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Matemáticas344Actualizado 17 sept 20264 páginas

Álgebra Básica con Fracciones

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Carlota@charlottt_8a
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Los polinomios y fracciones algebraicas son como los números enteros y decimales, pero con letras. Aprenderás a simplificar expresiones complicadas, factorizar polinomios y trabajar con fracciones que tienen variables.
Álgebra – página 1

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Operaciones con Polinomios

¿Te has preguntado cómo resolver expresiones súper largas con x y números? Los polinomios son expresiones matemáticas que combinan variables y números, y dominarlos es más fácil de lo que parece.

Cuando trabajas con polinomios, lo importante es seguir el orden correcto: primero los paréntesis, luego las potencias, después multiplicaciones y por último sumas y restas. Por ejemplo, al expandir (3x−1)2−(5x2−3x)2(3x-1)^2-(5x^2-3x)^2, desarrollas cada parte por separado y luego combinas términos semejantes.

El teorema del resto es tu mejor amigo para las divisiones. Si divides un polinomio Pxx entre x−ax-a y quieres saber el resto, simplemente calcula Paa. Si Paa = 0, entonces la división es exacta y x−ax-a es un factor del polinomio.

Truco clave: Cuando el resto es cero, significa que has encontrado una raíz del polinomio. ¡Esto te será útil en los exámenes!

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Factorización de Polinomios

Factorizar es como descomponer un número en sus factores primos, pero con expresiones algebraicas. Es una habilidad que te ahorrará mucho tiempo en cálculos futuros.

Para factorizar 4x2−94x^2-9, reconoces que es una diferencia de cuadrados: (2x)2−32=(2x+3)(2x−3)(2x)^2-3^2 = (2x+3)(2x-3). Las raíces son x=32x = \frac{3}{2} y x=−32x = -\frac{3}{2}, que son los valores que hacen que cada factor sea igual a cero.

Con polinomios más complejos como 3x3−12x2−15x3x^3-12x^2-15x, primero sacas el factor común (3x), quedando 3x(x2−4x−5)3x(x^2-4x-5). Luego factorizas la expresión cuadrática usando la fórmula general o buscando dos números que multiplicados den -5 y sumados den -4.

Consejo: Siempre busca primero el factor común antes de aplicar otras técnicas de factorización.

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Simplificación de Fracciones Algebraicas

Las fracciones algebraicas son como fracciones normales, pero con polinomios arriba y abajo. La clave está en factorizar numerador y denominador para cancelar términos comunes.

Para simplificar x2−xxy−y\frac{x^2-x}{xy-y}, factorizas: x(x−1)y(x−1)\frac{x(x-1)}{y(x-1)}. Como (x−1)(x-1) aparece arriba y abajo, se cancela, quedando xy\frac{x}{y}. Es importante recordar que solo puedes cancelar factores, nunca términos que están sumando o restando.

Un truco fundamental es reconocer que b−a=−(a−b)b-a = -(a-b). Esto te ayuda cuando tienes expresiones como 9−a2a2−3a=−(a2−9)a(a−3)=−(a+3)(a−3)a(a−3)=−(a+3)a\frac{9-a^2}{a^2-3a} = \frac{-(a^2-9)}{a(a-3)} = \frac{-(a+3)(a-3)}{a(a-3)} = \frac{-(a+3)}{a}.

Atención: Nunca canceles términos que estén sumando o restando. Solo se pueden cancelar factores completos.

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Operaciones con Fracciones Algebraicas

Multiplicar y dividir fracciones algebraicas es similar a hacerlo con números, pero requiere más cuidado con la factorización. Primero factorizas todo lo posible, luego cancelas y finalmente operas.

Para multiplicar 2x+1x2−4⋅x+2x−5\frac{2x+1}{x^2-4} \cdot \frac{x+2}{x-5}, factorizas el denominador x2−4=(x+2)(x−2)x^2-4 = (x+2)(x-2). Después cancelas el factor común (x+2)(x+2) y obtienes 2x+1(x−2)(x−5)\frac{2x+1}{(x-2)(x-5)}.

La división de fracciones se convierte en multiplicación por la fracción inversa. Por ejemplo, 9x3x−3÷x2−13x2\frac{9x}{3x-3} \div \frac{x^2-1}{3x^2} se transforma en 9x3x−3⋅3x2x2−1\frac{9x}{3x-3} \cdot \frac{3x^2}{x^2-1}. Factorizando y simplificando paso a paso llegas al resultado final.

Estrategia ganadora: Factoriza completamente antes de hacer cualquier operación. Te evitará errores y hará los cálculos más sencillos.

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