Conceptos Fundamentales de Funciones Lineales y Afines

Las funciones lineales constituyen un elemento fundamental en el estudio matemático, representando relaciones entre variables que se pueden expresar de múltiples formas. Una función establece una correspondencia entre dos variables: la variable independiente $x$ y la variable dependiente y=f(x).

Definición: Una función es una relación matemática donde cada valor de la variable independiente $x$ corresponde a un único valor de la variable dependiente y=f(x).

Para comprender mejor las funciones lineales y afines, podemos representarlas de tres formas distintas: analítica, gráfica y mediante tabla de valores. Por ejemplo, consideremos el caso práctico del alquiler de una casa rural que cuesta 550€ por estancia. Esta situación se puede expresar:

• Analíticamente: f$x$ = 550/x (donde x es el número de personas)
• Gráficamente: mediante una curva que muestra la relación entre personas y coste por persona
• Tabla de valores: mostrando diferentes combinaciones de personas y costes

Ejemplo: Si 10 personas alquilan la casa rural, cada una pagará 55€ (550/10). Con 15 personas, el coste individual sería 36,6€ (550/15).

Dominio y Recorrido en Funciones Lineales

El estudio del dominio y recorrido de una función es esencial para comprender su comportamiento. Tomemos como ejemplo práctico la venta de naranjas a 1,50€ por kilo.

Definición: El dominio de una función es el conjunto de todos los valores posibles que puede tomar la variable independiente (x).

En el caso de las naranjas:

• Variable x: kilogramos de naranjas
• Variable y: precio en euros
• Función: y = 1,50x

Ejemplo: Para esta función lineal:

• Dominio: [0, +∞) pues no podemos vender cantidades negativas de naranjas
• La función está definida para cualquier número real positivo incluyendo el cero

Cálculo del Dominio en Diferentes Tipos de Funciones

El dominio y recorrido de una función varía según su tipo. Examinemos los casos más comunes:

Vocabulario:

• Función Polinómica: f$x$ = P(x)
• Función Racional: f$x$ = P(x)/Q(x)
• Función Radical: f$x$ = √g(x)

Para las funciones polinómicas, el dominio siempre es ℝ $todos los números reales$. Por ejemplo, f$x$ = 8x⁵ + 3x² + 3x - 1 tiene dominio ℝ.

En funciones racionales, debemos excluir los valores que hacen cero el denominador. Por ejemplo, en f$x$ = 1/x, el dominio es ℝ-{0}.

Destacado: En funciones racionales, siempre debemos resolver la ecuación Q$x$ = 0 para encontrar los valores excluidos del dominio.

Puntos de Corte y Análisis de Funciones Radicales

El estudio de los puntos de corte y el comportamiento de funciones radicales requiere un análisis específico según el índice del radical.

Definición: En funciones radicales f$x$ = ⁿ√g(x), el dominio depende del índice n:

• Si n es impar: el radicando puede ser cualquier número real
• Si n es par: el radicando debe ser mayor o igual a cero

Por ejemplo, para f$x$ = √$x² + 8$:

• El radicando es x² + 8
• Como el índice es par $2$, necesitamos x² + 8 ≥ 0
• Esta desigualdad se cumple para todo número real
• Por tanto, Dom f$x$ = ℝ

Ejemplo: Para f$x$ = √$2x - 8$:

• Necesitamos 2x - 8 ≥ 0
• Resolviendo: x ≥ 4
• Por tanto, Dom f$x$ = [4, +∞)

Funciones Logarítmicas y sus Características Fundamentales

Las funciones lineales y afines son la base para entender las funciones logarítmicas. Para analizar una función logarítmica de la forma f$x$ = log(g(x)), es fundamental comprender varios aspectos clave de su comportamiento.

El dominio de una función logarítmica está determinado por aquellos valores donde g$x$ es estrictamente mayor que cero. Por ejemplo, en f$x$ = log$x²-25$, el dominio será $-∞, -5$ ∪ $5, +∞$, ya que x²-25 debe ser positivo para que el logaritmo esté definido.

Definición: El recorrido o imagen de una función logarítmica representa todos los valores que puede tomar f$x$. En funciones logarítmicas básicas, el recorrido suele ser $0, +∞$, aunque puede variar según la función específica.

El análisis de los puntos de corte resulta fundamental para entender el comportamiento de la función. Los puntos de corte con el eje X ocurren cuando f$x$ = 0, mientras que los puntos de corte con el eje Y se encuentran cuando x = 0, siempre que este valor pertenezca al dominio de la función.

Continuidad y Simetría en Funciones

La continuidad en funciones logarítmicas presenta dos tipos principales de discontinuidades: evitables y de salto. El estudio de la simetría nos permite clasificar las funciones en pares (simétricas respecto al eje Y) o impares (simétricas respecto al origen).

Ejemplo: Una función par cumple que f$-x$ = f$x$ para todo x en su dominio, mientras que una función impar cumple que f$-x$ = -f(x).

El crecimiento de una función se analiza estudiando los intervalos donde la función aumenta o disminuye. Por ejemplo, una función puede crecer en $-2,-1$∪$3,6$ y decrecer en $-∞, -2$ ∪ $-1, 3$ ∪ $6, +∞$.

La Tasa de Variación Media (TVM) entre dos puntos a y b se calcula mediante la fórmula: TVM $a,b$ = $f(b) - f(a)$/$b-a$

Máximos, Mínimos y Puntos de Inflexión

Los puntos de corte de una función son fundamentales para identificar máximos y mínimos. Un máximo representa un punto donde la función cambia de crecimiento a decrecimiento, mientras que un mínimo representa lo contrario.

Destacado: Los máximos y mínimos pueden ser relativos (locales) o absolutos (globales). Un punto de inflexión indica un cambio en la concavidad de la función.

La concavidad y convexidad de una función nos ayudan a entender su forma. Por ejemplo, una función puede ser:

• Convexa en $-∞, -2$
• Cóncava en $-2,∞$
• Tener un punto de inflexión en $-2,0$

Función Lineal y Afín: Conceptos Fundamentales

Las funciones lineales $y = mx$ y funciones afines $y = mx + n$ son casos especiales donde:

• m representa la pendiente de la recta
• n representa la ordenada en el origen

Vocabulario: La ordenada en el origen es el punto donde la recta corta al eje Y, mientras que la pendiente indica la inclinación de la recta.

Para una función afín como y = 2x + 1, podemos calcular varios puntos:

• Para x = -2: y = 2$-2$ + 1 = -3
• Para x = -1: y = 2$-1$ + 1 = -1
• Para x = 0: y = 2$0$ + 1 = 1
• Para x = 1: y = 2$1$ + 1 = 3
• Para x = 2: y = 2$2$ + 1 = 5

Conceptos Fundamentales de Funciones Lineales y Afines

Las funciones lineales y afines son elementos fundamentales en el estudio del álgebra. Una función lineal se caracteriza por tener la forma y = mx, donde m representa la pendiente de la recta. Por otro lado, una función afín tiene la forma y = mx + n, donde n es el punto de corte con el eje Y.

La pendiente $m$ determina el comportamiento de la recta. Cuando m > 0, la recta es creciente, lo que significa que "sube" de izquierda a derecha. En cambio, si m < 0, la recta es decreciente y "baja" de izquierda a derecha. Un caso especial ocurre cuando m = 0, resultando en una recta horizontal paralela al eje X.

Definición: La pendiente $m$ se calcula mediante la fórmula m = $y₁ - y₀$/$x₁ - x₀$, donde (x₀,y₀) y (x₁,y₁) son dos puntos cualesquiera de la recta.

Para identificar el tipo de función, es crucial observar si la ecuación pasa por el origen de coordenadas (0,0). Si pasa por el origen, estamos ante una función lineal; si no pasa por el origen, es una función afín. Por ejemplo, y = 3x es una función lineal, mientras que y = 3x - 5 es una función afín con pendiente 3 y ordenada en el origen -5.

Análisis y Representación de Funciones Lineales

El estudio de funciones lineales requiere comprender varios aspectos clave como el dominio y recorrido de una función. En las funciones lineales, el dominio generalmente abarca todos los números reales (ℝ), mientras que el recorrido dependerá de la pendiente de la función.

Los puntos de corte son fundamentales para entender el comportamiento de una función. El punto de corte con el eje Y ocurre cuando x = 0, mientras que los puntos de corte con el eje X se encuentran cuando y = 0. Para funciones afines, estos puntos son especialmente relevantes en aplicaciones prácticas.

Ejemplo: En la función y = -3x, la pendiente es -3 $negativa$, lo que indica que la recta es decreciente. Esta función pasa por el origen $0,0$ y por el punto $1,-3$, entre otros.

Para analizar una función completamente, es importante estudiar su monotonía (creciente o decreciente), sus puntos de corte entre dos funciones, y su comportamiento general. En el caso de funciones lineales paralelas, estas tendrán la misma pendiente pero diferentes ordenadas en el origen.