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314
•
23 dic 2025
•
Adrian Lopez Villanueva
@adrianlopezvill
Los límites son la base fundamental de toda la matemática... Mostrar más
¿Alguna vez te has preguntado qué pasa con una función cuando nos acercamos mucho a un punto sin tocarlo? Esta es exactamente la idea detrás de los límites, uno de los conceptos más importantes de las matemáticas.
El límite de una función nos permite estudiar el comportamiento de f(x) cuando x se acerca a un valor específico. Es como observar hacia dónde se dirige la función sin necesidad de llegar exactamente al punto.
Karl Weierstrass estableció la definición moderna que usamos hoy. La notación se escribe como , que significa "el límite de f(x) cuando x tiende a 'a' es igual a L".
Dato clave: Para calcular un límite, no importa lo que pase exactamente en el punto, sino lo que ocurre en sus proximidades.
Cuando queremos saber hacia dónde se dirige una función, creamos tablas con valores muy cercanos al punto que nos interesa. Por ejemplo, si estudiamos cuando x se acerca a 2, vemos que f(x) se acerca cada vez más a 3.
Para funciones definidas a trozos, el proceso es similar pero más interesante. Aunque la función tenga diferentes expresiones según el valor de x, el límite puede existir perfectamente.
La interpretación gráfica es tu mejor aliada: observa hacia dónde apunta la curva cuando te acercas al punto desde ambos lados. Si apunta al mismo valor, ese es tu límite.
Truco importante: El límite puede existir aunque la función no esté definida en ese punto exacto.
Los límites laterales son fundamentales para entender completamente el comportamiento de una función. Cuando nos acercamos a un punto, podemos hacerlo desde la izquierda (valores menores) o desde la derecha (valores mayores).
El límite por la izquierda se escribe y considera solo valores x < a. El límite por la derecha se escribe y considera solo valores x > a.
Para que exista el límite en un punto, ambos límites laterales deben coincidir. Si son diferentes, como en el ejemplo de la función signo, entonces el límite no existe.
Regla de oro: solo si
¿Qué pasa con una función cuando x toma valores enormes, positivos o negativos? Aquí entran los límites en el infinito, que nos ayudan a entender el comportamiento a largo plazo de las funciones.
Para , cuando x crece mucho, la función se acerca a 1. Esto se debe a que podemos reescribirla como , y cuando x es muy grande, se vuelve prácticamente cero.
Los límites en el infinito pueden ser números reales (como 1 en el ejemplo anterior) o infinito. Cuando escribimos , significa que la función crece sin límite.
Consejo visual: Las asíntotas horizontales aparecen cuando el límite en el infinito es un número real.
Las propiedades de los límites son herramientas que te permiten calcular límites complejos combinando límites más simples. Son como las reglas de un juego que hacen todo más fácil y ordenado.
Las propiedades básicas incluyen: el límite de una suma es la suma de los límites, el límite de un producto es el producto de los límites, y el límite de un cociente es el cociente de los límites (siempre que el denominador no sea cero).
Sin embargo, debes tener cuidado con las indeterminaciones como , , , , , e . Estas expresiones requieren técnicas especiales que veremos más adelante.
Importante: Las propiedades solo se aplican cuando no aparecen indeterminaciones.
Para la mayoría de funciones continuas (polinómicas, racionales, trigonométricas, etc.), calcular el límite es súper fácil: sustituye directamente el valor al que tiende x en la función. Es decir, .
Por ejemplo: . Simple sustitución y listo.
Para funciones polinómicas en el infinito, el comportamiento lo determina el término de mayor grado. Si es , cuando x tiende a infinito, la función se comporta como .
Las funciones definidas a trozos requieren estudiar los límites laterales en los puntos de unión. Si coinciden, existe el límite; si no, no existe.
Estrategia eficaz: Siempre intenta primero la sustitución directa. Solo si obtienes una indeterminación necesitarás técnicas más avanzadas.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
Sí, tienes acceso gratuito a los contenidos de la aplicación y a nuestro compañero de IA. Para desbloquear determinadas funciones de la aplicación, puedes adquirir Knowunity Pro.
App Store
Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
Sophia
usuario de Android
Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
usuaria de Android
La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
Izan
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.
Julyana
usuaria de Android
Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.
Javier
usuario de Android
Sinceramente me ha salvado los estudios. Recomiendo la aplicación 100%.
Erick
usuario de Android
Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!
Mar
usuaria de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
Sophia
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Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!
Marta
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La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.
Izan
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
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Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.
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Adrian Lopez Villanueva
@adrianlopezvill
Los límites son la base fundamental de toda la matemática avanzada que vas a estudiar. Imagínate que puedes predecir hacia dónde se dirige una función sin llegar exactamente ahí, como cuando intuyes el final de una película antes de verlo.
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¿Alguna vez te has preguntado qué pasa con una función cuando nos acercamos mucho a un punto sin tocarlo? Esta es exactamente la idea detrás de los límites, uno de los conceptos más importantes de las matemáticas.
El límite de una función nos permite estudiar el comportamiento de f(x) cuando x se acerca a un valor específico. Es como observar hacia dónde se dirige la función sin necesidad de llegar exactamente al punto.
Karl Weierstrass estableció la definición moderna que usamos hoy. La notación se escribe como , que significa "el límite de f(x) cuando x tiende a 'a' es igual a L".
Dato clave: Para calcular un límite, no importa lo que pase exactamente en el punto, sino lo que ocurre en sus proximidades.
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Para funciones definidas a trozos, el proceso es similar pero más interesante. Aunque la función tenga diferentes expresiones según el valor de x, el límite puede existir perfectamente.
La interpretación gráfica es tu mejor aliada: observa hacia dónde apunta la curva cuando te acercas al punto desde ambos lados. Si apunta al mismo valor, ese es tu límite.
Truco importante: El límite puede existir aunque la función no esté definida en ese punto exacto.
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Los límites laterales son fundamentales para entender completamente el comportamiento de una función. Cuando nos acercamos a un punto, podemos hacerlo desde la izquierda (valores menores) o desde la derecha (valores mayores).
El límite por la izquierda se escribe y considera solo valores x < a. El límite por la derecha se escribe y considera solo valores x > a.
Para que exista el límite en un punto, ambos límites laterales deben coincidir. Si son diferentes, como en el ejemplo de la función signo, entonces el límite no existe.
Regla de oro: solo si
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Para , cuando x crece mucho, la función se acerca a 1. Esto se debe a que podemos reescribirla como , y cuando x es muy grande, se vuelve prácticamente cero.
Los límites en el infinito pueden ser números reales (como 1 en el ejemplo anterior) o infinito. Cuando escribimos , significa que la función crece sin límite.
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Límites de una función
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MatemáticasTodo de el tema de Derivadas , aplicaciones, formulas y ejercicios al final tipo examen.
Matemáticas04/10/2024
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Pablo
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Elena
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Sophia
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Marta
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Izan
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Julyana
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Mar
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Ana
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Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!
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Marta
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