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geometría analítica

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Introducción a la Geometría Analítica

A

abril

@a.diiazz

Los vectores y la geometría analítica son herramientas súper útiles... Mostrar más

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T8: GEOMETRIA ANALITICA Vectores De F Segmento orientado con el origen en el punto A Y final en el punto B walio del modula • Se representa

Vectores y distancias

¿Sabes que un vector es básicamente una flecha que va de un punto A a otro punto B? Es un segmento orientado que tiene tres características clave: dirección (la línea que pasa por A y B), sentido (hacia dónde apunta) y módulo (su longitud).

El módulo de un vector se calcula con la fórmula ∣AB→∣=x2+y2|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{x^2+y^2}, que es la distancia entre los dos puntos. Si tienes dos puntos A$a_1$, $a_2$ y B$b_1$, $b_2$, la distancia se calcula como ∣AB→∣=(b1−a1)2+(b2−a2)2|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2}.

Un vector unitario es súper especial porque su módulo vale exactamente 1. Para conseguirlo, divides cualquier vector entre su módulo: Uv→=v→∣v→∣\overrightarrow{Uv} = \frac{\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{v}|}.

Tip clave: El punto medio entre A y B se calcula promediando las coordenadas: M=(a1+b12,a2+b22)M = (\frac{a_1+b_1}{2}, \frac{a_2+b_2}{2}). ¡Es como encontrar el centro exacto!

T8: GEOMETRIA ANALITICA Vectores De F Segmento orientado con el origen en el punto A Y final en el punto B walio del modula • Se representa

Operaciones con vectores

Las operaciones con vectores son más fáciles de lo que piensas. Para sumar vectores, sumas coordenada con coordenada: (4,3)+(3,−2)=(7,1)(4,3) + (3,-2) = (7,1). Para restar, haces lo mismo pero restando.

La multiplicación por un escalar te da vectores proporcionales. Si multiplicas J⃗\vec{J} por 2, obtienes un vector del doble de longitud en la misma dirección. Las combinaciones lineales mezclan estas operaciones: W⃗=3J⃗−2V⃗\vec{W} = 3\vec{J} - 2\vec{V}.

Dos vectores son perpendiculares cuando el producto de sus coordenadas da 0: si J⃗(u1,u2)\vec{J}(u_1, u_2) y V⃗(v1,v2)\vec{V}(v_1, v_2), entonces u1⋅v1+u2⋅v2=0u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2 = 0. Para encontrar un vector perpendicular a otro, intercambias las coordenadas y cambias el signo de una.

Truco visual: Al sumar vectores gráficamente, dibuja el segundo empezando donde termina el primero, como si fueras conectando flechas.

T8: GEOMETRIA ANALITICA Vectores De F Segmento orientado con el origen en el punto A Y final en el punto B walio del modula • Se representa

Ecuaciones de la recta

Para escribir la ecuación de una recta necesitas un punto y un vector director, o simplemente dos puntos. Es como tener una dirección y un punto de partida para dibujar toda la línea.

La ecuación vectorial tiene esta forma: (x,y)=(a1,a2)+t(u1,u2)(x,y) = (a_1,a_2) + t(u_1,u_2), donde tt es un parámetro que puede tomar cualquier valor real. La ecuación paramétrica separa esto en: x=a1+u1tx = a_1 + u_1t e y=a2+u2ty = a_2 + u_2t.

También puedes usar la ecuación continua x−a1u1=y−a2u2\frac{x-a_1}{u_1} = \frac{y-a_2}{u_2} o la general Ax+By+C=0Ax + By + C = 0. La ecuación explícita y=mx+ny = mx + n es perfecta cuando quieres ver claramente la pendiente.

Dos rectas pueden ser paralelas (misma pendiente, diferentes puntos), coincidentes (exactamente la misma recta) o secantes (se cortan en un punto).

Dato importante: El vector normal (A,B)(A,B) es perpendicular al vector director de la recta. Si conoces uno, puedes encontrar el otro fácilmente.



Pensamos que nunca lo preguntarías...

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4.9/5

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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

Pablo

usuario de iOS

Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elena

usuaria de Android

Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

Ana

usuaria de iOS

Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!

Sophia

usuario de Android

Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!

Marta

usuaria de Android

La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.

Izan

usuario de iOS

¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!

Sara

usuaria de Android

En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

usuario de Android

Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.

Julyana

usuaria de Android

Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.

Javier

usuario de Android

Sinceramente me ha salvado los estudios. Recomiendo la aplicación 100%.

Erick

usuario de Android

Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!

Mar

usuaria de iOS

La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

Pablo

usuario de iOS

Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elena

usuaria de Android

Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

Ana

usuaria de iOS

Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!

Sophia

usuario de Android

Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!

Marta

usuaria de Android

La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.

Izan

usuario de iOS

¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!

Sara

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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

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Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.

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Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.

Javier

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Sinceramente me ha salvado los estudios. Recomiendo la aplicación 100%.

Erick

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Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!

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A

abril

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Los vectores y la geometría analítica son herramientas súper útiles para resolver problemas de matemáticas de forma visual y práctica. Te van a ayudar a entender cómo funcionan las líneas rectas, las distancias y las relaciones espaciales usando coordenadas y... Mostrar más

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Vectores y distancias

¿Sabes que un vector es básicamente una flecha que va de un punto A a otro punto B? Es un segmento orientado que tiene tres características clave: dirección (la línea que pasa por A y B), sentido (hacia dónde apunta) y módulo (su longitud).

El módulo de un vector se calcula con la fórmula ∣AB→∣=x2+y2|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{x^2+y^2}, que es la distancia entre los dos puntos. Si tienes dos puntos A$a_1$, $a_2$ y B$b_1$, $b_2$, la distancia se calcula como ∣AB→∣=(b1−a1)2+(b2−a2)2|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2}.

Un vector unitario es súper especial porque su módulo vale exactamente 1. Para conseguirlo, divides cualquier vector entre su módulo: Uv→=v→∣v→∣\overrightarrow{Uv} = \frac{\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{v}|}.

Tip clave: El punto medio entre A y B se calcula promediando las coordenadas: M=(a1+b12,a2+b22)M = (\frac{a_1+b_1}{2}, \frac{a_2+b_2}{2}). ¡Es como encontrar el centro exacto!

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Operaciones con vectores

Las operaciones con vectores son más fáciles de lo que piensas. Para sumar vectores, sumas coordenada con coordenada: (4,3)+(3,−2)=(7,1)(4,3) + (3,-2) = (7,1). Para restar, haces lo mismo pero restando.

La multiplicación por un escalar te da vectores proporcionales. Si multiplicas J⃗\vec{J} por 2, obtienes un vector del doble de longitud en la misma dirección. Las combinaciones lineales mezclan estas operaciones: W⃗=3J⃗−2V⃗\vec{W} = 3\vec{J} - 2\vec{V}.

Dos vectores son perpendiculares cuando el producto de sus coordenadas da 0: si J⃗(u1,u2)\vec{J}(u_1, u_2) y V⃗(v1,v2)\vec{V}(v_1, v_2), entonces u1⋅v1+u2⋅v2=0u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2 = 0. Para encontrar un vector perpendicular a otro, intercambias las coordenadas y cambias el signo de una.

Truco visual: Al sumar vectores gráficamente, dibuja el segundo empezando donde termina el primero, como si fueras conectando flechas.

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Ecuaciones de la recta

Para escribir la ecuación de una recta necesitas un punto y un vector director, o simplemente dos puntos. Es como tener una dirección y un punto de partida para dibujar toda la línea.

La ecuación vectorial tiene esta forma: (x,y)=(a1,a2)+t(u1,u2)(x,y) = (a_1,a_2) + t(u_1,u_2), donde tt es un parámetro que puede tomar cualquier valor real. La ecuación paramétrica separa esto en: x=a1+u1tx = a_1 + u_1t e y=a2+u2ty = a_2 + u_2t.

También puedes usar la ecuación continua x−a1u1=y−a2u2\frac{x-a_1}{u_1} = \frac{y-a_2}{u_2} o la general Ax+By+C=0Ax + By + C = 0. La ecuación explícita y=mx+ny = mx + n es perfecta cuando quieres ver claramente la pendiente.

Dos rectas pueden ser paralelas (misma pendiente, diferentes puntos), coincidentes (exactamente la misma recta) o secantes (se cortan en un punto).

Dato importante: El vector normal (A,B)(A,B) es perpendicular al vector director de la recta. Si conoces uno, puedes encontrar el otro fácilmente.

Pensamos que nunca lo preguntarías...

¿Qué es Knowunity AI companion?

Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.

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Sí, tienes acceso gratuito a los contenidos de la aplicación y a nuestro compañero de IA. Para desbloquear determinadas funciones de la aplicación, puedes adquirir Knowunity Pro.

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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

Pablo

usuario de iOS

Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elena

usuaria de Android

Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

Ana

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Está app es muy buena, tiene apuntes que son de mucha ayuda y su IA es fantástica, te explica a la perfección y muy fácil de entender lo que necesites, te ayuda con los deberes, te hace esquemas... en definitiva es una muy buena opción!

Sophia

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Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!

Marta

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La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.

Izan

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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!

Sara

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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

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Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.

Julyana

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Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.

Javier

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Sinceramente me ha salvado los estudios. Recomiendo la aplicación 100%.

Erick

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Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!

Mar

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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

Pablo

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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elena

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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

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Me encanta!!! Me resuelve todo con detalle y me da la explicación correcta. Tiene un montón de funciones, ami me ha ido genial!! Os la recomiendo!!!

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La uso casi diariamente, sirve para todas las asignaturas. Yo, por ejemplo la utilizo más en inglés porque se me da bastante mal, ¡Todas las respuestas están correctas! Consta con personas reales que suben sus apuntes y IA para que puedas hacer los deberes muchísimo más fácil, la recomiendo.

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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!

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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

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Esto no es como Chatgpt, es MUCHISMO MEJOR, te hace unos resúmenes espectaculares y gracias a esta app pase de sacar 5-6 a sacar 8-9.

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Es la mejor aplicación del mundo, la uso para revisar los deberes a mi hijo.

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Sinceramente me ha salvado los estudios. Recomiendo la aplicación 100%.

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Me me encanta esta app, todo lo que tiene es de calidad ya que antes de ser publicado es revisado por un equipo de profesionales. Me ha ido genial esta aplicación ya que gracias a ella puedo estudiar mucho mejor, sin tener que agobiarme porque mi profesor no ha hecho teoría o porque no entiendo su teoría. Le doy un 10 de 10!

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