioactivo. Es fundamental practicar con diversos ejemplos para dominar tanto el concepto como la aplicación de estas fórmulas en diferentes contextos matemáticos.

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14/5/2023

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PROGRESIONES ARITMÉTICAS
Ejercicio nº 1.-
En una progresión aritmética sabemos que a2 = 1 y a5 = 7. Halla el término general y calcula la su

Ver

Fundamentos de Progresiones Aritméticas y Geométricas

Las progresiones aritméticas son secuencias numéricas donde cada término se obtiene sumando una diferencia constante al término anterior. Para comprender cómo calcular suma términos progresión aritmética, es fundamental dominar sus elementos básicos: primer término (a₁), diferencia (d) y término general (an).

Definición: Una progresión aritmética es una sucesión donde la diferencia entre términos consecutivos es constante. Se expresa como an = a₁ + (n-1)d, donde n es la posición del término.

Para calcular la suma de términos en una progresión aritmética, utilizamos la fórmula Sn = n(a₁ + an)/2, donde Sn es la suma de los n primeros términos. Esta fórmula es especialmente útil cuando conocemos el primer y último término de la secuencia.

Ejemplo: En una progresión aritmética donde a₂ = 1 y a₅ = 7, podemos calcular la diferencia: d = (7-1)/(5-2) = 2. Con esto, encontramos a₁ = 1 - d = -1.

PROGRESIONES ARITMÉTICAS
Ejercicio nº 1.-
En una progresión aritmética sabemos que a2 = 1 y a5 = 7. Halla el término general y calcula la su

Ver

Aplicaciones Prácticas de Sucesiones Aritméticas

Los problemas resueltos sucesiones aritméticas y geométricas tienen numerosas aplicaciones en situaciones cotidianas. Desde calcular incrementos salariales hasta planificar ahorros, estas progresiones modelan diversos fenómenos reales.

Destacado: Las progresiones aritméticas son ideales para modelar crecimientos lineales, como aumentos periódicos de precios o distancias constantes.

En problemas prácticos, es crucial identificar el primer término y la diferencia común. Por ejemplo, en problemas de altura entre pisos de edificios, la altura inicial representa a₁ y la distancia entre pisos consecutivos representa la diferencia d.

Las aplicaciones incluyen problemas de planificación temporal, donde cada período representa un término de la sucesión, y problemas geométricos, como la medida de ángulos en figuras regulares.

PROGRESIONES ARITMÉTICAS
Ejercicio nº 1.-
En una progresión aritmética sabemos que a2 = 1 y a5 = 7. Halla el término general y calcula la su

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Fundamentos de Progresiones Geométricas

Las ejercicios progresiones geométricas soluciones paso a paso requieren comprender que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una razón constante (r). La fórmula del término general es an = a₁·r^(n-1).

Vocabulario: La razón (r) es el cociente entre cualquier término y el anterior en una progresión geométrica.

Para la suma de términos en progresiones geométricas finitas, usamos la fórmula: Sn = a₁(1-r^n)/(1-r) cuando r≠1 Sn = n·a₁ cuando r=1

Ejemplo: En una progresión geométrica con a₁=3 y r=2, los primeros términos son: 3, 6, 12, 24...

PROGRESIONES ARITMÉTICAS
Ejercicio nº 1.-
En una progresión aritmética sabemos que a2 = 1 y a5 = 7. Halla el término general y calcula la su

Ver

Aplicaciones Avanzadas y Casos Especiales

Las progresiones geométricas son fundamentales en cálculos financieros, como interés compuesto y depreciación de activos. También aparecen en fenómenos de crecimiento exponencial, como el crecimiento poblacional.

Destacado: En progresiones geométricas con |r|<1, podemos calcular la suma de infinitos términos usando S∞ = a₁/(1-r).

Un caso especial importante es cuando trabajamos con progresiones geométricas decrecientes, donde la razón es menor que 1. Estas son útiles para modelar situaciones de deterioro o pérdida de valor.

La comprensión profunda de estas progresiones permite resolver problemas complejos de optimización y modelado matemático en diversos campos científicos y económicos.

PROGRESIONES ARITMÉTICAS
Ejercicio nº 1.-
En una progresión aritmética sabemos que a2 = 1 y a5 = 7. Halla el término general y calcula la su

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Ejercicios y Soluciones de Progresiones Aritméticas y Geométricas

Las progresiones matemáticas son secuencias de números que siguen un patrón específico. En este caso, analizaremos detalladamente problemas resueltos sucesiones aritméticas y geométricas con explicaciones paso a paso.

Definición: Una progresión aritmética es aquella donde la diferencia entre términos consecutivos es constante, mientras que en una progresión geométrica, el cociente entre términos consecutivos es constante.

Para entender cómo calcular suma términos progresión aritmética, comenzamos con ejercicios básicos. Por ejemplo, si tenemos una progresión donde a₂ = 1 y a₅ = 7, primero hallamos la diferencia (d) usando la fórmula: a₅ = a₂ + 3d. Esto nos da 7 = 1 + 3d, de donde d = 2.

Ejemplo: Para calcular la suma de los primeros 15 términos:

  • Primero hallamos a₁ = a₂ - d = 1 - 2 = -1
  • Luego el término general: aₙ = -1 + (n-1)2 = 2n - 3
  • Finalmente aplicamos la fórmula: S₁₅ = (a₁ + a₁₅)·15/2
PROGRESIONES ARITMÉTICAS
Ejercicio nº 1.-
En una progresión aritmética sabemos que a2 = 1 y a5 = 7. Halla el término general y calcula la su

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Progresiones Geométricas y sus Aplicaciones

Los ejercicios progresiones geométricas soluciones paso a paso requieren un enfoque sistemático. En una progresión geométrica, cada término se obtiene multiplicando el anterior por una razón constante (r).

Destacado: Para resolver problemas de progresiones geométricas, siempre:

  1. Identifica el primer término (a₁)
  2. Encuentra la razón (r)
  3. Aplica la fórmula del término general: aₙ = a₁·rⁿ⁻¹

Por ejemplo, si tenemos a₁ = 3 y a₄ = 24, podemos encontrar r usando: 24 = 3·r³, de donde r = 2.

La suma de términos en progresiones geométricas utiliza la fórmula: Sₙ = a₁(1-rⁿ)/(1-r) cuando r≠1.

PROGRESIONES ARITMÉTICAS
Ejercicio nº 1.-
En una progresión aritmética sabemos que a2 = 1 y a5 = 7. Halla el término general y calcula la su

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Aplicaciones Prácticas de las Progresiones

Las progresiones tienen numerosas aplicaciones en la vida real. Por ejemplo, en el cálculo de intereses compuestos, donde el capital crece geométricamente, o en la planificación de entrenamientos deportivos, donde el incremento de intensidad sigue una progresión aritmética.

Vocabulario:

  • Razón: Factor constante en progresiones geométricas
  • Diferencia: Incremento constante en progresiones aritméticas
  • Término general: Fórmula que permite calcular cualquier término

Los problemas prácticos suelen involucrar situaciones como:

  • Crecimiento poblacional
  • Planes de ahorro
  • Distancias y alturas
  • Secuencias temporales
PROGRESIONES ARITMÉTICAS
Ejercicio nº 1.-
En una progresión aritmética sabemos que a2 = 1 y a5 = 7. Halla el término general y calcula la su

Ver

Estrategias de Resolución y Metodología

Para resolver eficientemente estos problemas, es fundamental seguir una metodología clara:

  1. Identificar el tipo de progresión
  2. Determinar los datos iniciales
  3. Establecer las fórmulas apropiadas
  4. Resolver paso a paso

Ejemplo: En problemas de altura entre pisos:

  • Primer piso: altura inicial (a₁)
  • Diferencia: distancia entre pisos consecutivos (d)
  • Término general: an = a₁ + (n-1)d

Esta metodología sistemática permite abordar desde problemas simples hasta situaciones complejas que requieren múltiples pasos de resolución.

PROGRESIONES ARITMÉTICAS
Ejercicio nº 1.-
En una progresión aritmética sabemos que a2 = 1 y a5 = 7. Halla el término general y calcula la su

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Resolución de Ejercicios de Progresiones Geométricas

Las ejercicios progresiones geométricas soluciones paso a paso requieren una comprensión profunda de los conceptos fundamentales. En una progresión geométrica, cada término se obtiene multiplicando el término anterior por una constante llamada razón (r). Esta característica es esencial para resolver problemas relacionados con sucesiones numéricas.

Definición: Una progresión geométrica es una secuencia numérica donde cada término se obtiene multiplicando el término anterior por un número fijo llamado razón (r).

Cuando trabajamos con progresiones geométricas, es fundamental identificar el primer término (a₁) y la razón (r) para poder calcular cualquier término o la suma de términos. Por ejemplo, si tenemos a₁ = 2 y a₄ = 54, podemos encontrar la razón utilizando la fórmula a₄ = a₁·r³, lo que nos permite despejar r.

La suma de los términos de una progresión geométrica sigue una fórmula específica que depende de si la progresión es finita o infinita. Para una suma finita de n términos, utilizamos la fórmula: Sₙ = a₁(1-rⁿ)/(1-r), donde r≠1.

Ejemplo: En una progresión con a₁ = 15 y r = 0,2, la suma de todos sus términos infinitos es S∞ = 15/(1-0,2) = 18,75, siempre que |r| < 1.

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Sucesiones, progresiones aritméticas, suma de números consecutivos de una progresión aritmética, progresiones geométricas y la suma de números consecutivos en una progresión geométrica

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Mari, usuario de iOS

Me encanta esta app ❤️, de hecho la uso cada vez que estudio.

 

Matemáticas

11.407

14 may 2023

16 páginas

Aprende Cómo Calcular la Suma de Términos en Progresiones Aritméticas y Resuelve Ejercicios de Sucesiones

K

KHADIJA OURKIA MOUSSI

@khadijaourkiamoussi_opzf

Las progresiones aritméticas y geométricas son secuencias numéricas que siguen patrones específicos y predecibles. En una progresión aritmética, la diferencia entre términos consecutivos es constante, mientras que en una progresión geométrica, el cociente entre términos consecutivos es constante.

Para cómo... Mostrar más

PROGRESIONES ARITMÉTICAS
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Fundamentos de Progresiones Aritméticas y Geométricas

Las progresiones aritméticas son secuencias numéricas donde cada término se obtiene sumando una diferencia constante al término anterior. Para comprender cómo calcular suma términos progresión aritmética, es fundamental dominar sus elementos básicos: primer término (a₁), diferencia (d) y término general (an).

Definición: Una progresión aritmética es una sucesión donde la diferencia entre términos consecutivos es constante. Se expresa como an = a₁ + (n-1)d, donde n es la posición del término.

Para calcular la suma de términos en una progresión aritmética, utilizamos la fórmula Sn = n(a₁ + an)/2, donde Sn es la suma de los n primeros términos. Esta fórmula es especialmente útil cuando conocemos el primer y último término de la secuencia.

Ejemplo: En una progresión aritmética donde a₂ = 1 y a₅ = 7, podemos calcular la diferencia: d = (7-1)/(5-2) = 2. Con esto, encontramos a₁ = 1 - d = -1.

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Aplicaciones Prácticas de Sucesiones Aritméticas

Los problemas resueltos sucesiones aritméticas y geométricas tienen numerosas aplicaciones en situaciones cotidianas. Desde calcular incrementos salariales hasta planificar ahorros, estas progresiones modelan diversos fenómenos reales.

Destacado: Las progresiones aritméticas son ideales para modelar crecimientos lineales, como aumentos periódicos de precios o distancias constantes.

En problemas prácticos, es crucial identificar el primer término y la diferencia común. Por ejemplo, en problemas de altura entre pisos de edificios, la altura inicial representa a₁ y la distancia entre pisos consecutivos representa la diferencia d.

Las aplicaciones incluyen problemas de planificación temporal, donde cada período representa un término de la sucesión, y problemas geométricos, como la medida de ángulos en figuras regulares.

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Fundamentos de Progresiones Geométricas

Las ejercicios progresiones geométricas soluciones paso a paso requieren comprender que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una razón constante (r). La fórmula del término general es an = a₁·r^(n-1).

Vocabulario: La razón (r) es el cociente entre cualquier término y el anterior en una progresión geométrica.

Para la suma de términos en progresiones geométricas finitas, usamos la fórmula: Sn = a₁(1-r^n)/(1-r) cuando r≠1 Sn = n·a₁ cuando r=1

Ejemplo: En una progresión geométrica con a₁=3 y r=2, los primeros términos son: 3, 6, 12, 24...

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Ejercicios y Soluciones de Progresiones Aritméticas y Geométricas

Las progresiones matemáticas son secuencias de números que siguen un patrón específico. En este caso, analizaremos detalladamente problemas resueltos sucesiones aritméticas y geométricas con explicaciones paso a paso.

Definición: Una progresión aritmética es aquella donde la diferencia entre términos consecutivos es constante, mientras que en una progresión geométrica, el cociente entre términos consecutivos es constante.

Para entender cómo calcular suma términos progresión aritmética, comenzamos con ejercicios básicos. Por ejemplo, si tenemos una progresión donde a₂ = 1 y a₅ = 7, primero hallamos la diferencia (d) usando la fórmula: a₅ = a₂ + 3d. Esto nos da 7 = 1 + 3d, de donde d = 2.

Ejemplo: Para calcular la suma de los primeros 15 términos:

  • Primero hallamos a₁ = a₂ - d = 1 - 2 = -1
  • Luego el término general: aₙ = -1 + (n-1)2 = 2n - 3
  • Finalmente aplicamos la fórmula: S₁₅ = (a₁ + a₁₅)·15/2
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Progresiones Geométricas y sus Aplicaciones

Los ejercicios progresiones geométricas soluciones paso a paso requieren un enfoque sistemático. En una progresión geométrica, cada término se obtiene multiplicando el anterior por una razón constante (r).

Destacado: Para resolver problemas de progresiones geométricas, siempre:

  1. Identifica el primer término (a₁)
  2. Encuentra la razón (r)
  3. Aplica la fórmula del término general: aₙ = a₁·rⁿ⁻¹

Por ejemplo, si tenemos a₁ = 3 y a₄ = 24, podemos encontrar r usando: 24 = 3·r³, de donde r = 2.

La suma de términos en progresiones geométricas utiliza la fórmula: Sₙ = a₁(1-rⁿ)/(1-r) cuando r≠1.

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Vocabulario:

  • Razón: Factor constante en progresiones geométricas
  • Diferencia: Incremento constante en progresiones aritméticas
  • Término general: Fórmula que permite calcular cualquier término

Los problemas prácticos suelen involucrar situaciones como:

  • Crecimiento poblacional
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  1. Identificar el tipo de progresión
  2. Determinar los datos iniciales
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Ejemplo: En problemas de altura entre pisos:

  • Primer piso: altura inicial (a₁)
  • Diferencia: distancia entre pisos consecutivos (d)
  • Término general: an = a₁ + (n-1)d

Esta metodología sistemática permite abordar desde problemas simples hasta situaciones complejas que requieren múltiples pasos de resolución.

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Resolución de Ejercicios de Progresiones Geométricas

Las ejercicios progresiones geométricas soluciones paso a paso requieren una comprensión profunda de los conceptos fundamentales. En una progresión geométrica, cada término se obtiene multiplicando el término anterior por una constante llamada razón (r). Esta característica es esencial para resolver problemas relacionados con sucesiones numéricas.

Definición: Una progresión geométrica es una secuencia numérica donde cada término se obtiene multiplicando el término anterior por un número fijo llamado razón (r).

Cuando trabajamos con progresiones geométricas, es fundamental identificar el primer término (a₁) y la razón (r) para poder calcular cualquier término o la suma de términos. Por ejemplo, si tenemos a₁ = 2 y a₄ = 54, podemos encontrar la razón utilizando la fórmula a₄ = a₁·r³, lo que nos permite despejar r.

La suma de los términos de una progresión geométrica sigue una fórmula específica que depende de si la progresión es finita o infinita. Para una suma finita de n términos, utilizamos la fórmula: Sₙ = a₁(1-rⁿ)/(1-r), donde r≠1.

Ejemplo: En una progresión con a₁ = 15 y r = 0,2, la suma de todos sus términos infinitos es S∞ = 15/(1-0,2) = 18,75, siempre que |r| < 1.

PROGRESIONES ARITMÉTICAS
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Métodos de Resolución para Sucesiones Aritméticas y Geométricas

Los problemas resueltos sucesiones aritméticas y geométricas requieren un enfoque sistemático para su resolución. Es importante distinguir entre progresiones aritméticas y geométricas, ya que cada una tiene sus propias fórmulas y métodos de resolución.

Para resolver problemas de progresiones geométricas, seguimos estos pasos fundamentales: primero, identificamos los datos conocidos (primer término, razón o cualquier término específico); segundo, aplicamos las fórmulas correspondientes; y tercero, verificamos que la solución tenga sentido en el contexto del problema.

Destacado: Para calcular términos específicos en una progresión geométrica, usamos la fórmula aₙ = a₁·rⁿ⁻¹, donde n es la posición del término buscado.

La aplicación práctica de las progresiones geométricas se encuentra en diversos campos, como el crecimiento poblacional, el interés compuesto en finanzas, y el decaimiento radioactivo en física. Por ejemplo, el crecimiento de una inversión con interés compuesto sigue exactamente el patrón de una progresión geométrica.

Vocabulario: La razón (r) es el factor constante por el que se multiplica cada término para obtener el siguiente en una progresión geométrica.

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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

Pablo

usuario de iOS

Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elena

usuaria de Android

Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

Ana

usuaria de iOS

Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!

Sophia

usuario de Android

Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!

Marta

usuaria de Android

La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.

Izan

usuario de iOS

¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!

Sara

usuaria de Android

En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

usuario de Android

Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.

Julyana

usuaria de Android

Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.

Javier

usuario de Android

Sinceramente me ha salvado los estudios. Recomiendo la aplicación 100%.

Erick

usuario de Android

Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!

Mar

usuaria de iOS

La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elena

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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

Ana

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Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!

Sophia

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Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!

Marta

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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!

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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

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Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.

Julyana

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Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.

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Sinceramente me ha salvado los estudios. Recomiendo la aplicación 100%.

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Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!

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